Limite de șiruri: teorie pentru Bacalaureat

Șiruri mărginite, monotone, limite remarcabile.

Mediu Aplicabil la: M1, M2 Exersează 68 grile pe acest capitol →

Un șir e mărginit dacă are atât un majorant cât și un minorant. Un șir monoton și mărginit este convergent (teorema lui Weierstrass).
La limita unui raport de polinoame în n, contează gradul cel mai mare de la numărător și numitor: dacă gradele sunt egale, limita e raportul coeficienților termenilor de grad maxim; dacă gradul numărătorului e mai mare, limita e ±∞; dacă e mai mic, limita e 0.

Limite remarcabile: limn→∞ (1+1n)ⁿ = e ≈ 2,71828…; mai general, limn→∞ (1+an)ⁿ = eᵃ, pentru orice a ∈ R.
Limita șirului geometric qⁿ (n→∞): 0 dacă |q| < 1; 1 dacă q = 1; ∞ dacă q > 1; nu există dacă q ≤ −1. Limita șirului nᵅ (n→∞, α real fixat): 0 dacă α < 0; 1 dacă α = 0; ∞ dacă α > 0.
Aplicație practică
Numărul e apare natural la dobânda compusă calculată din ce în ce mai des (lunar, zilnic, în fiecare secundă): dacă 1 leu ar aduce 100% dobândă anuală, compusă de n ori pe an, suma finală (1+1n)ⁿ tinde exact la e ≈ 2,71828 pe măsură ce n crește, exact „dobânda compusă continuu” folosită în modele financiare reale.

Operații cu șiruri convergente
Dacă (aₙ) și (bₙ) sunt șiruri convergente, cu lim aₙ = a și lim bₙ = b (a, b ∈ R), atunci: lim (aₙ ± bₙ) = a ± b; lim (aₙ·bₙ) = a·b; dacă b ≠ 0, lim (aₙ/bₙ) = ab; dacă a > 0, limita șirului aₙ la puterea bₙ este a^b (când membrul drept are sens).
Regulile de mai sus se aplică DOAR când limitele aₙ și bₙ sunt finite. Dacă apare o formă de tipul ∞ − ∞, ∞/∞, 0·∞ sau 1^∞, ele NU se aplică direct; e nevoie de un artificiu de calcul (factor comun forțat, raționalizare, împărțire la termenul dominant); lista completă a cazurilor exceptate e detaliată la capitolul „Limite, derivate și integrale”.
Exemplu: dacă lim aₙ = 3 și lim bₙ = 2, atunci lim (2aₙ − bₙ) = 2·3 − 2 = 4, iar lim (aₙ/bₙ) = 32.

Criteriul cleștelui (majorare-minorare)
Dacă (aₙ), (bₙ), (cₙ) sunt șiruri cu aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ (cel puțin de la un rang încolo) și lim aₙ = lim cₙ = l, atunci lim bₙ = l.
Se folosește când (bₙ) e complicat, dar poate fi încadrat între două șiruri simple cu aceeași limită (tipic pentru șiruri cu sin sau cos, mereu cuprinse între −1 și 1).
Exemplu: pentru bₙ = sin(n)n avem −1n ≤ bₙ ≤ 1n pentru orice n ≥ 1 (fiindcă −1 ≤ sin(n) ≤ 1). Cum lim (−1n) = lim (1n) = 0, din criteriul cleștelui rezultă lim bₙ = 0.
Caz particular foarte util, criteriul majorării spre 0: dacă |bₙ| ≤ aₙ pentru orice n și lim aₙ = 0, atunci lim bₙ = 0 (se obține din cleștele −aₙ ≤ bₙ ≤ aₙ).

Tehnica raționalizării
Când apare o formă ∞ − ∞ cu radicali (de exemplu lim [√(n² + n) − n]), se amplifică fracția cu conjugata („raționalizare”), transformând scăderea de radicali într-o fracție unde se poate simplifica gradul dominant.
Exemplu rezolvat: limn→∞ [√(n² + n) − n]. Amplificăm cu conjugata √(n² + n) + n: expresia devine n² + n − n²√(n² + n) + n = n√(n² + n) + n. Împărțind numărătorul și numitorul cu n: 1√(1 + 1/n) + 1 → 11 + 1 = 12.
Pentru radical de ordinul 3 (∛), se folosește identitatea a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²): se amplifică cu (a² + ab + b²) ca să elimine radicalul de la scădere.

Pentru a > 1 și k ∈ N fixat, exponențiala „crește mai repede” decât puterea: limn→∞ nᵏ/aⁿ = 0, iar limn→∞ aⁿnᵏ = ∞. Într-o fracție cu sumă de exponențiale și puteri, la ∞ domină exponențiala cu baza cea mai mare.
Când numărătorul și numitorul au ambele exponențiale cu baze diferite, se dă factor comun forțat exponențiala cu baza cea mai mare (atât sus, cât și jos); ceilalți termeni tind spre 0 sau ∞ conform regulii de mai sus.
Exemplu rezolvat: limn→∞ 3ⁿ + 2n²4ⁿ + 1. Se dă factor 4ⁿ forțat: = (3/4)ⁿ + 2n²/4ⁿ1 + 1/4ⁿ. Cum 0 < 34 < 1, avem (34)ⁿ → 0; din regula de mai sus, n²4ⁿ → 0 și 14ⁿ → 0. Limita e 0 + 01 + 0 = 0.