Limite de șiruri: teorie pentru Bacalaureat
Șiruri mărginite, monotone, limite remarcabile.
Mediu
Treci la grile (80)
Șiruri mărginite și monotone
- Un șir e mărginit dacă are atât un majorant cât și un minorant. Un șir monoton și mărginit este convergent (teorema lui Weierstrass).
- La limita unui raport de polinoame în n, contează gradul cel mai mare de la numărător și numitor: dacă gradele sunt egale, limita e raportul coeficienților termenilor de grad maxim; dacă gradul numărătorului e mai mare, limita e ±∞; dacă e mai mic, limita e 0.
- Monotonia se citește din semnul diferenței an+1 − an: pozitivă pentru orice n ⇒ șir strict crescător; negativă ⇒ strict descrescător. Pentru șiruri cu termeni pozitivi se poate compara și raportul an+1an cu 1.
- (aₙ) e mărginit dacă există M > 0 cu |aₙ| ≤ M pentru orice n. Șirul are limita l (finită) dacă, oricât de mic ar fi ε > 0, de la un rang încolo toți termenii stau în intervalul (l − ε, l + ε). Șirurile cu limită infinită sau fără limită se numesc divergente.
- Subșiruri: dacă un șir are limită, orice subșir al lui are aceeași limită. Consecință: dacă două subșiruri au limite diferite, șirul nu are limită. De exemplu, la aₙ = (−1)ⁿ, termenii de rang par tind la 1, iar cei de rang impar, la −1.
- Legături între proprietăți: orice șir monoton are limită (finită sau infinită); orice șir convergent e mărginit; un șir monoton și mărginit e convergent. Reciprocele sunt false: (−1)ⁿ⁺¹n tinde la 0 fără să fie monoton, iar (−1)ⁿ e mărginit, dar nu converge.
Limite remarcabile
- Limite remarcabile: limn→∞ (1+1n)ⁿ = e ≈ 2,71828…; mai general, limn→∞ (1+an)ⁿ = eᵃ, pentru orice a ∈ R.
- Limita șirului geometric qⁿ (n→∞): 0 dacă |q| < 1; 1 dacă q = 1; ∞ dacă q > 1; nu există dacă q ≤ −1. Limita șirului nᵅ (n→∞, α real fixat): 0 dacă α < 0; 1 dacă α = 0; ∞ dacă α > 0.
Aplicație practică
Numărul e apare natural la dobânda compusă calculată din ce în ce mai des (lunar, zilnic, în fiecare secundă): dacă 1 leu ar aduce 100% dobândă anuală, compusă de n ori pe an, suma finală (1+1n)ⁿ tinde exact la e ≈ 2,71828 pe măsură ce n crește, exact „dobânda compusă continuu” folosită în modele financiare reale.
- Alte limite de șiruri: limn→∞ 1nʳ = 0 (r > 0); limn→∞ naⁿ = 0 (|a| > 1); limn→∞ aⁿn! = 0 (orice a real); limn→∞ ln(n)nʳ = 0 (r > 0). Factorialul crește mai repede decât orice exponențială, iar logaritmul mai încet decât orice putere.
- Limita unui polinom în n e dată de termenul de grad maxim: limn→∞ (a₀nᵖ + a₁nᵖ⁻¹ + … + aₚ) = +∞ dacă a₀ > 0 și −∞ dacă a₀ < 0.
- Numărul e: șirul (1 + 1n)ⁿ e crescător și mărginit, iar sumele 1 + 11! + 12! + … + 1n! tind tot la e. Ambele șiruri rămân sub e, iar 2 < e < 3 (e ≈ 2,71828).
Operații cu limite convergente
Operații cu șiruri convergente
Dacă (aₙ) și (bₙ) sunt șiruri convergente, cu lim aₙ = a și lim bₙ = b (a, b ∈ R), atunci: lim (aₙ ± bₙ) = a ± b; lim (aₙ·bₙ) = a·b; dacă b ≠ 0, lim (aₙbₙ) = ab; dacă a > 0, limita șirului aₙ la puterea bₙ este ab (când membrul drept are sens).
- Regulile de mai sus se aplică DOAR când limitele aₙ și bₙ sunt finite. Dacă apare o formă de tipul ∞ − ∞, ∞/∞, 0·∞ sau 1∞, ele NU se aplică direct; e nevoie de un artificiu de calcul (factor comun forțat, raționalizare, împărțire la termenul dominant); lista completă a cazurilor exceptate e detaliată la capitolul „Limite, derivate și integrale”.
- Exemplu: dacă lim aₙ = 3 și lim bₙ = 2, atunci lim (2aₙ − bₙ) = 2·3 − 2 = 4, iar lim (aₙbₙ) = 32.
Operații cu ±∞ și cazuri exceptate
- Pe dreapta încheiată R̄ = R ∪ {−∞, +∞}: a + ∞ = ∞ (a ≠ −∞); a·∞ = ∞ pentru a > 0 și −∞ pentru a < 0; a împărțit la ±∞ dă 0 pentru a real; a împărțit la +0 (un număr pozitiv care tinde la 0) dă +∞ pentru a > 0; ∞ᵇ = ∞ pentru b > 0 și 0 pentru b < 0; a+∞ = ∞ pentru a > 1 și 0 pentru 0 < a < 1.
- Cazurile exceptate se numesc așa fiindcă același tip poate da rezultate diferite. Pentru ∞ − ∞: (2n² + n) − n² → ∞, dar (n² + 1) − n² → 1. În schimb, 0+∞ (baza pozitivă tinde la 0, exponentul la ∞) NU e caz exceptat: rezultatul e mereu 0.
Criteriul cleștelui (majorare-minorare)
Criteriul cleștelui (majorare-minorare)
Dacă (aₙ), (bₙ), (cₙ) sunt șiruri cu aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ (cel puțin de la un rang încolo) și lim aₙ = lim cₙ = l, atunci lim bₙ = l.
- Se folosește când (bₙ) e complicat, dar poate fi încadrat între două șiruri simple cu aceeași limită (tipic pentru șiruri cu sin sau cos, mereu cuprinse între −1 și 1).
- Exemplu: pentru bₙ = sin(n)n avem −1n ≤ bₙ ≤ 1n pentru orice n ≥ 1 (fiindcă −1 ≤ sin(n) ≤ 1). Cum lim (−1n) = lim (1n) = 0, din criteriul cleștelui rezultă lim bₙ = 0.
- Caz particular foarte util, criteriul majorării spre 0: dacă |bₙ| ≤ aₙ pentru orice n și lim aₙ = 0, atunci lim bₙ = 0 (se obține din cleștele −aₙ ≤ bₙ ≤ aₙ).
- Varianta pentru limite infinite: dacă xₙ ≥ aₙ și aₙ → +∞, atunci xₙ → +∞; analog, dacă xₙ ≤ bₙ și bₙ → −∞, atunci xₙ → −∞.
- Produsul dintre un șir mărginit și un șir cu limita 0 are limita 0: de exemplu cos(n)n² → 0. La fel, dacă |xₙ − l| ≤ bₙ și bₙ → 0, atunci xₙ → l.
Limite cu radicali (raționalizare)
Tehnica raționalizării
Când apare o formă ∞ − ∞ cu radicali (de exemplu lim [√n² + n − n]), se amplifică fracția cu conjugata („raționalizare”), transformând scăderea de radicali într-o fracție unde se poate simplifica gradul dominant.
- Exemplu rezolvat: limn→∞ [√n² + n − n]. Amplificăm cu conjugata √n² + n + n: expresia devine n² + n − n²√(n² + n) + n = n√(n² + n) + n. Împărțind numărătorul și numitorul cu n: 1√(1 + 1/n) + 1 → 11 + 1 = 12.
- Pentru radical de ordinul 3 (∛), se folosește identitatea a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²): se amplifică cu (a² + ab + b²) ca să elimine radicalul de la scădere.
Compararea ordinelor de creștere (puteri și exponențiale)
- Pentru a > 1 și k ∈ N fixat, exponențiala „crește mai repede” decât puterea: limn→∞ nᵏaⁿ = 0, iar limn→∞ aⁿnᵏ = ∞. Într-o fracție cu sumă de exponențiale și puteri, la ∞ domină exponențiala cu baza cea mai mare.
- Când numărătorul și numitorul au ambele exponențiale cu baze diferite, se dă factor comun forțat exponențiala cu baza cea mai mare (atât sus, cât și jos); ceilalți termeni tind spre 0 sau ∞ conform regulii de mai sus.
- Exemplu rezolvat: limn→∞ 3ⁿ + 2n²4ⁿ + 1. Se dă factor 4ⁿ forțat: = (3/4)ⁿ + 2n²/4ⁿ1 + 1/4ⁿ. Cum 0 < 34 < 1, avem (34)ⁿ → 0; din regula de mai sus, n²4ⁿ → 0 și 14ⁿ → 0. Limita e 0 + 01 + 0 = 0.
Criterii pentru limite mai grele (utile la admitere)
- Criteriul raportului (Cauchy-d'Alembert): dacă aₙ > 0 și an+1an → l, atunci și n√aₙ → l. Exemplu: n√n → 1, fiindcă n+1n → 1.
- Lema Stolz-Cesàro (cazul ∞/∞): dacă (bₙ) e strict crescător și nemărginit, iar an+1 − anbn+1 − bn → l, atunci aₙbₙ → l. Exemplu: 1 + 2 + … + nn² → 12, fiindcă n+1(n+1)² − n² = n+12n+1 → 12.
- Stolz-Cesàro are și un caz 00: dacă aₙ → 0, bₙ → 0, (bₙ) e strict descrescător și an+1 − anbn+1 − bn → l, atunci tot aₙbₙ → l.
Încearcă în simulator
Te-ai verificat?
GrileExersează 80 de grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Capitolul următorMatrice, determinanți și sisteme liniare →Operații cu matrice și determinanți pentru toate profilurile; permutări și sisteme Kronecker-Capelli/Rouché/Gauss suplimentar la M1.