Acasă / Teorie / Legi de compoziție și grupuri

Legi de compoziție și grupuri: teorie pentru Bacalaureat

Lege de compoziție, tabla operației, grup, subgrup, morfism și izomorfism de grupuri.

Avansat Aplicabil la: M1, M2, M3 Treci la grile (126)

Legi de compoziție
  • O lege de compoziție pe M este o funcție φ: M×M → M; se notează de obicei aditiv (+) sau multiplicativ (·).
  • O lege este asociativă dacă (x∘y)∘z = x∘(y∘z), și comutativă dacă x∘y = y∘x, pentru orice x, y, z.
  • Element neutru e: x∘e = e∘x = x pentru orice x. Element simetrizabil x: există x′ cu x∘x′ = x′∘x = e.
    +000121112022201verde: neutrul 0; portocaliu: x + x′ = 0 (1 și 2 sunt simetrice)
  • Elementul a∈M este element absorbant pentru legea ∘ dacă x∘a = a∘x = a, pentru orice x∈M; spre deosebire de elementul neutru, „înghite” orice alt element combinat cu el. Dacă există, e unic.
  • Dacă x, y∈G sunt simetrizabile, atunci x∘y este simetrizabil și (x∘y)′ = y′∘x′ (ordinea se inversează, ca la inversa unui produs de matrice).

  • Ce se citește din tabla unei legi de compoziție?

    Într-un grup finit (G,∘), pentru a fixat, ecuațiile a∘x=b și y∘a=b au soluție unică în G. De aceea, în tabla legii ∘, fiecare linie și fiecare coloană conține o dată și numai o dată fiecare element din G („pătrat latin”). Elementul neutru se recunoaște ca acea linie/coloană identică cu antetul tabelei. Tabla e simetrică față de diagonala principală dacă și numai dacă legea e comutativă.

  • Simetricul simetricului e elementul însuși: (x′)′ = x. Notații: la o lege aditivă, neutrul se scrie 0, iar simetricul −x (opusul); la una multiplicativă, neutrul se scrie 1, iar simetricul x⁻¹ (inversul).

Grupuri, subgrupuri, morfisme
  • (G, ∘) este grup dacă legea e asociativă, are element neutru și orice element e simetrizabil; grup comutativ (abelian) dacă legea e și comutativă.
    +0̂0̂1̂1̂2̂2̂3̂3̂0̂1̂2̂3̂1̂2̂3̂0̂2̂3̂0̂1̂3̂0̂1̂2̂linia și coloana lui 0̂ repetă capultablei: 0̂ e elementul neutru0̂ apare pe fiecare linie (verde):fiecare element are un simetrictabla e simetrică față de diagonală:legea e comutativă

  • Ce este o parte stabilă?

    M₀ ⊆ M este parte stabilă a lui M în raport cu legea ∘ dacă x₀∘y₀ ∈ M₀ pentru orice x₀, y₀ ∈ M₀; altfel spus, legea nu „iese” din M₀. E prima condiție de verificat când se arată că (M₀,∘) e subgrup al lui (M,∘): parte stabilă, plus faptul că (M₀,∘) e el însuși grup.

  • H ⊆ G este subgrup dacă H este parte stabilă față de ∘ și (H, ∘) este el însuși grup.
  • f: G → G′ este morfism de grupuri dacă f(x∘y) = f(x)∘′f(y) pentru orice x, y ∈ G; izomorfism dacă f este și bijectivă.
  • Ordinul unui element x într-un grup (G,∘) cu elementul neutru e este cel mai mic număr natural nenul m pentru care x∘x∘...∘x (de m ori) = e. Ordinul unui grup finit G este cardinalul mulțimii G.
    0̂1̂2̂3̂4̂5̂2̂ + 2̂ = 4̂2̂ + 2̂ + 2̂ = 0̂de 3 ori ⇒ ord(2̂) = 3
  • Într-un grup, ecuațiile a∘x = b și y∘a = b au soluțiile unice x = a′∘b, respectiv y = b∘a′. De aici se poate „simplifica”: a∘x = a∘y ⇒ x = y.
  • Criteriu de subgrup: H ⊆ G nevidă e subgrup ⇔ x∘y ∈ H și x′ ∈ H, pentru orice x, y ∈ H. Puteri (notație multiplicativă): aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (aⁿ)⁻¹ = a⁻ⁿ, cu a⁰ = e; în notație aditivă, ma + na = (m+n)a.
  • Exemplu clasic de izomorfism: ln: ((0, ∞), ·) → (R, +), fiindcă ln e bijectivă și ln(xy) = ln x + ln y. Un izomorfism duce neutrul în neutru și simetricul lui x în simetricul lui f(x).

ℤₙ: clase de resturi modulo n

  • Ce este ℤₙ?

    ℤₙ = {0̂,1̂,...,(n−1)̂} este mulțimea claselor de resturi modulo n, cu adunarea x̂+ŷ = (x+y) mod n și înmulțirea x̂·ŷ = (xy) mod n.

  • (ℤₙ, +) este întotdeauna grup abelian, cu elementul neutru 0̂ și opusul lui x̂ egal cu (n−x)̂ (pentru x̂≠0̂). Un element x̂≠0̂ este inversabil față de înmulțire ⇔ (x,n)=1 (x și n sunt prime între ele).
    012345678910119+5=29 + 5 = 14, iar restul lui 14 la 12 e 2pornești de la 9 și înaintezi 5 ore
  • Dacă p este prim, orice element nenul din ℤₚ este inversabil față de înmulțire, deci (ℤₚ,+,·) este corp, cel mai important caz particular al lui ℤₙ.

  • Aplicație practică

    Orele ceasului formează un exemplu concret de grup: (ℤ₁₂, +): adunarea „se întoarce” la 0 după 12, exact ca la ore. Aritmetica modulo n, aceeași idee, e și baza criptografiei moderne (RSA): securitatea plăților online se bazează pe cât de greu e să „inversezi” anumite operații în astfel de structuri, chiar dacă regulile de bază sunt simple.

  • Dacă n nu e prim, ℤₙ are divizori ai lui zero, deci nu e corp: pentru n = a·b cu 1 < a < n, â·b̂ = 0̂ (în ℤ₆, 2̂·3̂ = 0̂). Mica teoremă a lui Fermat în ℤₚ (p prim): âp−1 = 1̂ pentru orice â ≠ 0̂, utilă la inverse și la puteri mari (în ℤ₅, 2̂⁴ = 1̂).

Alte structuri algebrice
  • Monoid: mulțime cu o lege asociativă și element neutru (fără a cere ca fiecare element să fie simetrizabil). Inel (A,+,·): (A,+) este grup abelian, (A,·) este monoid, iar înmulțirea este distributivă față de adunare. Corp: inel în care mulțimea A fără elementul neutru la + formează grup față de ·.
    Monoidlege asociativă + element neutruGrup+ fiecare element e simetrizabilInel(A, +) grup abelian, (A, ·) monoid, distributivitateCorp+ orice x ≠ 0 e inversabil la ·
  • Divizori ai lui zero: elemente nenule u, v cu u·v = 0. Un inel comutativ fără divizori ai lui zero e domeniu de integritate (de exemplu Z, unde singurele elemente inversabile sunt 1 și −1). Corp: inel cu 0 ≠ 1 în care orice element nenul e inversabil (Q, R, C, ℤₚ cu p prim).
  • Morfism de inele: f(x + y) = f(x) + f(y) și f(x·y) = f(x)·f(y) pentru orice x, y; dacă f e și bijectivă, e izomorfism de inele.
4 secțiuni · 126 de grileTreci la grile

Încearcă în simulator

Structuri algebriceTabla lui ℤₙ →Tabla adunării și a înmulțirii modulo n: elemente inversabile, divizori ai lui zero, când e ℤₙ corp.

Te-ai verificat?

GrileExersează 126 de grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Subiectele II–IIIProbleme pe tipuri →Cerințe din subiectele oficiale, cu pașii scoși treptat.Capitolul următorPolinoame →Împărțirea polinoamelor, teorema lui Bézout, schema lui Horner, relațiile lui Viète.