Numere reale, ecuații și inecuații: teorie pentru Bacalaureat

Mulțimi de numere, modul, radicali, ecuații, inecuații și calcul financiar.

Ușor Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 112 grile pe acest capitol →

Ce sunt propoziția și predicatul?
Propoziție: un enunț care poate fi adevărat sau fals, dar nu ambele. Predicat: un enunț ce depinde de o variabilă și devine propoziție când variabila e substituită cu o valoare concretă.
Cuantificatorul universal ∀ ("oricare ar fi") și cuantificatorul existențial ∃ ("există") transformă un predicat într-o propoziție. Negația lui "∀x, P(x)" este "∃x, ¬P(x)"; negația lui "∃x, P(x)" este "∀x, ¬P(x)".
Operații logice: negația ¬p (adevărată când p e falsă); conjuncția p∧q (adevărată doar când ambele sunt adevărate); disjuncția p∨q (adevărată când cel puțin una e adevărată); implicația p⇒q (falsă doar când p e adevărată și q falsă); echivalența p⇔q (adevărată când p și q au aceeași valoare de adevăr).

Operații cu mulțimi (A, B submulțimi ale mulțimii totale E): reuniunea A∪B, intersecția A∩B, diferența A\B, complementara C_E(A) = mulțimea elementelor din E care nu sunt în A. Incluziunea: A⊆B ⇔ orice element din A este și în B.
Legile lui De Morgan: C_E(A∪B) = C_E(A)∩C_E(B) și C_E(A∩B) = C_E(A)∪C_E(B). Echivalentul în logică: ¬(p∨q) ⇔ (¬p)∧(¬q), respectiv ¬(p∧q) ⇔ (¬p)∨(¬q).
Metoda reducerii la absurd: pentru a demonstra o propoziție p, se presupune adevărată negația ei ¬p și se arată că această presupunere conduce la o contradicție (un rezultat fals sau imposibil); concluzia este că p trebuie să fie adevărată.

O ecuație de gradul al II-lea ax²+bx+c=0 (a≠0) are soluțiile x = -b ± √Δ2a, unde Δ = b² − 4ac.
Relațiile lui Viète: S = x₁+x₂ = −ba, P = x₁·x₂ = ca; ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂). Util: x₁²+x₂² = S²−2P.
Reciproca relațiilor lui Viète: fiind date suma S și produsul P a două numere x₁, x₂, acestea sunt soluțiile ecuației x² − Sx + P = 0.
Ecuații bipătrate: ax⁴+bx²+c=0 se rezolvă prin substituția t=x², t≥0; se rezolvă ecuația de gradul al II-lea în t, apoi x=±√t pentru fiecare soluție t≥0 acceptabilă.

Pentru |x − a| = r (r > 0), soluțiile sunt x = a − r sau x = a + r. Mai general: |x|≤a ⇔ −a≤x≤a, iar |x|≥a ⇔ x≤−a sau x≥a (a>0).
Inegalitatea triunghiului pentru modul: |x+y| ≤ |x|+|y|, pentru orice x,y∈R (egalitate doar când x,y au același semn sau unul e 0). Mai general: |x±y| ≥ ||x|−|y||.

La rezolvarea ecuațiilor cu radicali, orice soluție obținută trebuie verificată în ecuația inițială.
Proprietăți ale puterilor: a⁰=1, a⁻ⁿ=1aⁿ, aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Ale radicalilor: √a·√b=√(ab), √a√b=√(ab) (b>0).
Puterea cu exponent rațional: a^pq = ᵠ√(aᵖ), pentru a>0, p∈Z, q∈N*. Radical din radical: ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a (indicii se înmulțesc).

Partea întreagă [x] = n ∈ Z ⇔ n ≤ x < n+1; partea fracționară {x} = x − [x] ∈ [0,1). Orice x real: x = [x] + {x}.
Proprietăți ale părții întregi: [x+n] = n+[x], pentru orice n întreg. Partea fracționară e periodică: {x+k} = {x}, pentru orice k întreg.

Formule de calcul prescurtat: (a±b)² = a²±2ab+b², a²−b² = (a−b)(a+b), a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.
Formula generală: aⁿ − bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹), pentru orice n∈N*; cazurile n=2,3 redau formulele uzuale a²−b², a³−b³.

O scumpire/ieftinire cu p% înmulțește prețul cu (1 + p100), respectiv (1 − p100).
Dobânda simplă pentru suma S, rata anuală p% și n ani: D = S·(p100)·n.
Aplicație practică
Diferența reală dintre dobânda simplă și cea compusă se vede la orizonturi lungi de timp: o depunere de 1000 lei cu 5%/an dă, după 10 ani, 1500 lei la dobândă simplă (D=S·(p100)·n), dar aproape 1629 lei la dobândă compusă (S·(1+p100)ⁿ); diferența crește exponențial cu n, motiv pentru care băncile calculează aproape întotdeauna compus, nu simplu.

Principiul inducției matematice: pentru a demonstra o afirmație P(n) adevărată pentru orice n≥n₀, se verifică P(n₀) (pasul de verificare), apoi se arată că din presupunerea P(k) adevărată rezultă P(k+1) adevărată (pasul de demonstrație).
Formule pentru sume: 1+2+...+n = n(n+1)2; 1²+2²+...+n² = n(n+1)2n+16; 1³+2³+...+n³ = [n(n+1)2]².

Inegalitatea mediilor: pentru numere reale strict pozitive a₁,...,aₙ, media aritmetică ≥ media geometrică ≥ media armonică, adică a₁+...+aₙn ≥ ⁿ√(a₁·...·aₙ) ≥ n1/a₁+...+1/aₙ, cu egalitate doar când toate numerele sunt egale.