Numere complexe: teorie pentru Bacalaureat
Operații cu numere complexe, modul, conjugat, ecuații în C.
Mediu
Treci la grile (91)
Forma algebrică
- i² = −1. Pentru z = a + bi, modulul este |z| = √a² + b², iar conjugatul este z̄ = a − bi.
- z · z̄ = |z|².
- O ecuație de gradul al II-lea cu Δ < 0 are soluții complex conjugate.
- Interpretare geometrică: reprezentând numerele complexe ca puncte/vectori în plan, adunarea z₁+z₂ corespunde regulii paralelogramului aplicate vectorilor de poziție, iar scăderea z₁−z₂ este vectorul care unește punctul imagine al lui z₂ cu punctul imagine al lui z₁ (de la z₂ la z₁).
- Re z = a (partea reală) și Im z = b (partea imaginară, un număr real, fără i). Punctul M(a, b) are afixul z, iar conjugatul z̄ e afixul simetricului lui M față de axa Ox.
Forma trigonometrică
- Forma trigonometrică: z = r(cos θ + i·sin θ), unde r = |z| și θ este argumentul redus (tg θ = ba).
- Înmulțirea și împărțirea numerelor complexe scrise trigonometric, zj=rj(cos tj+i sin tj): z₁·z₂ = r₁r₂·[cos(t₁+t₂) + i·sin(t₁+t₂)], iar z₁z₂ = (r₁r₂)·[cos(t₁−t₂) + i·sin(t₁−t₂)] (z₂≠0): modulele se înmulțesc/împart, argumentele se adună/scad.
Aplicație practică
În electrotehnică, un curent alternativ se reprezintă printr-un număr complex (impedanța): partea reală descrie rezistența, partea imaginară reactanța (bobine/condensatoare), iar înmulțirea/împărțirea numerelor complexe scrise trigonometric corespunde exact combinării mai multor componente dintr-un circuit.
- Argumentul t ∈ [0, 2π) se alege după cadranul punctului M(a, b): t = arctg(ba) în cadranul I, t = arctg(ba) + π în cadranele II și III, t = arctg(ba) + 2π în cadranul IV. Pe axa Oy: z = bi are t = π2 dacă b > 0 și t = 3π2 dacă b < 0.
Formula lui Moivre și rădăcini de ordin n
- Formula lui Moivre: (cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ).
- Rădăcinile de ordin n ale lui z=r(cos θ+i sin θ): zₖ = ⁿ√r·[cos(θ+2kπn) + i·sin(θ+2kπn)], pentru k=0,1,...,n−1: n numere distincte, vârfuri ale unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de rază ⁿ√r.
- Ecuația binomă zⁿ=a (a complex nenul) are exact n soluții complexe: rădăcinile de ordin n ale lui a, date de formula de mai sus.