Legi de compoziție și grupuri: teorie pentru Bacalaureat

Lege de compoziție, tabla operației, grup, subgrup, morfism și izomorfism de grupuri.

Avansat Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 91 grile pe acest capitol →

O lege de compoziție pe M este o funcție φ: M×M → M; se notează de obicei aditiv (+) sau multiplicativ (·).
O lege este asociativă dacă (x∘y)∘z = x∘(y∘z), și comutativă dacă x∘y = y∘x, pentru orice x, y, z.
Element neutru e: x∘e = e∘x = x pentru orice x. Element simetrizabil x: există x′ cu x∘x′ = x′∘x = e.
Elementul a∈M este element absorbant pentru legea ∘ dacă x∘a = a∘x = a, pentru orice x∈M; spre deosebire de elementul neutru, „înghite” orice alt element combinat cu el. Dacă există, e unic.
Dacă x, y∈G sunt simetrizabile, atunci x∘y este simetrizabil și (x∘y)′ = y′∘x′ (ordinea se inversează, ca la inversa unui produs de matrice).
Ce se citește din tabla unei legi de compoziție?
Într-un grup finit (G,∘), pentru a fixat, ecuațiile a∘x=b și y∘a=b au soluție unică în G. De aceea, în tabla legii ∘, fiecare linie și fiecare coloană conține o dată și numai o dată fiecare element din G („pătrat latin”). Elementul neutru se recunoaște ca acea linie/coloană identică cu antetul tabelei. Tabla e simetrică față de diagonala principală dacă și numai dacă legea e comutativă.

(G, ∘) este grup dacă legea e asociativă, are element neutru și orice element e simetrizabil; grup comutativ (abelian) dacă legea e și comutativă.
Ce este o parte stabilă?
M₀ ⊆ M este parte stabilă a lui M în raport cu legea ∘ dacă x₀∘y₀ ∈ M₀ pentru orice x₀, y₀ ∈ M₀; altfel spus, legea nu „iese” din M₀. E prima condiție de verificat când se arată că (M₀,∘) e subgrup al lui (M,∘): parte stabilă, plus faptul că (M₀,∘) e el însuși grup.
H ⊆ G este subgrup dacă H este parte stabilă față de ∘ și (H, ∘) este el însuși grup.
f: G → G′ este morfism de grupuri dacă f(x∘y) = f(x)∘′f(y) pentru orice x, y ∈ G; izomorfism dacă f este și bijectivă.
Ordinul unui element x într-un grup (G,∘) cu elementul neutru e este cel mai mic număr natural nenul m pentru care x∘x∘...∘x (de m ori) = e. Ordinul unui grup finit G este cardinalul mulțimii G.

Ce este ℤₙ?
ℤₙ = {0̂,1̂,...,(n−1)̂} este mulțimea claselor de resturi modulo n, cu adunarea x̂+ŷ = (x+y) mod n și înmulțirea x̂·ŷ = (xy) mod n.
(ℤₙ, +) este întotdeauna grup abelian, cu elementul neutru 0̂ și opusul lui x̂ egal cu (n−x)̂ (pentru x̂≠0̂). Un element x̂≠0̂ este inversabil față de înmulțire ⇔ (x,n)=1 (x și n sunt prime între ele).
Dacă p este prim, orice element nenul din ℤₚ este inversabil față de înmulțire, deci (ℤₚ,+,·) este corp, cel mai important caz particular al lui ℤₙ.
Aplicație practică
Orele ceasului formează un exemplu concret de grup: (ℤ₁₂, +): adunarea „se întoarce” la 0 după 12, exact ca la ore. Aritmetica modulo n, aceeași idee, e și baza criptografiei moderne (RSA): securitatea plăților online se bazează pe cât de greu e să „inversezi” anumite operații în astfel de structuri, chiar dacă regulile de bază sunt simple.

Monoid: mulțime cu o lege asociativă și element neutru (fără a cere ca fiecare element să fie simetrizabil). Inel (A,+,·): (A,+) este grup abelian, (A,·) este monoid, iar înmulțirea este distributivă față de adunare. Corp: inel în care mulțimea A fără elementul neutru la + formează grup față de ·.