Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie pentru Bacalaureat

Operații cu matrice și determinanți pentru toate profilurile; permutări și sisteme Kronecker-Capelli/Rouché/Gauss suplimentar la M1.

Avansat Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 103 grile pe acest capitol →

Permutare a mulțimii {1,...,n}: o funcție bijectivă σ. Numărul de inversiuni dă semnul permutării: pară (semn +1) sau impară (semn −1).
Transpoziție: permutare care schimbă între ele doar două elemente și lasă restul neschimbate (τ_ij). Numărul tuturor transpozițiilor de ordin n este C_n² = n(n−1)2. Orice permutare se poate scrie ca produs de transpoziții; paritatea numărului de transpoziții din descompunere coincide cu paritatea permutării.

Pentru A = abcd, det(A) = ad − bc. Pentru ordin 3 se aplică regula lui Sarrus: A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃, det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.
Complementul algebric al elementului a_ij este Γ_ij = (−1)^i+j·(minorul obținut prin eliminarea liniei i și coloanei j din A). Dezvoltarea determinantului după linia i: det(A) = a_i1·Γ_i1 + a_i2·Γ_i2 + ... + a_in·Γ_in (analog pe coloană), util mai ales când o linie/coloană are multe zerouri.
Determinantul matricei triunghiulare (toate elementele de sub sau deasupra diagonalei principale nule) este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Dacă la o linie (coloană) se adună o altă linie (coloană) înmulțită cu un scalar, determinantul nu se schimbă. Pentru α scalar: det(αA) = αⁿ·det(A), unde n este ordinul matricei A.
Proprietăți ale determinanților: o linie/coloană nulă sau două linii/coloane identice dau determinant 0; det(Aᵀ)=det(A); det(A·B)=det(A)·det(B).

A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0; atunci A⁻¹ = (1det(A)) · A* (matricea adjunctă).
Ecuația matriceală AX = B, cu A inversabilă, are soluția unică X = A⁻¹B.
Relația Hamilton-Cayley (pentru A de ordin 2): A² − tr(A)·A + det(A)·I₂ = O₂, unde tr(A) este suma elementelor de pe diagonala principală.

Rangul unei matrice = ordinul celui mai mare determinant nenul care se poate forma cu elementele ei.
Calculul practic al rangului: se fixează un element nenul a_ij (rang≥1); se „bordează” cu o linie și o coloană nouă, căutând un determinant de ordin 2 nenul (rang≥2); se repetă procedeul, bordând determinantul de ordin 2 găsit și căutând unul de ordin 3 nenul (rang≥3) ș.a.m.d., până se atinge min{m,n} sau toți determinanții următori construiți sunt nuli.

Un sistem cu det(A) ≠ 0 e de tip Cramer (compatibil determinat): x_i = det(A_i)det(A).
Teorema Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil ⇔ rang(A) = rang(A_extins). Teorema lui Rouché folosește anularea determinanților caracteristici, cu același scop.
Metoda Gauss: aduce matricea extinsă la formă triunghiulară prin transformări elementare pe linii, apoi se rezolvă prin substituție inversă.
Sistem omogen: sistem liniar cu toți termenii liberi nuli (b_i=0). Este întotdeauna compatibil, deoarece admite soluția banală (0,0,...,0). Un sistem omogen de n ecuații cu n necunoscute admite și soluții nebanale dacă și numai dacă rang(A) < n, echivalent det(A) = 0 (pentru sisteme pătratice).
Aplicație practică
Sistemele liniare cu multe necunoscute apar la modelarea rețelelor (fluxul de trafic într-o intersecție, curenții dintr-un circuit electric cu mai multe ramuri) sau în economie (modelul input-output al lui Leontief, care descrie cum depinde producția fiecărei ramuri industriale de celelalte); rezolvate azi numeric, cu calculatorul, dar pe exact aceleași principii (Cramer, Gauss).