Acasă / Teorie / Șiruri de numere reale

Șiruri de numere reale: teorie pentru Bacalaureat

Progresii aritmetice și geometrice.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Treci la grile (84)

Progresia aritmetică
  • Progresie aritmetică: an = a1 + (n−1)·r, iar Sn = n·(a1 + an)2. Trei numere a,b,c sunt în progresie aritmetică ⇔ 2b = a+c.
    xyOrfiecare pas: + rpunctele (n, aₙ)stau pe o dreaptă
  • Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor lui: an = an−1 + an+12, pentru orice n ≥ 2; practic condiția „2b=a+c” de mai sus, aplicată vecinilor consecutivi.
  • Monotonia progresiei aritmetice e dată de semnul rației r: dacă r > 0, șirul e strict crescător; dacă r < 0, e strict descrescător; dacă r = 0, șirul e constant.
    r > 0: crescătoarer < 0: descrescătoarer = 0: constantă

  • Recuperarea termenilor din formula sumei

    Suma Sn a unei progresii aritmetice, privită ca funcție de n, are forma Sn = (r2)·n² + (a1 − r2)·n (fără termen liber, fiindcă S0=0); util pentru a citi direct rația r și primul termen a1 dintr-o formulă dată a lui Sn. Pentru orice șir (aritmetic, geometric sau nu), termenul de rang n se recuperează din sumele parțiale: an = Sn − Sn−1, pentru n ≥ 2, iar a1 = S1.

  • Interpolarea aritmetică: pentru a introduce m numere între a și b astfel încât, împreună cu a și b, să formeze o progresie aritmetică cu m+2 termeni, rația este r = b−am+1.
    ax₁x₂x₃x₄brrrrrm = 4 numere ⇒ m + 1 = 5 pași egali: r = (b − a)/(m + 1)

Progresia geometrică
  • Progresie geometrică: an = a1·rn−1, iar Sn = a_1·(rn − 1)r − 1, r ≠ 1. Trei numere a,b,c sunt în progresie geometrică ⇔ b² = ac.
    xyOq = 2: crește tot mai repedexyOq = 1/2: scade spre 0
  • Într-o progresie geometrică cu termeni strict pozitivi, fiecare termen e media geometrică a vecinilor: bn = √bn−1·bn+1, pentru orice n ≥ 2.
  • Monotonia progresiei geometrice cu a1 > 0 depinde de rația q: crescătoare pentru q > 1, descrescătoare pentru 0 < q < 1, constantă pentru q = 1 (dacă q < 0, șirul nu e monoton: termenii alternează ca semn).
    q > 1: crescătoare0 < q < 1: descrescătoareq < 0: alternează semnul
  • Cazul particular q=1 la progresia geometrică: formula Sn = a1 · qn−1q−1 nu se aplică (numitor nul); atunci toți termenii sunt egali cu a1, deci Sn = n·a1.
  • Interpolarea geometrică: pentru o progresie geometrică cu a, b de același semn, rația q verifică qm+1 = ba (se alege rădăcina reală de ordinul m+1 cu semnul potrivit).

  • Aplicație practică

    O economie cu depuneri lunare egale, cu dobândă compusă lunar, formează o progresie geometrică; formula sumei Sn permite calculul exact al sumei acumulate după n luni, fără să aduni manual fiecare depunere separat; aceeași idee stă la baza calculului ratei lunare la un credit.

  • Forma echivalentă a sumei: Sn = b₁(1 − qⁿ)1 − q, comodă când |q| < 1 (numărătorul și numitorul rămân pozitive).
2 secțiuni · 84 de grileTreci la grile

Încearcă în simulator

ȘiruriLaboratorul de progresii →Progresii aritmetice și geometrice: termenii ca bare, suma calculată pe rând și suma din formulă.ȘiruriSuma 1 + 2 + … + n →Două scări de pătrățele formează un dreptunghi n × (n + 1): de unde vine n(n + 1)/2 și suma unei progresii.

Te-ai verificat?

GrileExersează 84 de grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Capitolul următorTrigonometrie și elemente de geometrie →Cercul trigonometric, identități, rezolvarea triunghiurilor, relații metrice, patrulatere.