Acasă / Teorie / Numere reale, ecuații și inecuații

Numere reale, ecuații și inecuații: teorie pentru Bacalaureat

Mulțimi de numere, modul, radicali, ecuații, inecuații și calcul financiar.

Ușor Aplicabil la: M1, M2, M3 Treci la grile (112)

Propoziții, predicate și cuantificatori

  • Ce sunt propoziția și predicatul?

    Propoziție: un enunț care poate fi adevărat sau fals, dar nu ambele. Predicat: un enunț ce depinde de o variabilă și devine propoziție când variabila e substituită cu o valoare concretă.

  • Cuantificatorul universal ∀ ("oricare ar fi") și cuantificatorul existențial ∃ ("există") transformă un predicat într-o propoziție. Negația lui "∀x, P(x)" este "∃x, ¬P(x)"; negația lui "∃x, P(x)" este "∀x, ¬P(x)".
  • Operații logice: negația ¬p (adevărată când p e falsă); conjuncția p∧q (adevărată doar când ambele sunt adevărate); disjuncția p∨q (adevărată când cel puțin una e adevărată); implicația p⇒q (falsă doar când p e adevărată și q falsă); echivalența p⇔q (adevărată când p și q au aceeași valoare de adevăr).
    pq¬pp ∧ qp ∨ qp → qAAFAAAAFFFAFFAAFAAFFAFFAA = adevărat, F = fals; p → q e falsă doar când p e A și q e F

Mulțimi și operații cu mulțimi
  • Operații cu mulțimi (A, B submulțimi ale mulțimii totale E): reuniunea A∪B, intersecția A∩B, diferența A\B, complementara CE(A) = mulțimea elementelor din E care nu sunt în A. Incluziunea: A⊆B ⇔ orice element din A este și în B.
    ABEA ∪ BABEA ∩ BABEA ∖ BABEC_E(A)
  • Legile lui De Morgan: CE(A∪B) = CE(A)∩CE(B) și CE(A∩B) = CE(A)∪CE(B). Echivalentul în logică: ¬(p∨q) ⇔ (¬p)∧(¬q), respectiv ¬(p∧q) ⇔ (¬p)∨(¬q).
    ABEC_E(A ∪ B) = C_E(A) ∩ C_E(B)complementara reuniunii:tot ce nu e nici în A,nici în B
  • Metoda reducerii la absurd: pentru a demonstra o propoziție p, se presupune adevărată negația ei ¬p și se arată că această presupunere conduce la o contradicție (un rezultat fals sau imposibil); concluzia este că p trebuie să fie adevărată.

Ecuația de gradul al II-lea
  • O ecuație de gradul al II-lea ax²+bx+c=0 (a≠0) are soluțiile x = -b ± √Δ2a, unde Δ = b² − 4ac.
  • Relațiile lui Viète: S = x₁+x₂ = −ba, P = x₁·x₂ = ca; ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂). Util: x₁²+x₂² = S²−2P.
  • Reciproca relațiilor lui Viète: fiind date suma S și produsul P a două numere x₁, x₂, acestea sunt soluțiile ecuației x² − Sx + P = 0.
  • Ecuații bipătrate: ax⁴+bx²+c=0 se rezolvă prin substituția t=x², t≥0; se rezolvă ecuația de gradul al II-lea în t, apoi x=±√t pentru fiecare soluție t≥0 acceptabilă.
    xyO-2-112t = x²: t² − 5t + 4 = 0, t ∈ {1, 4} ⇒ x ∈ {±1, ±2}

Modulul unui număr real
  • Pentru |x − a| = r (r > 0), soluțiile sunt x = a − r sau x = a + r. Mai general: |x|≤a ⇔ −a≤x≤a, iar |x|≥a ⇔ x≤−a sau x≥a (a>0).
    a − raa + rrr|x − a| = r: punctele aflate la distanța r de a; |x − a| ≤ r: tot segmentul dintre ele
  • Inegalitatea triunghiului pentru modul: |x+y| ≤ |x|+|y|, pentru orice x,y∈R (egalitate doar când x,y au același semn sau unul e 0). Mai general: |x±y| ≥ ||x|−|y||.
  • Alte proprietăți ale modulului: |x| ≥ 0, cu |x| = 0 doar pentru x = 0; |x·y| = |x|·|y|; |x|/x = sgn(x), pentru x ≠ 0.

Radicali și puteri
  • La rezolvarea ecuațiilor cu radicali, orice soluție obținută trebuie verificată în ecuația inițială.
  • Proprietăți ale puterilor: a⁰=1, a⁻ⁿ=1aⁿ, aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Ale radicalilor: √a·√b=√ab, √a√b=√ab (b>0).
  • Puterea cu exponent rațional: ap/q = ᵠ√aᵖ, pentru a>0, p∈Z, q∈N*. Radical din radical: n√ᵐ√a = ⁿᵐ√a (indicii se înmulțesc).
  • √a este rădăcina NENEGATIVĂ: √4 = 2, nu ±2 (doar ecuația z² = 4 are soluțiile ±2). Radicalul de ordin par există doar pentru a ≥ 0; cel de ordin impar există pentru orice a real, de exemplu 3√−8 = −2.
    √x: doar pentru x ≥ 0, valori ≥ 0∛x: definit pe tot R
  • Reguli pentru radicali de ordin oarecare (a, b ≥ 0): n√ab = ⁿ√a·ⁿ√b, n√aᵐ = (ⁿ√a)ᵐ, iar indicele și exponentul se pot simplifica cu același număr: 6√a⁴ = 3√a².

Partea întreagă și partea fracționară
  • Partea întreagă [x] = n ∈ Z ⇔ n ≤ x < n+1; partea fracționară {x} = x − [x] ∈ [0,1). Orice x real: x = [x] + {x}.
    xyOy = [x]: treptexyOy = {x} = x − [x]: dinți, perioada 1
  • Proprietăți ale părții întregi: [x+n] = n+[x], pentru orice n întreg. Partea fracționară e periodică: {x+k} = {x}, pentru orice k întreg.
  • Încadrarea folosită la ecuații: x − 1 < [x] ≤ x. Graficul lui [x] e „în trepte”: funcția are un salt de 1 în fiecare număr întreg (discontinuitate de speța I), dar e continuă la dreapta; {x} are salturi în aceleași puncte, coborând înapoi la 0.

Formule de calcul prescurtat
  • Formule de calcul prescurtat: (a±b)² = a²±2ab+b², a²−b² = (a−b)(a+b), a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.
  • Formula generală: aⁿ − bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+...+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹), pentru orice n∈N*; cazurile n=2,3 redau formulele uzuale a²−b², a³−b³.
  • (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ și (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca. Suma de pătrate a² + b² nu se descompune în R, dar se descompune în C: a² + b² = (a − bi)(a + bi).
    a²abacabb²bcacbcc²aabbcca² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
  • Pentru exponent impar se descompune și suma: a⁵ + b⁵ = (a+b)(a⁴ − a³b + a²b² − ab³ + b⁴), iar în general a2p+1 + b2p+1 = (a+b)·(…), cu 2p+1 termeni în a doua paranteză și semne alternante.
  • Descompunerea după rădăcini: x² − (a+b)x + ab = (x−a)(x−b) și x³ − (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x − abc = (x−a)(x−b)(x−c); coeficienții sunt exact sumele și produsele din relațiile lui Viète.

Calcul financiar
  • O scumpire/ieftinire cu p% înmulțește prețul cu (1 + p100), respectiv (1 − p100).
  • Dobânda simplă pentru suma S, rata anuală p% și n ani: D = S·(p100)·n.
    anul 0anul 1anul 2anul 3anul 4anul 515001611simplă: +100 lei pe ancompusă: ·1,1 pe an1000 lei cu 10% pe an, timp de 5 ani

  • Aplicație practică

    Diferența reală dintre dobânda simplă și cea compusă se vede la orizonturi lungi de timp: o depunere de 1000 lei cu 5%/an dă, după 10 ani, 1500 lei la dobândă simplă (D=S·(p100)·n), dar aproape 1629 lei la dobândă compusă (S·(1+p100)ⁿ); diferența crește exponențial cu n, motiv pentru care băncile calculează aproape întotdeauna compus, nu simplu.

Inducția matematică
  • Principiul inducției matematice: pentru a demonstra o afirmație P(n) adevărată pentru orice n≥n₀, se verifică P(n₀) (pasul de verificare), apoi se arată că din presupunerea P(k) adevărată rezultă P(k+1) adevărată (pasul de demonstrație).
    n₀n₀+1n₀+2n₀+3n₀+4n₀+5n₀+6P(n₀) adevărată (prima piesă cade) și P(k) ⇒ P(k + 1) (fiecare o dărâmă pe următoarea)
  • Formule pentru sume: 1+2+...+n = n(n+1)2; 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)6; 1³+2³+...+n³ = [n(n+1)2]².

Inegalitatea mediilor
  • Inegalitatea mediilor: pentru numere reale strict pozitive a₁,...,aₙ, media aritmetică ≥ media geometrică ≥ media armonică, adică a₁+...+aₙn ≥ n√a₁·...·aₙ ≥ n1/a₁+...+1/aₙ, cu egalitate doar când toate numerele sunt egale.
    ab√(ab)(a+b)/2raza ≥ înălțimea:(a + b)/2 ≥ √(ab)
10 secțiuni · 112 grileTreci la grile

Încearcă în simulator

Calcul financiarCalculator financiar →Dobândă simplă vs compusă în timp și procente succesive: de ce +10% apoi −20% nu înseamnă −10%.

Te-ai verificat?

GrileExersează 112 grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Capitolul următorFuncții, proprietăți și grafice →Funcția de gradul I și de gradul al II-lea, monotonie, injectivitate/surjectivitate, funcție inversă, funcții compuse, exponențială și logaritmică.