Numere complexe: teorie pentru Bacalaureat

Operații cu numere complexe, modul, conjugat, ecuații în C.

Mediu Aplicabil la: M1, M2 Exersează 91 grile pe acest capitol →

i² = −1. Pentru z = a + bi, modulul este |z| = √(a² + b²), iar conjugatul este z̄ = a − bi.
z · z̄ = |z|².
O ecuație de gradul al II-lea cu Δ < 0 are soluții complex conjugate.
Interpretare geometrică: reprezentând numerele complexe ca puncte/vectori în plan, adunarea z₁+z₂ corespunde regulii paralelogramului aplicate vectorilor de poziție, iar scăderea z₁−z₂ este vectorul care unește punctul imagine al lui z₂ cu punctul imagine al lui z₁ (de la z₂ la z₁).

Forma trigonometrică: z = r(cos θ + i·sin θ), unde r = |z| și θ este argumentul redus (tg θ = ba).
Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe scrise trigonometric, z_j=r_j(cos t_j+i sin t_j): z₁·z₂ = r₁r₂·[cos(t₁+t₂) + i·sin(t₁+t₂)], iar z₁z₂ = (r₁r₂)·[cos(t₁−t₂) + i·sin(t₁−t₂)] (z₂≠0): modulele se înmulțesc/împart, argumentele se adună/scad.
Aplicație practică
În electrotehnică, un curent alternativ se reprezintă printr-un număr complex (impedanța): partea reală descrie rezistența, partea imaginară reactanța (bobine/condensatoare), iar înmulțirea/împărțirea numerelor complexe scrise trigonometric corespunde exact combinării mai multor componente dintr-un circuit.

Formula lui Moivre: (cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ).
Rădăcinile de ordin n ale lui z=r(cos θ+i sin θ): zₖ = ⁿ√r·[cos(θ+2kπn) + i·sin(θ+2kπn)], pentru k=0,1,...,n−1: n numere distincte, vârfuri ale unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de rază ⁿ√r.
Ecuația binomă zⁿ=a (a complex nenul) are exact n soluții complexe: rădăcinile de ordin n ale lui a, date de formula de mai sus.