Limite, derivate și integrale: teorie pentru Bacalaureat
Analiză matematică: limite de funcții, derivate, monotonie, integrale.
Avansat
Treci la grile (160)
Limite fundamentale de funcții
- limx→0 sin(x)x = 1, limită fundamentală folosită frecvent la subiectul III. Similar: limx→0 tg(x)x = limx→0 ln(1+x)x = limx→0 eˣ−1x = 1.
- Alte limite remarcabile: limx→0 aˣ−1x = ln a (a>0); limx→0 (1+x)ʳ−1x = r; limx→0 (1+x)1/x = e.
- Alte limite la 0: limx→0 1 − cos xx² = 12; limx→0 arcsin(x)x = 1; limx→0 arctg(x)x = 1.
- Comparații la +∞ (r > 0, a > 1): limx→∞ ln(x)xʳ = 0 și limx→∞ xʳaˣ = 0, adică exponențiala crește mai repede decât orice putere, iar puterea mai repede decât logaritmul. La 0: limx→0, x > 0 xʳ·ln x = 0.
- Limita unei funcții raționale la ±∞ se citește din gradele numărătorului (p) și numitorului (q): 0 dacă p < q, raportul coeficienților dominanți dacă p = q, ±∞ dacă p > q (semnul îl dau coeficienții dominanți și semnul lui x).
Limite de funcții: definiție și limite laterale
- Limita prin șiruri (Heine): limx→a f(x) = l dacă, pentru orice șir xₙ → a (xₙ ≠ a, din domeniu), avem f(xₙ) → l. Ca să arăți că o limită NU există, ajung două șiruri spre a pe care f are limite diferite: sin x nu are limită la +∞ (pe xₙ = 2nπ dă 0, iar pe xₙ = π2 + 2nπ dă 1).
- Limitele laterale: f(a − 0), la stânga, și f(a + 0), la dreapta. f are limită în a ⇔ ambele există și sunt egale; dacă sunt diferite, limita în a nu există.
- Criteriul majorării: dacă |f(x) − l| ≤ g(x) lângă a și g(x) → 0, atunci f(x) → l. Exemplu: |x·sin(1x)| ≤ |x|, deci limx→0 x·sin(1x) = 0.
Regula lui l'Hôpital și cazurile exceptate
- Regula lui l'Hôpital: dacă lim f și lim g sunt ambele 0 sau ambele ±∞ (cazuri 00 sau ∞/∞), atunci limita raportului fg este egală cu limita raportului derivatelor f′/g′, dacă aceasta din urmă există.
- Cazurile exceptate (formele nedeterminate) la calculul limitelor: 00, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1∞, ∞⁰, 0⁰: în aceste cazuri limita nu poate fi dedusă direct din limitele factorilor/termenilor, ci necesită metode suplimentare (l'Hôpital, artificii de calcul, logaritmare).
- l'Hôpital merge într-un singur sens: dacă raportul derivatelor nu are limită, limita inițială poate exista totuși. Exemplu: x²·sin(1/x)sin x → 0 când x → 0, deși raportul derivatelor nu are limită. Uneori regula se învârte în cerc: la x√(x² + 1), când x → ∞, dai factor comun forțat x și obții limita 1.
- Adesea e mai rapid cu limitele remarcabile decât cu derivatele: împarți și înmulțești cu expresia potrivită, ca să apară sin(u)u, ln(1 + u)u sau eᵘ − 1u, cu u → 0.
Continuitate într-un punct
- O funcție f este continuă într-un punct x₀ din domeniu dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(x₀) sunt toate egale. Funcțiile elementare (polinomiale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe tot domeniul lor de definiție.
- Dacă limitele laterale în x₀ există, sunt finite, dar diferite între ele, discontinuitatea e de speța I, de tip 'salt'. Dacă limitele laterale sunt egale între ele, dar diferite de f(x₀), discontinuitatea e de speța I, eliminabilă (se poate redefini f(x₀) ca să devină continuă). Dacă cel puțin o limită laterală e infinită sau nu există, discontinuitatea e de speța a II-a.
Ce este prelungirea prin continuitate?
Dacă f este definită pe D, x₀ nu aparține lui D dar există și e finită limx→x₀ f(x) = ℓ, atunci f admite prelungire prin continuitate în x₀: funcția f̃, definită prin f̃(x)=f(x) pentru x∈D și f̃(x₀)=ℓ, este continuă în x₀.
- Exemplu de discontinuitate de speța a II-a: f(x) = sin(1x) pentru x ≠ 0, f(0) = 0; în 0 nu există nici măcar limitele laterale. Totuși f are proprietatea lui Darboux, deci o funcție poate avea Darboux fără să fie continuă.
Proprietăți ale funcțiilor continue
- Proprietatea lui Darboux (pentru funcții continue): dacă f este continuă pe [a,b] și f(a)·f(b) < 0, atunci există c∈(a,b) astfel încât f(c) = 0; folosită pentru a arăta că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval.
- O funcție continuă pe un interval închis și mărginit [a,b] este mărginită pe [a,b] și își atinge marginile: există puncte în [a,b] unde f ia valoarea minimă, respectiv maximă (proprietate a funcțiilor continue pe interval compact).
- Dacă f este derivabilă pe un interval I, atunci derivata f′ are proprietatea lui Darboux pe I, chiar dacă f′ nu e continuă (ia orice valoare intermediară dintre două valori ale sale). Consecință folosită des la subiectul III: dacă o funcție g nu are proprietatea lui Darboux pe un interval (de exemplu are o discontinuitate de speța I, cu limite laterale finite dar diferite), atunci g nu admite primitive pe acel interval.
- Proprietatea lui Darboux, definiția: f are Darboux pe intervalul I dacă, pentru orice a < b din I și orice λ între f(a) și f(b), există c între a și b cu f(c) = λ. Orice funcție continuă pe un interval o are; consecință: imaginea unui interval printr-o funcție continuă e tot un interval.
Derivabilitate într-un punct
- Definiție: f e derivabilă în a dacă limita limx→a f(x) − f(a)x − a există și e finită; valoarea ei e f′(a). Geometric, f′(a) e panta tangentei la grafic în A(a, f(a)): tangenta unghiului pe care tangenta îl face cu semiaxa pozitivă Ox.
- Orice funcție derivabilă într-un punct e continuă acolo; reciproca e falsă: |x| e continuă în 0, dar are derivata −1 la stânga și 1 la dreapta.
- Cum studiezi derivabilitatea în a: (1) verifici continuitatea în a (fără ea, f nu e derivabilă); (2) calculezi derivatele laterale, adică limitele raportului f(x) − f(a)x − a pentru x < a și pentru x > a; (3) f e derivabilă în a ⇔ ambele sunt finite și egale. Într-un capăt al domeniului ajunge derivata laterală dinspre interior.
Reguli de derivare și derivate uzuale
- Reguli de derivare: (f±g)'=f'±g', (f·g)'=f'g+fg', (fg)'=f'g−fg'g², (f∘u)'=f'(u)·u'.
- Derivate uzuale: (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹, (√x)'=12√x, (eˣ)'=eˣ, (aˣ)'=aˣln a, (ln x)'=1x, (loga x)'=1x·ln a, (sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x, (tg x)'=1cos²x, (ctg x)'=−1sin²x.
- Completări la tabel: (1x)′ = −1x², (1xⁿ)′ = −nxⁿ⁺¹, (xʳ)′ = r·xʳ⁻¹ (x > 0, r real), (∛x)′ = 13∛(x²), (ln|x|)′ = 1x, (tg x)′ = 1 + tg²x și (1g)′ = −g′g².
Tabelul derivatelor uzuale. Ultima coloană e aceeași formulă pentru o funcție compusă, cu u = u(x): se înmulțește mereu cu u′.
f(x) f′(x) Condiții Funcția compusă c (constantă) 0 x ∈ R — x 1 x ∈ R — xⁿ n·xⁿ⁻¹ n ∈ N* (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′ xʳ r·xʳ⁻¹ x > 0, r ∈ R (uʳ)′ = r·uʳ⁻¹·u′ √x 12√x x > 0 (√u)′ = u′2√u ∛x 13∛(x²) x ≠ 0 (∛u)′ = u′3∛(u²) 1x −1x² x ≠ 0 (1u)′ = −u′u² eˣ eˣ x ∈ R (eᵘ)′ = eᵘ·u′ aˣ aˣ·ln a a > 0, a ≠ 1 (aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′ ln x 1x x > 0 (ln u)′ = u′u loga x 1x·ln a x > 0 (loga u)′ = u′u·ln a sin x cos x x ∈ R (sin u)′ = cos u·u′ cos x −sin x x ∈ R (cos u)′ = −sin u·u′ tg x 1cos²x cos x ≠ 0 (tg u)′ = u′cos²u ctg x −1sin²x sin x ≠ 0 (ctg u)′ = −u′sin²u arcsin x 1√(1 − x²) x ∈ (−1, 1) (arcsin u)′ = u′√(1 − u²) arccos x −1√(1 − x²) x ∈ (−1, 1) (arccos u)′ = −u′√(1 − u²) arctg x 11 + x² x ∈ R (arctg u)′ = u′1 + u² Regulile de derivare (f, g derivabile, c constantă).
Operația Derivata c·f c·f′ f ± g f′ ± g′ f·g f′·g + f·g′ fg (g ≠ 0) f′·g − f·g′g² 1g (g ≠ 0) −g′g² f∘u (compusa) f′(u)·u′ f⁻¹ (inversa) (f⁻¹)′(y) = 1f′(x), unde y = f(x)
Derivata funcției inverse și interpretare fizică
- Derivatele funcțiilor trigonometrice inverse: (arcsin x)' = 1√(1−x²) și (arccos x)' = −1√(1−x²), pentru x∈(−1,1); (arctg x)' = 11+x², pentru orice x∈R.
- Teorema de derivare a funcției inverse: dacă f:I→J este continuă, bijectivă și derivabilă în x₀, cu f'(x₀)≠0, atunci inversa g=f⁻¹ este derivabilă în y₀=f(x₀), și g'(y₀) = 1f'(x₀).
- Interpretare fizică: dacă s(t) este legea de mișcare (spațiul parcurs în funcție de timp), viteza instantanee este v(t)=s'(t), iar accelerația este a(t)=v'(t)=s″(t).
Derivate de ordin superior
- Derivata de ordin n se obține derivând de n ori: f″ = (f′)′, f‴ = (f″)′ și așa mai departe. Formula derivatei de ordin n se ghicește din primele derivate și se demonstrează prin inducție. f e de clasă C¹ pe I dacă e derivabilă și f′ e continuă pe I.
- Derivate de ordin n de reținut: (eˣ)⁽ⁿ⁾ = eˣ; (1x)⁽ⁿ⁾ = (−1)ⁿ·n!xⁿ⁺¹; (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ2); (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x + nπ2); pentru polinomul xᵖ, toate derivatele de ordin mai mare decât p sunt 0.
Teoreme fundamentale ale derivabilității
- Teorema lui Fermat: dacă x₀ e punct de extrem local și f e derivabilă în x₀, atunci f'(x₀) = 0.
- Teorema lui Rolle: dacă f este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și f(a)=f(b), atunci există c∈(a,b) astfel încât f'(c) = 0.
- Teorema lui Lagrange (creșterilor finite): dacă f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), atunci există c∈(a,b) astfel încât f'(c) = f(b)−f(a)b−a.
- Șirul lui Rolle (separarea rădăcinilor ecuației f(x)=0): dacă f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), iar c₁ < c₂ < ... < cₖ sunt soluțiile ecuației f'(x)=0 din (a,b), atunci fiecare schimbare de semn consecutivă în șirul f(a), f(c₁), ..., f(cₖ), f(b) indică exact o rădăcină a ecuației f(x)=0 pe intervalul respectiv, iar lipsa unei schimbări de semn indică absența unei rădăcini acolo.
- Punct de extrem local a: există o vecinătate a lui a în care f(x) − f(a) are semn constant (≥ 0 pentru minim, ≤ 0 pentru maxim). Fermat cere ca a să fie punct interior al domeniului: capetele unui interval închis pot fi extreme fără ca derivata să fie 0 acolo.
- Interpretări geometrice: la Fermat, tangenta într-un extrem interior e paralelă cu Ox; la Rolle, între două rădăcini ale lui f există cel puțin o rădăcină a lui f′; la Lagrange, există un punct al graficului în care tangenta e paralelă cu coarda dintre (a, f(a)) și (b, f(b)).
- Consecințe ale lui Lagrange: dacă f′ = 0 pe un interval, f e constantă pe acel interval (doar pe interval: pe o reuniune de intervale, constanta poate fi alta pe fiecare bucată); dacă f′ = g′ pe un interval, f − g e constantă acolo.
Monotonie și puncte de extrem (cu ajutorul derivatei)
- Dacă f'(x) > 0 pe un interval, atunci f este strict crescătoare pe acel interval; dacă f''(x) > 0, f este convexă pe acel interval.
Exemplu de tabel de variație pentru o funcție cu un singur punct critic x₀ (f'(x₀)=0), unde f' schimbă semnul din − în +, deci x₀ e punct de minim
x −∞ x₀ +∞ f'(x) − 0 + f(x) ↘ f(x₀) (minim) ↗ Aplicație practică
Derivata e principalul instrument de optimizare în practică: o firmă care vrea profitul maxim sau costul minim pentru o producție dată rezolvă exact problema „găsește punctul de extrem al unei funcții”, de la forma optimă a unei cutii cu volum dat (minimizează materialul folosit) până la prețul care maximizează venitul.
- Punctele critice sunt soluțiile ecuației f′(x) = 0. Extremele unei funcții derivabile, în interiorul domeniului, sunt printre punctele critice, dar nu orice punct critic e extrem (x³ în 0). Un extrem poate apărea și unde f nu e derivabilă (|x| în 0).
- Convexitate: f e convexă pe un interval ⇔ f′ e crescătoare acolo; pentru f derivabilă de două ori, ⇔ f″ ≥ 0. Punctele de inflexiune se caută printre zerourile lui f″ și printre punctele în care f are derivată (finită sau infinită), dar nu și derivata a doua.
Asimptote, convexitate și trasarea graficului
- Ecuația tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x₀: y − f(x₀) = f'(x₀)·(x − x₀).
- Asimptotă orizontală spre +∞: y = limx→∞ f(x) (dacă limita e finită). Asimptotă oblică: y = mx+n, cu m = lim f(x)x, n = lim[f(x) − mx]. Asimptotă verticală în x₀: cel puțin o limită laterală a lui f în x₀ este infinită.
- Etapele complete ale reprezentării grafice a unei funcții f: (1) domeniul maxim de definiție; (2) limitele la capetele intervalelor din domeniu → asimptote; (3) semnul lui f' → monotonie și puncte critice (f'=0); (4) semnul lui f'' → convexitate/concavitate și puncte de inflexiune; (5) tabelul de variație, cu semnele lui f', f'' și forma graficului pe fiecare interval; (6) valorile funcției în punctele importante și intersecțiile cu axele Ox, Oy; (7) trasarea graficului; (8) observații: paritate (simetrie față de Oy sau față de origine), periodicitate, imaginea funcției.
- Dacă f nu e derivabilă într-un punct b, dar are derivate laterale, graficul are: punct unghiular dacă derivatele laterale sunt finite dar diferite (două semitangente distincte); punct de întoarcere dacă sunt infinite și de semne opuse (semitangentă verticală, graficul „revine”); punct de inflexiune cu tangentă verticală dacă sunt infinite și egale (graficul trece prin punct, tangenta e verticală).
- Asimptotele se caută separat la stânga și la dreapta unui punct (x = a poate fi asimptotă verticală doar dintr-o parte) și separat spre −∞ și spre +∞. Asimptota oblică are m ≠ 0 și poate exista doar dacă f nu are limită finită acolo; dacă spre +∞ există asimptotă orizontală, nu există și oblică spre +∞.
Primitive
- ∫ xⁿ dx = xn+1n+1 + C, pentru n ≠ −1. ∫ 1x dx = ln|x| + C, ∫ eˣdx = eˣ+C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ 1cos²x dx = tg x + C.
- Alte primitive uzuale: ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ 1sin²x dx = −ctg x + C; ∫ aˣ dx = aˣln a + C (a>0, a≠1); ∫ 1x²+a² dx = 1a·arctg(xa) + C (a≠0); ∫ 1√a²−x² dx = arcsin(xa) + C (a>0, x∈(−a,a)).
- Orice funcție continuă pe un interval este primitivabilă și integrabilă (Riemann) pe acel interval (justificare standard, invocată înainte de a calcula o primitivă sau o integrală definită a unei funcții continue).
- Integrare prin părți: ∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx.
- Definiție: F e primitivă a lui f pe intervalul I dacă F e derivabilă și F′ = f pe I. Două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă, de aceea ∫ f(x) dx = F(x) + C. Integrala nedefinită e liniară: ∫ (αf + βg) dx = α∫ f dx + β∫ g dx.
- Alte primitive din tabel: ∫ √x dx = (23)x√x + C; ∫ 1√x dx = 2√x + C; ∫ tg x dx = −ln|cos x| + C; ∫ 1x² − a² dx = (12a)·ln|x − ax + a| + C; ∫ 1√(x² + a²) dx = ln(x + √x² + a²) + C; ∫ x√(x² + a²) dx = √x² + a² + C.
Tabelul primitivelor uzuale (C e o constantă). Pentru o funcție compusă u = u(x), în fiecare formulă x devine u și dx devine u′ dx: de exemplu ∫ cos(u)·u′ dx = sin u + C.
f(x) ∫ f(x) dx Pe intervale incluse în xⁿ xⁿ⁺¹n+1 + C R, n ∈ N xʳ (r ≠ −1) xʳ⁺¹r+1 + C (0, ∞) √x (23)x√x + C (0, ∞) 1√x 2√x + C (0, ∞) 1x ln|x| + C (−∞, 0) sau (0, ∞) eˣ eˣ + C R aˣ aˣln a + C R (a > 0, a ≠ 1) sin x −cos x + C R cos x sin x + C R 1cos²x tg x + C cos x ≠ 0 1sin²x −ctg x + C sin x ≠ 0 tg x −ln|cos x| + C cos x ≠ 0 ctg x ln|sin x| + C sin x ≠ 0 1x² + a² (1a)·arctg(xa) + C R (a ≠ 0) 1x² − a² (12a)·ln|x − ax + a| + C x ≠ ±a (a > 0) 1√(a² − x²) arcsin(xa) + C (−a, a), a > 0 1√(x² + a²) ln(x + √x² + a²) + C R 1√(x² − a²) ln|x + √x² − a²| + C |x| > a > 0
Schimbarea de variabilă
- Prima metodă: dacă integrandul are forma g(φ(x))·φ′(x), notezi t = φ(x), dt = φ′(x)dx și calculezi ∫ g(t) dt = G(t) + C; rezultatul e G(φ(x)) + C. Exemplu: ∫ 2x·cos(x²) dx, cu t = x², dă sin(x²) + C.
- Forme care apar des: ∫ u′u dx = ln|u| + C; ∫ u′·eᵘ dx = eᵘ + C; ∫ u′·uⁿ dx = uⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ −1); ∫ u′1 + u² dx = arctg u + C.
- A doua metodă: substitui x = ψ(t), cu ψ bijectivă și derivabilă (dx = ψ′(t)dt), calculezi integrala în t și revii la x prin t = ψ⁻¹(x). Pentru expresii cu √a² − x² se încearcă x = a·sin t; pentru integrale de forma ∫ R(eˣ) dx, t = eˣ.
- La integrala definită, schimbarea de variabilă schimbă și capetele: cu t = φ(x), ∫[a,b] g(φ(x))·φ′(x) dx = ∫[φ(a),φ(b)] g(t) dt, fără să mai revii la x.
- Funcții raționale PQ: dacă grad P ≥ grad Q, împarți întâi; apoi descompui în fracții simple, de forma A(x − a)ⁿ și Ax + B(x² + px + q)ᵐ cu discriminant negativ, pe care le integrezi separat. Pentru un trinom, forma canonică ax² + bx + c = (2ax + b)² − Δ4a aduce integrala la arctg sau la ln.
Integrala definită: sume Riemann și integrabilitate
- Sume Riemann: împarți [a,b] în n bucăți, alegi în fiecare un punct tᵢ și aduni f(tᵢ)·(lungimea bucății). Pentru f pozitivă, suma aproximează aria de sub grafic; integrala e limita acestor sume când bucățile devin oricât de mici.
- Cazul folosit la BAC, cu n bucăți egale: limn→∞ (b − an)·[f(a + b − an) + f(a + 2(b − a)n) + … + f(b)] = ∫[a,b] f(x)dx. Exemplu: 1 + 2 + … + nn² = (1n)·(1n + 2n + … + nn) → ∫[0,1] x dx = 12.
- Criterii de integrabilitate: o funcție integrabilă pe [a,b] e mărginită (deci una nemărginită nu e integrabilă); orice funcție monotonă pe [a,b] e integrabilă; o funcție continuă cu un număr finit de discontinuități de speța I e integrabilă. Există funcții integrabile fără primitive (cele cu salturi) și funcții cu primitive care nu se scriu cu funcții elementare, ca e−x² sau sin(x)x.
Integrale definite
- Formula Leibniz-Newton: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a), unde F este o primitivă a lui f.
- Dacă f:[a,b]→R este continuă, atunci funcția F(x) = ∫[a,x] f(t)dt este o primitivă a lui f pe [a,b], adică F′(x) = f(x) pentru orice x∈[a,b]; teorema folosită la subiectul III pentru funcții definite printr-o integrală cu limită variabilă (se cere, de exemplu, monotonia sau derivabilitatea lui F).
- Monotonia integralei: dacă f,g sunt integrabile pe [a,b] și f(x) ≤ g(x) pentru orice x∈[a,b], atunci ∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx. Dacă în plus m ≤ f(x) ≤ M pe [a,b] (m,M constante), atunci m(b−a) ≤ ∫[a,b] f(x)dx ≤ M(b−a); util pentru încadrarea valorii unei integrale fără calcul explicit.
- Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui f: [a,b]→R în jurul axei Ox: V = π∫[a,b] f²(x)dx.
- Aria suprafeței cuprinse între graficele a două funcții f, g: [a,b]→R: A = ∫[a,b] |f(x) − g(x)| dx.
- Scurtătură utilă pe intervale simetrice [−a,a]: dacă f este pară, ∫[−a,a] f(x)dx = 2∫[0,a] f(x)dx; dacă f este impară, ∫[−a,a] f(x)dx = 0, fără să mai fie nevoie de calculul explicit al primitivei pe toată porțiunea negativă.
- Teorema de medie pentru integrale: dacă f este continuă pe [a,b], atunci există c∈[a,b] astfel încât ∫[a,b] f(x)dx = f(c)·(b−a).
- Aditivitatea la interval: ∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx, pentru c ∈ (a,b). Valoarea medie a lui f pe [a,b] este (1b − a)·∫[a,b] f(x)dx, adică f(c) din teorema de medie.
- Integrala „inversează” derivata: (∫[a,x] g(t)dt)′ = g(x) pentru g continuă, iar ∫ g′(x)dx = g(x) + C.
- Când graficele lui f și g se intersectează în interiorul lui [a,b], aria se calculează pe bucăți, între punctele de intersecție: pe fiecare bucată scazi funcția de jos din cea de sus. Exemplu: aria discului de rază r este 2∫[−r,r] √r² − x²dx = πr².
Încearcă în simulator
AnalizăDerivata: secanta devine tangentă →Q alunecă pe grafic spre P, iar panta secantei tinde spre f′(a): definiția derivatei, animată.AnalizăConvexitate și puncte de inflexiune →Vezi simultan f, f′ și f″ și tangenta într-un punct. La x⁴ se vede de ce f″ = 0 nu e suficient pentru inflexiune.AnalizăTabelul de variație din derivată →Graficul lui f deasupra graficului lui f′: unde f′ e pozitivă f crește, unde se anulează are extreme, iar tabelul de variație se completează singur.AnalizăIntegrala ca sumă de dreptunghiuri →Sume Riemann: împarți intervalul în n bucăți și vezi cum suma dreptunghiurilor tinde spre integrală.AnalizăVolumul corpului de rotație →Graficul se rotește în jurul lui Ox și formează corpul; n discuri îi aproximează volumul, iar π·Σ f²·Δx tinde spre π·∫ f²(x) dx.AnalizăAria și volumul corpului de rotație →Alegi funcția și capetele; compari integrala cu semn, aria și volumul. La sin x se vede de ce aria cere |f|.FuncțiiCalculator grafic →Scrii orice funcție și îi vezi graficul, cu rădăcinile și punctele de extrem.
Te-ai verificat?
GrileExersează 160 de grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Subiectele II–IIIProbleme pe tipuri →Cerințe din subiectele oficiale, cu pașii scoși treptat.Capitolul următorLegi de compoziție și grupuri →Lege de compoziție, tabla operației, grup, subgrup, morfism și izomorfism de grupuri.