Combinatorică și probabilități: teorie pentru Bacalaureat
Permutări, aranjamente, combinări, binomul lui Newton, probabilități.
Mediu
Treci la grile (112)
Permutări, aranjamente, combinări
- Pn = n!, Ank = n!(n−k)!, Cnk = n!k!(n−k)!.
- Formula combinărilor complementare: Cnk = Cnn−k; cazuri particulare Cn0=Cnn=1, Cn1=Cnn−1=n, Cn2=Cnn−2=n(n−1)2. Pentru aranjamente: An0=1, An1=n, Ann=n!=Pn.
- Relația de recurență (Triunghiul lui Pascal): Cnk = Cn−1k−1 + Cn−1k, pentru 1≤k≤n−1: fiecare combinare e suma celor două de deasupra ei din triunghi.
- Numărul funcțiilor f:A→B, cu |A|=m și |B|=n, este nᵐ. Dacă f este injectivă (m≤n): Anm = n!(n−m)!. Dacă f este bijectivă (m=n): n!.
- Convenția 0! = 1; relații utile la simplificări: (n+1)! = (n+1)·n! și n! = n·(n−1)!. Altă formă: Ank = n(n−1)(n−2)·…·(n−k+1) (k factori consecutivi) și Cnk = Ankk!.
- Trecerea de la o combinare la următoarea: Cnk+1 = (n−kk+1)·Cnk. Pentru |A| = m și |B| = n: dacă m > n, nu există funcții injective A → B; dacă m = n, orice funcție injectivă (sau surjectivă) e bijectivă, iar bijecțiile sunt n!.
Binomul lui Newton
- Binomul lui Newton: (a+b)n = Σ Cnk · an−k · bk, cu termenul general Tk+1 = Cnk · an−k · bk.
- Suma coeficienților binomiali: Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2ⁿ, care este și numărul total de submulțimi ale unei mulțimi cu n elemente.
- Suma alternantă a coeficienților binomiali este nulă: Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... = 0 (n≥1). Suma coeficienților de rang par este egală cu suma celor de rang impar, fiecare valorând 2ⁿ⁻¹: Cn0+Cn2+Cn4+... = Cn1+Cn3+Cn5+... = 2ⁿ⁻¹.
- Identitate utilă la sume: k·Cnk = n·Cn−1k−1, pentru 1≤k≤n: se obține direct din formula cu factorial și permite, de exemplu, calculul Σ k·Cnk = n·2ⁿ⁻¹.
Probabilități
- Probabilitatea unui eveniment: P(A) = cazuri favorabilecazuri posibile.
- Probabilitatea condiționată: P(A|B) = P(A∩B)P(B), pentru P(B)≠0: probabilitatea ca A să se producă, știind că B s-a produs deja. A și B sunt independente ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B) (echivalent, P(A|B)=P(A)).
Aplicație practică
Probabilitatea condiționată explică de ce un test medical cu acuratețe 99% poate fi totuși înșelător pentru o boală rară: dacă doar 1 din 10 000 de oameni are boala, majoritatea rezultatelor pozitive sunt de fapt fals-pozitive, nu cazuri reale; calculul exact se face cu formula lui Bayes, o consecință directă a probabilității condiționate.
Scheme clasice de probabilitate
- Schema lui Bernoulli (schema bilei revenite): probabilitatea de a obține exact k succese din n încercări independente, fiecare cu probabilitate de succes p, este P(k) = Cnk · pk · (1−p)n−k.
- Schema lui Poisson (schema bilei nerevenite): pentru n evenimente independente cu probabilități diferite p₁,...,pₙ, probabilitatea ca exact k dintre ele să se producă este coeficientul lui xᵏ din produsul (p₁x+q₁)(p₂x+q₂)···(pₙx+qₙ), unde qᵢ=1−pᵢ.
Statistică
- Statistică: pentru datele x₁,...,xₙ, media aritmetică este x̄ = x₁+...+xₙn. Dispersia (varianța) este σ² = (1n)·[(x₁−x̄)²+...+(xₙ−x̄)²], iar abaterea medie pătratică (deviația standard) este σ = √dispersia.
Încearcă în simulator
CombinatoricăLaborator de probabilități →Extrageri din urnă: combinări, „cel puțin una” prin evenimentul contrar și 1000 de extrageri simulate.CombinatoricăTriunghiul lui Pascal →Combinările Cₙᵏ, regula de adunare, simetria și coeficienții binomului (a + b)ⁿ.StatisticăLaborator de statistică →Scrii datele și vezi media, mediana, modul, dispersia și histograma; o valoare extremă mută media, nu și mediana.