Șiruri de numere reale: teorie pentru Bacalaureat

Progresii aritmetice și geometrice.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 84 grile pe acest capitol →

Progresie aritmetică: a_n = a₁ + (n−1)·r, iar S_n = n·(a₁ + a_n)2. Trei numere a,b,c sunt în progresie aritmetică ⇔ 2b = a+c.
Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor lui: a_n = a_n−1 + a_n+12, pentru orice n ≥ 2; practic condiția „2b=a+c” de mai sus, aplicată vecinilor consecutivi.
Monotonia progresiei aritmetice e dată de semnul rației r: dacă r > 0, șirul e strict crescător; dacă r < 0, e strict descrescător; dacă r = 0, șirul e constant.
Recuperarea termenilor din formula sumei
Suma S_n a unei progresii aritmetice, privită ca funcție de n, are forma S_n = (r2)·n² + (a₁ − r2)·n (fără termen liber, fiindcă S₀=0); util pentru a citi direct rația r și primul termen a₁ dintr-o formulă dată a lui S_n. Pentru orice șir (aritmetic, geometric sau nu), termenul de rang n se recuperează din sumele parțiale: a_n = S_n − S_n−1, pentru n ≥ 2, iar a₁ = S₁.
Interpolarea aritmetică: pentru a introduce m numere între a și b astfel încât, împreună cu a și b, să formeze o progresie aritmetică cu m+2 termeni, rația este r = b−am+1.

Progresie geometrică: a_n = a₁·rⁿ⁻¹, iar S_n = a_1·(rⁿ − 1)r − 1, r ≠ 1. Trei numere a,b,c sunt în progresie geometrică ⇔ b² = ac.
Într-o progresie geometrică cu termeni strict pozitivi, fiecare termen e media geometrică a vecinilor: b_n = √(b_n−1·b_n+1), pentru orice n ≥ 2.
Monotonia progresiei geometrice cu a₁ > 0 depinde de rația q: crescătoare pentru q > 1, descrescătoare pentru 0 < q < 1, constantă pentru q = 1 (dacă q < 0, șirul nu e monoton: termenii alternează ca semn).
Cazul particular q=1 la progresia geometrică: formula S_n = a₁ · qⁿ−1q−1 nu se aplică (numitor nul); atunci toți termenii sunt egali cu a₁, deci S_n = n·a₁.
Interpolarea geometrică: pentru o progresie geometrică cu a, b de același semn, rația q verifică q^m+1 = ba (se alege rădăcina reală de ordinul m+1 cu semnul potrivit).
Aplicație practică
O economie cu depuneri lunare egale, cu dobândă compusă lunar, formează o progresie geometrică; formula sumei S_n permite calculul exact al sumei acumulate după n luni, fără să aduni manual fiecare depunere separat; aceeași idee stă la baza calculului ratei lunare la un credit.