Combinatorică și probabilități: teorie pentru Bacalaureat

Permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton, probabilități.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 112 grile pe acest capitol →

P_n = n!, A_n^k = n!(n−k)!, C_n^k = n!k!(n−k)!.
Formula combinărilor complementare: C_n^k = C_n^n−k; cazuri particulare C_n⁰=C_nⁿ=1, C_n¹=C_nⁿ⁻¹=n, C_n²=C_nⁿ⁻²=n(n−1)2. Pentru aranjamente: A_n⁰=1, A_n¹=n, A_nⁿ=n!=P_n.
Relația de recurență (Triunghiul lui Pascal): C_n^k = C_n−1^k−1 + C_n−1^k, pentru 1≤k≤n−1: fiecare combinare e suma celor două de deasupra ei din triunghi.
Numărul funcțiilor f:A→B, cu |A|=m și |B|=n, este nᵐ. Dacă f este injectivă (m≤n): A_n^m = n!(n−m)!. Dacă f este bijectivă (m=n): n!.

Binomul lui Newton: (a+b)ⁿ = Σ C_n^k · a^n−k · b^k, cu termenul general T_k+1 = C_n^k · a^n−k · b^k.
Suma coeficienților binomiali: C_n⁰ + C_n¹ + ... + C_nⁿ = 2ⁿ, care este și numărul total de submulțimi ale unei mulțimi cu n elemente.
Suma alternantă a coeficienților binomiali este nulă: C_n⁰ − C_n¹ + C_n² − ... = 0 (n≥1). Suma coeficienților de rang par este egală cu suma celor de rang impar, fiecare valorând 2ⁿ⁻¹: C_n⁰+C_n²+C_n⁴+... = C_n¹+C_n³+C_n⁵+... = 2ⁿ⁻¹.
Identitate utilă la sume: k·C_n^k = n·C_n−1^k−1, pentru 1≤k≤n: se obține direct din formula cu factorial și permite, de exemplu, calculul Σ k·C_n^k = n·2ⁿ⁻¹.

Probabilitatea unui eveniment: P(A) = cazuri favorabilecazuri posibile.
Probabilitatea condiționată: P(A|B) = P(A∩B)P(B), pentru P(B)≠0: probabilitatea ca A să se producă, știind că B s-a produs deja. A și B sunt independente ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B) (echivalent, P(A|B)=P(A)).
Aplicație practică
Probabilitatea condiționată explică de ce un test medical cu acuratețe 99% poate fi totuși înșelător pentru o boală rară: dacă doar 1 din 10 000 de oameni are boala, majoritatea rezultatelor pozitive sunt de fapt fals-pozitive, nu cazuri reale; calculul exact se face cu formula lui Bayes, o consecință directă a probabilității condiționate.

Schema lui Bernoulli (schema bilei revenite): probabilitatea de a obține exact k succese din n încercări independente, fiecare cu probabilitate de succes p, este P(k) = C_n^k · p^k · (1−p)^n−k.
Schema lui Poisson (schema bilei nerevenite): pentru n evenimente independente cu probabilități diferite p₁,...,pₙ, probabilitatea ca exact k dintre ele să se producă este coeficientul lui xᵏ din produsul (p₁x+q₁)(p₂x+q₂)···(pₙx+qₙ), unde qᵢ=1−pᵢ.

Statistică: pentru datele x₁,...,xₙ, media aritmetică este x̄ = x₁+...+xₙn. Dispersia (varianța) este σ² = (1n)·[(x₁−x̄)²+...+(xₙ−x̄)²], iar abaterea medie pătratică (deviația standard) este σ = √(dispersia).