Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie pentru Bacalaureat
Cercul trigonometric, identități, rezolvarea triunghiurilor, relații metrice, patrulatere.
Mediu
Treci la grile (117)
Identitatea fundamentală și valori uzuale
- Identitatea fundamentală: sin²x + cos²x = 1.
- Valori uzuale: sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32, sin 90°=1; cos 30°=√32, cos 45°=√22, cos 60°=12, cos 90°=0; tg 30°=√33, tg 45°=1, tg 60°=√3 (tg 90° nu există).
- Formule fundamentale suplimentare: 1 + tg²x = 1cos²x (x≠π2+kπ, k∈Z), 1 + ctg²x = 1sin²x (x≠kπ, k∈Z).
- Funcțiile trigonometrice ale complementului: sin(π2−x) = cos x, cos(π2−x) = sin x, tg(π2−x) = ctg x, ctg(π2−x) = tg x.
- Formule de reducere la primul cadran: sin(π−x) = sin x, cos(π−x) = −cos x.
- Cercul trigonometric: cercul de rază 1 cu centrul în origine. Unghiului t îi corespunde punctul M(cos t, sin t) de pe cerc; de aici |sin t| ≤ 1, |cos t| ≤ 1, iar tg t = sin tcos t și ctg t = cos tsin t.
- Semnele pe cadrane: sin e pozitiv în cadranele I și II; cos în I și IV; tg și ctg în I și III. Paritate: cos e pară, cos(−t) = cos t; sin, tg și ctg sunt impare, de exemplu sin(−t) = −sin t.
- Periodicitate: sin și cos au perioada principală 2π, iar tg și ctg au perioada π: tg(t + kπ) = tg t. Dreptele x = π2 + kπ sunt asimptote verticale ale graficului lui tg, iar dreptele x = kπ, ale graficului lui ctg.
- Reducere la primul cadran, completare: sin(π + x) = −sin x, cos(π + x) = −cos x, tg(π − x) = −tg x, tg(π + x) = tg x; sin(2π − x) = −sin x, cos(2π − x) = cos x.
Tabelul valorilor uzuale
Valorile uzuale, de la 0° la 180° (— = nu există: tg 90°, ctg 0°, ctg 180°). La unghiurile obtuze, sinusul rămâne pozitiv, iar cosinusul și tangenta devin negative.
x 0 30° (π6) 45° (π4) 60° (π3) 90° (π2) 120° (2π3) 135° (3π4) 150° (5π6) 180° (π) sin x 0 12 √22 √32 1 √32 √22 12 0 cos x 1 √32 √22 12 0 −12 −√22 −√32 −1 tg x 0 √33 1 √3 — −√3 −1 −√33 0 ctg x — √3 1 √33 0 −√33 −1 −√3 — - Pe cercul trigonometric, punctul corespunzător unghiului x are coordonatele (cos x, sin x): de acolo se citesc valorile din tabel pentru 30°, 45° și 60°.
Formule de multiplicare și liniarizare a arcelor
- Formule de dublare: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.
- Funcțiile trigonometrice ale sumei/diferenței de arce: sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b; tg(a±b) = tg a ± tg b1 ∓ tg a·tg b.
- Formule ale unghiului triplu: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x.
- Formule suplimentare pentru arcul dublu/triplu: tg 2x = 2tg x1−tg²x; tg 3x = 3tg x − tg³x1 − 3tg²x.
Formule de înjumătățire (liniarizare)
sin²t = 1 − cos 2t2, cos²t = 1 + cos 2t2, tg²t = 1 − cos 2t1 + cos 2t; se obțin direct din formulele de dublare și sunt utile pentru „liniarizarea” puterilor pare de sin sau cos într-o ecuație sau la calculul unei primitive.
- Funcțiile lui t din cosinusul arcului dublu: sin t = ±√1 − cos 2t2 și cos t = ±√1 + cos 2t2; semnul se alege după cadranul în care se află t.
Funcțiile trigonometrice inverse
Ce sunt funcțiile trigonometrice inverse?
arcsin: [−1,1]→[−π2,π2], arccos: [−1,1]→[0,π] și arctg: R→(−π2,π2) sunt inversele funcțiilor sin, cos, respectiv tg, restricționate la aceste intervale pe care sunt bijective.
- arcsin este impară și strict crescătoare; arccos este strict descrescătoare (nu e nici pară, nici impară); arctg este impară și strict crescătoare pe tot R.
- Relații utile: arcsin x + arccos x = π2, pentru orice x∈[−1,1]. Pentru x>0: arctg x + arctg(1x) = π2; pentru x<0: arctg x + arctg(1x) = −π2.
- arccos(−x) = π − arccos x, pentru orice x∈[−1,1]. Dacă arctg x + arctg y ∈ (−π2,π2), atunci arctg x + arctg y = arctg[x+y1−xy].
- sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √1−x², pentru orice x∈[−1,1].
- Graficul lui arctg are asimptotele orizontale y = −π2 (spre −∞) și y = π2 (spre +∞). Relațiile de definiție: arcsin x = y ⇔ sin y = x cu y ∈ [−π2, π2]; arccos x = y ⇔ cos y = x cu y ∈ [0, π]; arctg x = y ⇔ tg y = x cu y ∈ (−π2, π2).
Ecuații trigonometrice fundamentale
- Ecuații trigonometrice fundamentale: sin x = a (a∈[−1,1]) ⇒ x = (−1)ᵏarcsin a + kπ; cos x = b ⇒ x = ±arccos b + 2kπ, k∈Z.
- Ecuația tg x = a (a∈R): x = arctg a + kπ, k∈Z. La inecuații trigonometrice fundamentale (sin x > m, cos x < m etc.), se marchează arcul corespunzător pe cercul trigonometric, apoi se scrie soluția ca reuniune de intervale, cu perioada 2π.
- Substituția universală t = tg(x2): sin x = 2t1+t², cos x = 1−t²1+t², tg x = 2t1−t²; utilă la ecuații raționale în sin x și cos x.
- Cazuri particulare de reținut: sin x = 0 ⇔ x = kπ; cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ; tg x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z). Ecuațiile sin x = a și cos x = a au soluții doar pentru a ∈ [−1, 1]; tg x = a are soluții pentru orice a real.
Transformarea sumei în produs și metoda unghiului auxiliar
- Transformarea sumei în produs: sin a + sin b = 2·sin(a+b2)·cos(a−b2); sin a − sin b = 2·sin(a−b2)·cos(a+b2); cos a + cos b = 2·cos(a+b2)·cos(a−b2); cos a − cos b = −2·sin(a+b2)·sin(a−b2).
- Transformarea produsului în sumă: sin a·sin b = ½[cos(a−b) − cos(a+b)]; cos a·cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)]; sin a·cos b = ½[sin(a−b) + sin(a+b)].
- Ecuația a·cos t + b·sin t = c (a,b nu ambele nule) are soluții reale ⇔ c² ≤ a²+b². Metoda unghiului auxiliar: a·cos t + b·sin t = √a²+b²·cos(t−φ), unde cos φ = a√(a²+b²) și sin φ = b√(a²+b²); ecuația devine cos(t−φ) = c√(a²+b²).
- Pentru tangente: tg a + tg b = sin(a+b)cos a·cos b și tg a − tg b = sin(a−b)cos a·cos b.
- Alte două metode pentru a·cos t + b·sin t = c: (1) notezi x = cos t, y = sin t și rezolvi sistemul ax + by = c, x² + y² = 1; (2) substituția z = tg(t2) duce la ecuația de gradul II a(1 − z²) + 2bz = c(1 + z²). Atenție: a doua metodă pierde soluțiile t = π + 2kπ (acolo tg(t2) nu există), care se verifică separat.
Rezolvarea triunghiurilor
- Teorema sinusurilor: asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R.
- Teorema cosinusului: a² = b² + c² − 2bc·cos A (generalizează teorema lui Pitagora).
- Aria unui triunghi: A = (12)·a·b·sin C, sau A = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] (formula lui Heron), unde p = a+b+c2. Alte formule utile: A = abc4R (R = raza cercului circumscris), A = p·r (r = raza cercului înscris), iar pentru triunghiul echilateral cu latura l: A = l²√34.
Aplicație practică
Teorema sinusurilor stă la baza triangulației: pentru a afla înălțimea unui munte sau distanța până la un vapor pe mare (imposibil de măsurat direct cu ruleta), se măsoară o bază accesibilă și două unghiuri, apoi se calculează restul elementelor triunghiului (metoda folosită de topografi înainte de GPS, și încă folosită în navigație).
- Teorema cosinusului, scrisă pentru fiecare latură: a² = b² + c² − 2bc·cos A, b² = a² + c² − 2ac·cos B, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Când știi toate laturile, afli un unghi: cos A = b² + c² − a²2bc.
- Alte formule pentru aria triunghiului: S = a·ha2 (latura ori înălțimea corespunzătoare, pe 2); S = 2R²·sin A·sin B·sin C; S = a²·sin B·sin C2 sin A; S = r²·ctg(A2)·ctg(B2)·ctg(C2).
Aplicații în viața reală
- Distanța dintre două nave: două nave pleacă din același port pe direcții care fac un unghi de 60°; după o oră sunt la 3 km, respectiv 5 km de port. Cu teorema cosinusului: d² = 3² + 5² − 2·3·5·cos 60° = 9 + 25 − 15 = 19, deci d = √19 ≈ 4,36 km.
- Aria unui teren triunghiular, fără să măsori înălțimea: două laturi de 40 m și 50 m fac un unghi de 30°, deci S = 40·50·sin 30°2 = 500 m².
- Lățimea unui râu, fără să-l treci: pe malul tău măsori o bază AB = 60 m și unghiurile spre un copac C de pe malul opus, ∠A = 45° și ∠B = 105°, deci ∠C = 30°. Cu teorema sinusurilor: BC = AB·sin 45°sin 30° = 60√2 ≈ 84,9 m.
- Mișcările care se repetă (roata panoramică, curentul alternativ, mareea) se descriu cu sin și cos. Pe o roată cu raza de 20 m și centrul la 22 m de sol, o cabină rotită cu unghiul x față de punctul cel mai de jos e la înălțimea h = 22 − 20·cos x: la x = 0°, 2 m; la x = 60°, 12 m; la x = 180°, 42 m.
Teorema catetei, teorema înălțimii, teorema bisectoarei
- Teorema catetei: într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză. Teorema înălțimii: pătratul înălțimii din unghiul drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
- Teorema bisectoarei: bisectoarea unghiului A din triunghiul ABC intersectează latura BC în punctul D astfel încât BDDC = ABAC. Bisectoarea exterioară a unghiului A (când AB≠AC) intersectează dreapta BC într-un punct F, exterior segmentului [BC], astfel încât ABAC = FBFC.
- Puterea unui punct P față de un cerc de centru O și rază R: pentru o secantă prin P ce intersectează cercul în A₁, A₂, produsul PA₁·PA₂ este constant (nu depinde de secantă). Dacă P este exterior cercului și PT este tangenta din P: PT² = PA₁·PA₂ = PO²−R². Dacă P este interior cercului: PA₁·PA₂ = R²−PO².
Patrulatere: linie mijlocie și arii
- Linia mijlocie într-un triunghi (segmentul ce unește mijloacele a două laturi) e paralelă cu a treia latură și are lungimea jumătate din ea. Linia mijlocie a unui trapez (segmentul ce unește mijloacele laturilor neparalele) e paralelă cu bazele și are lungimea B+b2.
- Aria paralelogramului: A = bază × înălțime = AB·AD·sin(∢A). Aria trapezului cu bazele B, b și înălțimea h: A = B+b2 · h.
Încearcă în simulator
TrigonometrieGraficele funcțiilor sin și cos →f(x) = A·sin(ωx + φ): amplitudinea, perioada 2π/ω și faza, văzute pe grafic.TrigonometrieCercul trigonometric →Rotești unghiul și citești sin, cos și tg, cu valorile exacte la unghiurile uzuale.GeometrieCercurile triunghiului →Tragi vârfurile și vezi cercul circumscris și pe cel înscris, R, r, aria cu Heron și de ce R ≥ 2r.
Te-ai verificat?
GrileExersează 117 grile →Cu explicație la fiecare variantă, pe niveluri de dificultate.FormuleFlashcards →Formulele capitolului, cu repetiție la timp.Capitolul următorVectori și geometrie analitică →Vector de poziție, distanță, mijloc, panta dreptei, coliniaritate, paralelism/perpendicularitate, ecuația cercului.