Funcții, proprietăți și grafice: teorie pentru Bacalaureat

Monotonie, injectivitate/surjectivitate, funcție inversă, funcții compuse, exponențială și logaritmică.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 102 grile pe acest capitol →

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I f(x) = ax+b (a≠0) e strict crescătoare dacă a>0 și strict descrescătoare dacă a<0; are zeroul x = −ba.
Semnul funcției de gradul I: pe (−∞, −ba) are semn contrar lui a, iar pe (−ba, +∞) are semnul lui a; se citește direct din poziția zeroului. Graficul intersectează axa Ox în (−ba, 0) și axa Oy în (0, b); coeficientul a este panta dreptei, a = tg θ, unde θ e unghiul făcut de dreaptă cu semiaxa pozitivă Ox.
Tabelul de semn al funcției f(x) = ax+b, pentru a > 0 (pentru a < 0, semnele de pe cele două intervale se inversează)
x −∞ −ba +∞
f(x) − 0 +

x	−∞		−ba		+∞
f(x)		−	0	+

Funcția de gradul al II-a

Funcția de gradul al II-lea f(x) = ax² + bx + c are vârful parabolei în punctul V(−b2a, −Δ4a); Imf = [−Δ4a, ∞) dacă a>0, respectiv (−∞, −Δ4a] dacă a<0.
Forma canonică a funcției de gradul al II-lea
Forma canonică (prin completarea pătratului): f(x) = a(x − h)² + k, unde h = −b2a și k = −Δ4a (aceleași coordonate ca ale vârfului V(h,k)). Scrierea sub această formă arată direct că f(x) − k are semnul lui a·(x−h)², deci k e minimul funcției dacă a>0, respectiv maximul dacă a<0.
Monotonia funcției de gradul al II-lea: dacă a>0, f e strict descrescătoare pe (−∞, −b2a) și strict crescătoare pe (−b2a, +∞); dacă a<0, ordinea se inversează (crescătoare, apoi descrescătoare).
Tabelul de variație al funcției f(x) = ax² + bx + c, pentru a > 0
x −∞ −b2a +∞
f(x) ↘ −Δ4a (minim) ↗
Tabelul de variație al funcției f(x) = ax² + bx + c, pentru a < 0
x −∞ −b2a +∞
f(x) ↗ −Δ4a (maxim) ↘
Graficul intersectează axa Oy în (0, c). Poziția parabolei față de Ox depinde de Δ: dacă Δ<0, parabola nu atinge Ox (nicio rădăcină reală); dacă Δ=0, parabola e tangentă la Ox în vârf (rădăcină dublă x=−b2a); dacă Δ>0, parabola taie Ox în două puncte distincte, x_1,2 = −b±√Δ2a.
Semnul funcției de gradul al II-lea: dacă Δ<0, f are semnul lui a pe tot R; dacă Δ=0, f are semnul lui a pe R, cu excepția rădăcinii duble x=−b2a, unde se anulează; dacă Δ>0, cu x₁ < x₂ rădăcinile, f are semnul lui a în afara intervalului [x₁,x₂] și semn contrar lui a în interiorul lui (x₁,x₂).

x	−∞		−b2a		+∞
f(x)		↘	−Δ4a (minim)	↗

x	−∞		−b2a		+∞
f(x)		↗	−Δ4a (maxim)	↘

Injectivitate, surjectivitate, funcția inversă

O funcție f: A → B este bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă; doar atunci admite inversă. Imf = mulțimea valorilor efectiv luate de f.
Interpretare geometrică (testul dreptei orizontale): f:A→B (A,B⊆R) este injectivă d.d. orice paralelă la Ox prin y∈B taie graficul lui f în cel mult un punct; surjectivă d.d. îl taie în cel puțin un punct; bijectivă d.d. îl taie în exact un punct. Graficele lui f și f⁻¹, în același sistem de axe, sunt simetrice față de prima bisectoare (dreapta y=x).

Paritate, periodicitate, compunere și funcții particulare

f este pară dacă f(−x)=f(x) pentru orice x, și impară dacă f(−x)=−f(x). f este periodică de perioadă T dacă f(x+T)=f(x) pentru orice x.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)); se aplică mai întâi g, apoi f.
Funcția signum: sgn(x) = −1 dacă x<0, sgn(x) = 0 dacă x=0, sgn(x) = 1 dacă x>0. Proprietate utilă: x = sgn(x)·|x|, pentru orice x∈R.
Funcția putere f(x)=xⁿ (n∈N, n≥2): dacă n e par, f:R→[0,∞) e pară, nu e injectivă pe R, dar e strict crescătoare (deci bijectivă) pe [0,∞); dacă n e impar, f:R→R e impară și bijectivă pe tot R.
Funcția radical f(x)=ⁿ√x: pentru n par, f:[0,∞)→[0,∞) e strict crescătoare și bijectivă; este inversa funcției putere xⁿ restricționată la [0,∞); pentru n impar, f:R→R e strict crescătoare și bijectivă pe tot R.

Funcția exponențială

Funcția exponențială f(x) = aˣ (a>0, a≠1) e strict crescătoare dacă a>1 și strict descrescătoare dacă a∈(0,1).
Comparând funcții exponențiale cu baze diferite 1 < a < b: pentru x > 0, aˣ < bˣ; pentru x < 0, aˣ > bˣ (analog, inversat, pentru baze subunitare 0 < a < b < 1).
Aplicație practică
Modelul exponențial descrie orice proces cu rată de variație proporțională cu valoarea curentă: creșterea unei populații de bacterii, dobânda compusă, sau dezintegrarea radioactivă (unde baza a<1, deci funcția e descrescătoare); timpul de înjumătățire al unui izotop se calculează exact rezolvând o ecuație exponențială de forma celor de mai sus.

Funcția logaritmică

Funcția logaritmică f(x) = log_a x este inversa funcției exponențiale aˣ; aˣ = b ⇔ x = log_a b.
Proprietăți ale logaritmilor: log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a(xy) = log_a x − log_a y, log_a(xⁿ) = n·log_a x, iar schimbarea bazei: log_a b = log_c blog_c a. Relația reciprocă: log_a b = 1log_b a (a,b>0, a,b≠1).