Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie pentru Bacalaureat
Operații cu matrice și determinanți pentru toate profilurile; permutări și sisteme Kronecker-Capelli/Rouché/Gauss suplimentar la M1.
Avansat
Treci la grile (137)
Operații cu matrice
- Adunarea a două matrice de același tip se face element cu element: (A + B)ij = aij + bij. Înmulțirea cu un scalar k înmulțește fiecare element: (k·A)ij = k·aij. Matricea nulă O și matricea unitate Iₙ joacă rolul lui 0 și 1.
- Produsul A·B există doar dacă numărul de coloane al lui A este egal cu numărul de linii al lui B. Elementul cij se obține înmulțind linia i a lui A cu coloana j a lui B, termen cu termen, și adunând. În general A·B ≠ B·A (înmulțirea nu e comutativă), dar e asociativă: (A·B)·C = A·(B·C).
- Transpusa Aᵀ se obține schimbând liniile cu coloanele: (Aᵀ)ij = aji, iar (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ. Puterile unei matrice pătratice: A² = A·A, Aⁿ = Aⁿ⁻¹·A; formula lui Aⁿ se ghicește din primele puteri și se demonstrează prin inducție matematică.
- Mₘ,ₙ(R) e mulțimea matricelor cu m linii și n coloane; dacă m = n, matricea e pătratică de ordin n. Produsul unei matrice 3×2 cu una 2×4 e o matrice 3×4, iar în ordine inversă produsul nici nu are sens. Matricea nulă e neutră la adunare, iar Iₙ, la înmulțirea matricelor pătratice.
Permutări
- Permutare a mulțimii {1,...,n}: o funcție bijectivă σ. Numărul de inversiuni dă semnul permutării: pară (semn +1) sau impară (semn −1).
- Transpoziție: permutare care schimbă între ele doar două elemente și lasă restul neschimbate (τij). Numărul tuturor transpozițiilor de ordin n este Cn2 = n(n−1)2. Orice permutare se poate scrie ca produs de transpoziții; paritatea numărului de transpoziții din descompunere coincide cu paritatea permutării.
- O pereche (i, j) cu i < j e inversiune a lui σ dacă σ(i) > σ(j). Signatura e sgn(σ) = (−1)ᵐ, unde m e numărul inversiunilor; σ e pară dacă sgn(σ) = 1 și impară dacă sgn(σ) = −1. Orice transpoziție e impară. Mulțimea permutărilor de ordin n se notează Sₙ și are n! elemente.
Determinanți
- Pentru A = abcd, det(A) = ad − bc. Pentru ordin 3 se aplică regula lui Sarrus: A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃, det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.
- Complementul algebric al elementului aij este Γij = (−1)i+j·(minorul obținut prin eliminarea liniei i și coloanei j din A). Dezvoltarea determinantului după linia i: det(A) = ai1·Γi1 + ai2·Γi2 + ... + ain·Γin (analog pe coloană), util mai ales când o linie/coloană are multe zerouri.
- Determinantul matricei triunghiulare (toate elementele de sub sau deasupra diagonalei principale nule) este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Dacă la o linie (coloană) se adună o altă linie (coloană) înmulțită cu un scalar, determinantul nu se schimbă. Pentru α scalar: det(αA) = αⁿ·det(A), unde n este ordinul matricei A.
- Proprietăți ale determinanților: o linie/coloană nulă sau două linii/coloane identice dau determinant 0; det(Aᵀ)=det(A); det(A·B)=det(A)·det(B).
- Alte proprietăți: două linii (coloane) proporționale dau determinantul 0; dacă înmulțești o singură linie cu α, determinantul se înmulțește cu α (de aici det(αA) = αⁿ·det A: se înmulțesc toate cele n linii); dacă o linie e o sumă de două linii, determinantul se desface în suma a doi determinanți, cu celelalte linii neschimbate.
- Definiția generală: det A e suma produselor de câte n elemente, câte unul din fiecare linie și din fiecare coloană, fiecare produs luat cu semnul permutării care îi descrie coloanele. Pentru n = 2 apar 2 termeni (ad − bc), pentru n = 3 apar 6 (regula lui Sarrus).
Matrice inversabile
- A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0; atunci A⁻¹ = (1det(A)) · A* (matricea adjunctă).
- Ecuația matriceală AX = B, cu A inversabilă, are soluția unică X = A⁻¹B.
- Relația Hamilton-Cayley (pentru A de ordin 2): A² − tr(A)·A + det(A)·I₂ = O₂, unde tr(A) este suma elementelor de pe diagonala principală.
- Pașii pentru A⁻¹: (1) calculezi det A (dacă e 0, A nu e inversabilă); (2) scrii transpusa Aᵀ; (3) înlocuiești fiecare element al lui Aᵀ cu complementul său algebric și obții adjuncta A*; (4) A⁻¹ = (1det A)·A*. Verificare: A·A⁻¹ = Iₙ.
- Hamilton-Cayley se mai scrie A² = tr(A)·A − det(A)·I₂, utilă la puteri: orice Aⁿ se reduce la o combinație de A și I₂.
Rangul unei matrice
- Rangul unei matrice = ordinul celui mai mare determinant nenul care se poate forma cu elementele ei.
- Calculul practic al rangului: se fixează un element nenul aij (rang≥1); se „bordează” cu o linie și o coloană nouă, căutând un determinant de ordin 2 nenul (rang≥2); se repetă procedeul, bordând determinantul de ordin 2 găsit și căutând unul de ordin 3 nenul (rang≥3) ș.a.m.d., până se atinge min{m,n} sau toți determinanții următori construiți sunt nuli.
- Rangul e r dacă există un minor nenul de ordin r, iar toți minorii de ordin r + 1 (dacă există) sunt nuli. Matricea nulă are rangul 0; altfel 1 ≤ rang A ≤ min(m, n). Pentru A pătratică de ordin n, rang A = n ⇔ det A ≠ 0.
Sisteme de ecuații liniare
- Un sistem cu det(A) ≠ 0 e de tip Cramer (compatibil determinat): xi = det(Ai)det(A).
- Teorema Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil ⇔ rang(A) = rang(Aextins). Teorema lui Rouché folosește anularea determinanților caracteristici, cu același scop.
- Metoda Gauss: aduce matricea extinsă la formă triunghiulară prin transformări elementare pe linii, apoi se rezolvă prin substituție inversă.
- Sistem omogen: sistem liniar cu toți termenii liberi nuli (bi=0). Este întotdeauna compatibil, deoarece admite soluția banală (0,0,...,0). Un sistem omogen de n ecuații cu n necunoscute admite și soluții nebanale dacă și numai dacă rang(A) < n, echivalent det(A) = 0 (pentru sisteme pătratice).
Aplicație practică
Sistemele liniare cu multe necunoscute apar la modelarea rețelelor (fluxul de trafic într-o intersecție, curenții dintr-un circuit electric cu mai multe ramuri) sau în economie (modelul input-output al lui Leontief, care descrie cum depinde producția fiecărei ramuri industriale de celelalte); rezolvate azi numeric, cu calculatorul, dar pe exact aceleași principii (Cramer, Gauss).
- Un sistem liniar e de unul din trei tipuri: compatibil determinat (soluție unică), compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții) sau incompatibil (nicio soluție). Scris matriceal, A·X = B; dacă A e inversabilă, X = A⁻¹·B.
- Determinantul principal: un minor nenul de ordin egal cu rang A. Liniile lui dau ecuațiile principale, coloanele lui, necunoscutele principale; celelalte necunoscute devin parametri (secundare). Un sistem compatibil cu rang A mai mic decât numărul n al necunoscutelor are n − rang A necunoscute secundare, deci o infinitate de soluții.
- Minorii caracteristici se obțin bordând determinantul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi. Teorema lui Rouché: sistemul e compatibil ⇔ toți minorii caracteristici sunt nuli (sau nu există, când rang A = numărul ecuațiilor).
Încearcă în simulator
MatriceSisteme liniare: dreptele și Δ →Două ecuații, două drepte: Δ ≠ 0 înseamnă un singur punct comun, Δ = 0 drepte paralele sau confundate, cu Δx, Δy și regula lui Cramer.MatriceMatricea ca transformare →O matrice 2×2 transformă pătratul unitate într-un paralelogram: aria lui e |det A|, iar det = 0 îl turtește.
Te-ai verificat?
GrileExersează 137 de grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Subiectele II–IIIProbleme pe tipuri →Cerințe din subiectele oficiale, cu pașii scoși treptat.Capitolul următorLimite, derivate și integrale →Analiză matematică: limite de funcții, derivate, monotonie, integrale.