Funcții, proprietăți și grafice: teorie pentru Bacalaureat
Funcția de gradul I și de gradul al II-lea, monotonie, injectivitate/surjectivitate, funcție inversă, funcții compuse, exponențială și logaritmică.
Mediu
Treci la grile (102)
Funcția de gradul I
- Funcția de gradul I f(x) = ax+b (a≠0) e strict crescătoare dacă a>0 și strict descrescătoare dacă a<0; are zeroul x = −ba.
- Semnul funcției de gradul I: pe (−∞, −ba) are semn contrar lui a, iar pe (−ba, +∞) are semnul lui a; se citește direct din poziția zeroului. Graficul intersectează axa Ox în (−ba, 0) și axa Oy în (0, b); coeficientul a este panta dreptei, a = tg θ, unde θ e unghiul făcut de dreaptă cu semiaxa pozitivă Ox.
Tabelul de semn al funcției f(x) = ax+b, pentru a > 0 (pentru a < 0, semnele de pe cele două intervale se inversează)
x −∞ −ba +∞ f(x) − 0 +
Funcția de gradul al II-lea
- Funcția de gradul al II-lea f(x) = ax² + bx + c are vârful parabolei în punctul V(−b2a, −Δ4a); Imf = [−Δ4a, ∞) dacă a>0, respectiv (−∞, −Δ4a] dacă a<0.
Forma canonică a funcției de gradul al II-lea
Forma canonică (prin completarea pătratului): f(x) = a(x − h)² + k, unde h = −b2a și k = −Δ4a (aceleași coordonate ca ale vârfului V(h,k)). Scrierea sub această formă arată direct că f(x) − k are semnul lui a·(x−h)², deci k e minimul funcției dacă a>0, respectiv maximul dacă a<0.
- Monotonia funcției de gradul al II-lea: dacă a>0, f e strict descrescătoare pe (−∞, −b2a) și strict crescătoare pe (−b2a, +∞); dacă a<0, ordinea se inversează (crescătoare, apoi descrescătoare).
Tabelul de variație al funcției f(x) = ax² + bx + c, pentru a > 0
x −∞ −b2a +∞ f(x) ↘ −Δ4a (minim) ↗ Tabelul de variație al funcției f(x) = ax² + bx + c, pentru a < 0
x −∞ −b2a +∞ f(x) ↗ −Δ4a (maxim) ↘ - Graficul intersectează axa Oy în (0, c). Poziția parabolei față de Ox depinde de Δ: dacă Δ<0, parabola nu atinge Ox (nicio rădăcină reală); dacă Δ=0, parabola e tangentă la Ox în vârf (rădăcină dublă x=−b2a); dacă Δ>0, parabola taie Ox în două puncte distincte, x1,2 = −b±√Δ2a.
- Semnul funcției de gradul al II-lea: dacă Δ<0, f are semnul lui a pe tot R; dacă Δ=0, f are semnul lui a pe R, cu excepția rădăcinii duble x=−b2a, unde se anulează; dacă Δ>0, cu x₁ < x₂ rădăcinile, f are semnul lui a în afara intervalului [x₁,x₂] și semn contrar lui a în interiorul lui (x₁,x₂).
- Parabola are axa de simetrie dreapta x = −b2a. Dacă Δ < 0, parabola nu taie Ox; dacă Δ = 0, e tangentă la Ox în vârf; dacă Δ > 0, o taie în două puncte. Regula scurtă pentru semn: f are semnul lui a peste tot, cu o singură excepție, intervalul dintre rădăcini când Δ > 0.
- Descompunerea ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) rămâne valabilă și pentru Δ < 0, cu rădăcinile complexe x₁,₂ = −b ± i√(−Δ)2a.
Injectivitate, surjectivitate, funcția inversă
- O funcție f: A → B este bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă; doar atunci admite inversă. Imf = mulțimea valorilor efectiv luate de f.
- Interpretare geometrică (testul dreptei orizontale): f:A→B (A,B⊆R) este injectivă d.d. orice paralelă la Ox prin y∈B taie graficul lui f în cel mult un punct; surjectivă d.d. îl taie în cel puțin un punct; bijectivă d.d. îl taie în exact un punct. Graficele lui f și f⁻¹, în același sistem de axe, sunt simetrice față de prima bisectoare (dreapta y=x).
- În practică, injectivitatea se arată cu forma echivalentă: din f(x₁) = f(x₂) rezultă x₁ = x₂. Ca să arăți că f NU e injectivă, ajunge o pereche x₁ ≠ x₂ cu f(x₁) = f(x₂); de exemplu, pentru f(x) = x², f(−1) = f(1).
- Imaginea: Im f = {f(x) | x ∈ A} ⊆ B. f e surjectivă ⇔ Im f = B ⇔ pentru orice y ∈ B, ecuația f(x) = y are cel puțin o soluție în A. Inversa verifică f(f⁻¹(y)) = y pentru orice y ∈ B și f⁻¹(f(x)) = x pentru orice x ∈ A.
Paritate, periodicitate, compunere și funcții particulare
- f este pară dacă f(−x)=f(x) pentru orice x, și impară dacă f(−x)=−f(x). f este periodică de perioadă T dacă f(x+T)=f(x) pentru orice x.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)); se aplică mai întâi g, apoi f.
- Funcția signum: sgn(x) = −1 dacă x<0, sgn(x) = 0 dacă x=0, sgn(x) = 1 dacă x>0. Proprietate utilă: x = sgn(x)·|x|, pentru orice x∈R.
- Funcția putere f(x)=xⁿ (n∈N, n≥2): dacă n e par, f:R→[0,∞) e pară, nu e injectivă pe R, dar e strict crescătoare (deci bijectivă) pe [0,∞); dacă n e impar, f:R→R e impară și bijectivă pe tot R.
- Funcția radical f(x)=ⁿ√x: pentru n par, f:[0,∞)→[0,∞) e strict crescătoare și bijectivă; este inversa funcției putere xⁿ restricționată la [0,∞); pentru n impar, f:R→R e strict crescătoare și bijectivă pe tot R.
- Compunerea g∘f are sens doar dacă valorile lui f sunt în domeniul lui g; în general g∘f ≠ f∘g. Graficul unei funcții pare e simetric față de axa Oy, iar al unei funcții impare, față de origine. Perioada principală e cea mai mică perioadă pozitivă (dacă există).
Funcția exponențială
- Funcția exponențială f(x) = aˣ (a>0, a≠1) e strict crescătoare dacă a>1 și strict descrescătoare dacă a∈(0,1).
- Comparând funcții exponențiale cu baze diferite 1 < a < b: pentru x > 0, aˣ < bˣ; pentru x < 0, aˣ > bˣ (analog, inversat, pentru baze subunitare 0 < a < b < 1).
Aplicație practică
Modelul exponențial descrie orice proces cu rată de variație proporțională cu valoarea curentă: creșterea unei populații de bacterii, dobânda compusă, sau dezintegrarea radioactivă (unde baza a<1, deci funcția e descrescătoare); timpul de înjumătățire al unui izotop se calculează exact rezolvând o ecuație exponențială de forma celor de mai sus.
- Reguli de calcul: aˣ·aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ : aʸ = aˣ⁻ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ, (ab)ˣ = aˣ·bˣ, (ab)ˣ = aˣbˣ, a⁻ˣ = 1aˣ.
- f: R → (0, ∞), f(x) = aˣ e bijectivă, deci aˣ = aʸ ⇔ x = y (regula folosită la ecuațiile exponențiale). Axa Ox (y = 0) e asimptotă orizontală: pentru a > 1, aˣ → 0 când x → −∞ și aˣ → ∞ când x → +∞.
Funcția logaritmică
- Funcția logaritmică f(x) = loga x este inversa funcției exponențiale aˣ; aˣ = b ⇔ x = loga b.
- Proprietăți ale logaritmilor: loga(xy) = loga x + loga y, loga(xy) = loga x − loga y, loga(xⁿ) = n·loga x, iar schimbarea bazei: loga b = logc blogc a. Relația reciprocă: loga b = 1logb a (a,b>0, a,b≠1).
- Valori și reguli de reținut: loga 1 = 0, loga a = 1, loga(1x) = −loga x, loga ⁿ√x = (1n)·loga x, iar aloga x = x (x > 0) și loga(aʸ) = y. Notații: lg x = log₁₀ x și ln x = loge x.
- Altă formă a schimbării bazei: loga x = logb x · loga b. Comparația bazelor, pentru 1 < a < b: loga x > logb x dacă x > 1 și loga x < logb x dacă 0 < x < 1.
- f: (0, ∞) → R, f(x) = loga x e bijectivă, iar axa Oy (x = 0) e asimptotă verticală: ln x → −∞ când x → 0 (x > 0) și ln x → +∞ când x → +∞. Graficele lui loga x și aˣ sunt simetrice față de dreapta y = x.
Încearcă în simulator
FuncțiiFuncția de gradul al doilea →Muți a, b și c și vezi parabola: vârful, axa de simetrie, Δ, rădăcinile, semnul, imaginea și monotonia, calculate pe loc.FuncțiiExponențiala și logaritmul →Baza a pe glisor: aˣ și logₐ x, simetrice față de y = x; cresc pentru a > 1 și descresc pentru 0 < a < 1.FuncțiiTransformări de grafice →g(x) = k·f(x − a) + b: muți, întinzi și răstorni graficul și vezi de ce f(x − 2) merge la dreapta.FuncțiiCalculator grafic →Scrii orice funcție și îi vezi graficul, cu rădăcinile și punctele de extrem.