Limite, derivate și integrale: teorie pentru Bacalaureat

Analiză matematică: limite de funcții, derivate, monotonie, integrale.

Avansat Aplicabil la: M1, M2 Exersează 97 grile pe acest capitol →

Limite fundamentale de funcții

limx→0 sin(x)x = 1, limită fundamentală folosită frecvent la subiectul III. Similar: limx→0 tg(x)x = limx→0 ln(1+x)x = limx→0 eˣ−1x = 1.
Alte limite remarcabile: limx→0 aˣ−1x = ln a (a>0); limx→0 (1+x)ʳ−1x = r; limx→0 (1+x)^1x = e.

Regula lui l'Hôpital și cazurile exceptate

Regula lui l'Hôpital: dacă lim f și lim g sunt ambele 0 sau ambele ±∞ (cazuri 00 sau ∞/∞), atunci limita raportului fg este egală cu limita raportului derivatelor f′/g′, dacă aceasta din urmă există.
Cazurile exceptate (formele nedeterminate) la calculul limitelor: 00, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰: în aceste cazuri limita nu poate fi dedusă direct din limitele factorilor/termenilor, ci necesită metode suplimentare (l'Hôpital, artificii de calcul, logaritmare).

Continuitate într-un punct

O funcție f este continuă într-un punct x₀ din domeniu dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(x₀) sunt toate egale. Funcțiile elementare (polinomiale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe tot domeniul lor de definiție.
Dacă limitele laterale în x₀ există, sunt finite, dar diferite între ele, discontinuitatea e de speța I, de tip 'salt'. Dacă limitele laterale sunt egale între ele, dar diferite de f(x₀), discontinuitatea e de speța I, eliminabilă (se poate redefini f(x₀) ca să devină continuă). Dacă cel puțin o limită laterală e infinită sau nu există, discontinuitatea e de speța a II-a.
Ce este prelungirea prin continuitate?
Dacă f este definită pe D, x₀ nu aparține lui D dar există și e finită limx→x₀ f(x) = ℓ, atunci f admite prelungire prin continuitate în x₀: funcția f̃, definită prin f̃(x)=f(x) pentru x∈D și f̃(x₀)=ℓ, este continuă în x₀.

Proprietăți ale funcțiilor continue

Proprietatea lui Darboux (pentru funcții continue): dacă f este continuă pe [a,b] și f(a)·f(b) < 0, atunci există c∈(a,b) astfel încât f(c) = 0; folosită pentru a arăta că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval.
O funcție continuă pe un interval închis și mărginit [a,b] este mărginită pe [a,b] și își atinge marginile: există puncte în [a,b] unde f ia valoarea minimă, respectiv maximă (proprietate a funcțiilor continue pe interval compact).
Dacă f este derivabilă pe un interval I, atunci derivata f′ are proprietatea lui Darboux pe I, chiar dacă f′ nu e continuă (ia orice valoare intermediară dintre două valori ale sale). Consecință folosită des la subiectul III: dacă o funcție g nu are proprietatea lui Darboux pe un interval (de exemplu are o discontinuitate de speța I, cu limite laterale finite dar diferite), atunci g nu admite primitive pe acel interval.

Reguli de derivare și derivate uzuale

Reguli de derivare: (f±g)'=f'±g', (f·g)'=f'g+fg', (fg)'=f'g−fg'g², (f∘u)'=f'(u)·u'.
Derivate uzuale: (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, (√x)'=12√x, (eˣ)'=eˣ, (aˣ)'=aˣln a, (ln x)'=1x, (log_a x)'=1x·ln a, (sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x, (tg x)'=1cos²x, (ctg x)'=−1sin²x.

Derivata funcției inverse și interpretare fizică

Derivatele funcțiilor trigonometrice inverse: (arcsin x)' = 1√(1−x²) și (arccos x)' = −1√(1−x²), pentru x∈(−1,1); (arctg x)' = 11+x², pentru orice x∈R.
Teorema de derivare a funcției inverse: dacă f:I→J este continuă, bijectivă și derivabilă în x₀, cu f'(x₀)≠0, atunci inversa g=f⁻¹ este derivabilă în y₀=f(x₀), și g'(y₀) = 1f'(x₀).
Interpretare fizică: dacă s(t) este legea de mișcare (spațiul parcurs în funcție de timp), viteza instantanee este v(t)=s'(t), iar accelerația este a(t)=v'(t)=s″(t).

Teoreme fundamentale ale derivabilității

Teorema lui Fermat: dacă x₀ e punct de extrem local și f e derivabilă în x₀, atunci f'(x₀) = 0.
Teorema lui Rolle: dacă f este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și f(a)=f(b), atunci există c∈(a,b) astfel încât f'(c) = 0.
Teorema lui Lagrange (creșterilor finite): dacă f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), atunci există c∈(a,b) astfel încât f'(c) = f(b)−f(a)b−a.
Șirul lui Rolle (separarea rădăcinilor ecuației f(x)=0): dacă f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), iar c₁ < c₂ < ... < cₖ sunt soluțiile ecuației f'(x)=0 din (a,b), atunci fiecare schimbare de semn consecutivă în șirul f(a), f(c₁), ..., f(cₖ), f(b) indică exact o rădăcină a ecuației f(x)=0 pe intervalul respectiv, iar lipsa unei schimbări de semn indică absența unei rădăcini acolo.

Monotonie și puncte de extrem (cu ajutorul derivatei)

Dacă f'(x) > 0 pe un interval, atunci f este strict crescătoare pe acel interval; dacă f''(x) > 0, f este convexă pe acel interval.
Exemplu de tabel de variație pentru o funcție cu un singur punct critic x₀ (f'(x₀)=0), unde f' schimbă semnul din − în +, deci x₀ e punct de minim
x −∞ x₀ +∞
f'(x) − 0 +
f(x) ↘ f(x₀) (minim) ↗
Aplicație practică
Derivata e principalul instrument de optimizare în practică: o firmă care vrea profitul maxim sau costul minim pentru o producție dată rezolvă exact problema „găsește punctul de extrem al unei funcții”, de la forma optimă a unei cutii cu volum dat (minimizează materialul folosit) până la prețul care maximizează venitul.

x	−∞		x₀		+∞
f'(x)		−	0	+
f(x)		↘	f(x₀) (minim)	↗

Asimptote, convexitate și trasarea graficului

Ecuația tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x₀: y − f(x₀) = f'(x₀)·(x − x₀).
Asimptotă orizontală spre +∞: y = limx→∞ f(x) (dacă limita e finită). Asimptotă oblică: y = mx+n, cu m = lim f(x)x, n = lim[f(x) − mx]. Asimptotă verticală în x₀: cel puțin o limită laterală a lui f în x₀ este infinită.
Etapele complete ale reprezentării grafice a unei funcții f: (1) domeniul maxim de definiție; (2) limitele la capetele intervalelor din domeniu → asimptote; (3) semnul lui f' → monotonie și puncte critice (f'=0); (4) semnul lui f'' → convexitate/concavitate și puncte de inflexiune; (5) tabelul de variație, cu semnele lui f', f'' și forma graficului pe fiecare interval; (6) valorile funcției în punctele importante și intersecțiile cu axele Ox, Oy; (7) trasarea graficului; (8) observații: paritate (simetrie față de Oy sau față de origine), periodicitate, imaginea funcției.
Dacă f nu e derivabilă într-un punct b, dar are derivate laterale, graficul are: punct unghiular dacă derivatele laterale sunt finite dar diferite (două semitangente distincte); punct de întoarcere dacă sunt infinite și de semne opuse (semitangentă verticală, graficul „revine”); punct de inflexiune cu tangentă verticală dacă sunt infinite și egale (graficul trece prin punct, tangenta e verticală).

Primitive

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C, pentru n ≠ −1. ∫ 1x dx = ln|x| + C, ∫ eˣdx = eˣ+C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ 1cos²x dx = tg x + C.
Alte primitive uzuale: ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ 1sin²x dx = −ctg x + C; ∫ aˣ dx = aˣln a + C (a>0, a≠1); ∫ 1x²+a² dx = 1a·arctg(xa) + C (a≠0); ∫ 1√(a²−x²) dx = arcsin(xa) + C (a>0, x∈(−a,a)).
Orice funcție continuă pe un interval este primitivabilă și integrabilă (Riemann) pe acel interval (justificare standard, invocată înainte de a calcula o primitivă sau o integrală definită a unei funcții continue).
Integrare prin părți: ∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx.

Integrale definite

Formula Leibniz-Newton: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f.
Dacă f:[a,b]→R este continuă, atunci funcția F(x) = ∫[a,x] f(t)dt este o primitivă a lui f pe [a,b], adică F′(x) = f(x) pentru orice x∈[a,b]; teorema folosită la subiectul III pentru funcții definite printr-o integrală cu limită variabilă (se cere, de exemplu, monotonia sau derivabilitatea lui F).
Monotonia integralei: dacă f,g sunt integrabile pe [a,b] și f(x) ≤ g(x) pentru orice x∈[a,b], atunci ∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx. Dacă în plus m ≤ f(x) ≤ M pe [a,b] (m,M constante), atunci m(b−a) ≤ ∫[a,b] f(x)dx ≤ M(b−a); util pentru încadrarea valorii unei integrale fără calcul explicit.
Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui f: [a,b]→R în jurul axei Ox: V = π∫[a,b] f²(x)dx.
Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții f, g: [a,b]→R: A = ∫[a,b] |f(x) − g(x)| dx.
Scurtătură utilă pe intervale simetrice [−a,a]: dacă f este pară, ∫[−a,a] f(x)dx = 2∫[0,a] f(x)dx; dacă f este impară, ∫[−a,a] f(x)dx = 0, fără să mai fie nevoie de calculul explicit al primitivei pe toată porțiunea negativă.
Teorema de medie pentru integrale: dacă f este continuă pe [a,b], atunci există c∈[a,b] astfel încât ∫[a,b] f(x)dx = f(c)·(b−a).