Polinoame: teorie pentru Bacalaureat
Împărțirea polinoamelor, teorema lui Bézout, schema lui Horner, relațiile lui Viète.
Avansat
Treci la grile (86)
Împărțirea polinoamelor
- Un polinom de grad n cu coeficienți complecși: f = aₙXⁿ + ... + a₁X + a₀, cu aₙ≠0.
- Teorema restului: restul împărțirii lui f la X−a este f(a). Teorema lui Bézout: f divizibil cu X−a ⇔ f(a)=0.
- Schema lui Horner: metodă rapidă de a calcula câtul și restul împărțirii unui polinom la X−a.
- f este divizibil cu g dacă și numai dacă toate rădăcinile lui g sunt rădăcini ale lui f, cu multiplicități cel puțin egale, generalizare a teoremei lui Bézout (cazul particular g=X−a).
- Teorema împărțirii cu rest: pentru f și g ≠ 0 există un cât c și un rest r, unice, cu f = g·c + r și grad r < grad g; grad c = grad f − grad g. f e divizibil cu g ⇔ restul e polinomul nul.
- Forma descompusă: f = a₀(X − x₁)n₁·(X − x₂)n₂·…·(X − xₖ)nₖ, unde x₁, …, xₖ sunt rădăcinile distincte, iar multiplicitățile au suma n₁ + … + nₖ = grad f.
Relațiile lui Viète
- Relațiile lui Viète pentru aX³+bX²+cX+d=0, cu rădăcinile x₁,x₂,x₃: x₁+x₂+x₃=−ba, x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=ca, x₁x₂x₃=−da.
- Relațiile lui Viète pentru aX⁴+bX³+cX²+dX+e=0, cu rădăcinile x₁,x₂,x₃,x₄: x₁+x₂+x₃+x₄=−ba, suma produselor câte două (x₁x₂+x₁x₃+...+x₃x₄)=ca, suma produselor câte trei (x₁x₂x₃+...+x₂x₃x₄)=−da, x₁x₂x₃x₄=ea.
- Teorema fundamentală a algebrei: un polinom de grad n cu coeficienți complecși are exact n rădăcini în C (cu multiplicități).
- La gradul 4 (aX⁴ + bX³ + cX² + dX + e), sumele de produse se grupează comod: x₁x₂ + x₃x₄ + (x₁ + x₂)(x₃ + x₄) = ca și x₁x₂(x₃ + x₄) + x₃x₄(x₁ + x₂) = −da.
Teoreme despre natura rădăcinilor
- Teorema rădăcinilor raționale: dacă f are coeficienți întregi și α=pq (p,q întregi, q≠0, (p,q)=1) este rădăcină rațională a lui f, atunci p divide termenul liber a₀, iar q divide coeficientul dominant aₙ. Dacă α întreg e rădăcină, atunci α divide a₀.
- Dacă f are coeficienți reali și z=a+bi (b≠0) este rădăcină a lui f, atunci conjugatul z̄=a−bi este de asemenea rădăcină a lui f (rădăcinile complexe nereale apar în perechi conjugate).
- Dacă f are coeficienți raționali și α = a + b√q este rădăcină (a,b∈Q, b≠0, q>0 nu e pătrat perfect), atunci conjugatul α′ = a − b√q este de asemenea rădăcină a lui f; rădăcinile iraționale de acest tip apar în perechi conjugate, la fel ca rădăcinile complexe.
- Consecință pentru divizibilitate: dacă f ∈ R[X] are rădăcina a + bi (b ≠ 0), atunci f se divide cu (X − a)² + b²; dacă f ∈ Q[X] are rădăcina a + b√q, atunci f se divide cu (X − a)² − b²q.
Factorizare
- Polinoame ireductibile: în C[X], singurele polinoame ireductibile au gradul 1. În R[X], polinoamele ireductibile au gradul 1, sau gradul 2 cu discriminant negativ.
- Cel mai mare divizor comun (f,g) și cel mai mic multiplu comun [f,g] a două polinoame se calculează fie prin descompunerea în factori ireductibili, fie prin algoritmul lui Euclid (împărțiri succesive); (f,g)·[f,g] = f·g, până la un factor constant nenul.
Aplicație practică
Polinoamele stau la baza desenării curbelor netede pe calculator (grafică, CAD, fonturi de calculator): prin oricâte puncte date trece un polinom unic de grad suficient de mare (interpolare), iar operațiile de aici (împărțire, factorizare) sunt exact ce folosesc programele care manipulează aceste curbe.
Ecuații reciproce de gradul 3 și 5
- Ecuația reciprocă de gradul 3: aX³+bX²+bX+a=0 (coeficienți simetrici) admite întotdeauna soluția x₁=−1; împărțind prin (X+1) (schema lui Horner) se obține o ecuație de gradul al II-lea.
- Ecuația reciprocă de gradul 5: aX⁵+bX⁴+cX³+cX²+bX+a=0 (a≠0) admite întotdeauna soluția x=−1; împărțind prin (X+1) (schema lui Horner) se obține o ecuație reciprocă de gradul 4, rezolvabilă apoi prin substituția t=X+1X.
Ecuații reciproce de gradul 4
- Ecuația reciprocă de gradul 4: aX⁴+bX³+cX²+bX+a=0 (a≠0, X≠0). Se împarte prin X² și se grupează: a(X²+1X²)+b(X+1X)+c=0. Cu t=X+1X, avem X²+1X²=t²−2, deci ecuația devine a(t²−2)+bt+c=0; pentru fiecare soluție t se rezolvă X²−tX+1=0.
Alte ecuații de grad superior
- Ecuații tripătrate: x⁶ + ax³ + b = 0 se rezolvă cu y = x³ (ecuație de gradul II în y), apoi x³ = y. Analog, ecuația bipătrată x⁴ + ax² + b = 0, cu y = x².
- Ecuația binomă xⁿ = a (a complex nenul): scrii a sub formă trigonometrică și iei cele n rădăcini de ordin n (formula de la numere complexe); în plan, ele sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi.