Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie pentru Bacalaureat

Cercul trigonometric, identități, rezolvarea triunghiurilor, relații metrice, patrulatere.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 117 grile pe acest capitol →

Identitatea fundamentală: sin²x + cos²x = 1.
Valori uzuale: sin 30°=12, sin 45°=√22, sin 60°=√32, sin 90°=1; cos 30°=√32, cos 45°=√22, cos 60°=12, cos 90°=0; tg 30°=√33, tg 45°=1, tg 60°=√3 (tg 90° nu există).
Formule fundamentale suplimentare: 1 + tg²x = 1cos²x (x≠π2+kπ, k∈Z), 1 + ctg²x = 1sin²x (x≠kπ, k∈Z).
Funcțiile trigonometrice ale complementului: sin(π2−x) = cos x, cos(π2−x) = sin x, tg(π2−x) = ctg x, ctg(π2−x) = tg x.
Formule de reducere la primul cadran: sin(π−x) = sin x, cos(π−x) = −cos x.

Formule de dublare: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.
Funcțiile trigonometrice ale sumei/diferenței de arce: sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b; tg(a±b) = tg a ± tg b1 ∓ tg a·tg b.
Formule ale unghiului triplu: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x.
Formule suplimentare pentru arcul dublu/triplu: tg 2x = 2tg x1−tg²x; tg 3x = 3tg x − tg³x1 − 3tg²x.
Formule de înjumătățire (liniarizare)
sin²t = 1 − cos 2t2, cos²t = 1 + cos 2t2, tg²t = 1 − cos 2t1 + cos 2t; se obțin direct din formulele de dublare și sunt utile pentru „liniarizarea” puterilor pare de sin sau cos într-o ecuație sau la calculul unei primitive.

Ce sunt funcțiile trigonometrice inverse?
arcsin: [−1,1]→[−π2,π2], arccos: [−1,1]→[0,π] și arctg: R→(−π2,π2) sunt inversele funcțiilor sin, cos, respectiv tg, restricționate la aceste intervale pe care sunt bijective.
arcsin este impară și strict crescătoare; arccos este strict descrescătoare (nu e nici pară, nici impară); arctg este impară și strict crescătoare pe tot R.
Relații utile: arcsin x + arccos x = π2, pentru orice x∈[−1,1]. Pentru x>0: arctg x + arctg(1x) = π2; pentru x<0: arctg x + arctg(1x) = −π2.
arccos(−x) = π − arccos x, pentru orice x∈[−1,1]. Dacă arctg x + arctg y ∈ (−π2,π2), atunci arctg x + arctg y = arctg[x+y1−xy].
sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √(1−x²), pentru orice x∈[−1,1].

Ecuații trigonometrice fundamentale: sin x = a (a∈[−1,1]) ⇒ x = (−1)ᵏarcsin a + kπ; cos x = b ⇒ x = ±arccos b + 2kπ, k∈Z.
Ecuația tg x = a (a∈R): x = arctg a + kπ, k∈Z. La inecuații trigonometrice fundamentale (sin x > m, cos x < m etc.), se marchează arcul corespunzător pe cercul trigonometric, apoi se scrie soluția ca reuniune de intervale, cu perioada 2π.
Substituția universală t = tg(x2): sin x = 2t1+t², cos x = 1−t²1+t², tg x = 2t1−t²; utilă la ecuații raționale în sin x și cos x.

Transformarea sumei în produs: sin a + sin b = 2·sin(a+b2)·cos(a−b2); sin a − sin b = 2·sin(a−b2)·cos(a+b2); cos a + cos b = 2·cos(a+b2)·cos(a−b2); cos a − cos b = −2·sin(a+b2)·sin(a−b2).
Transformarea produsului în sumă: sin a·sin b = ½[cos(a−b) − cos(a+b)]; cos a·cos b = ½[cos(a−b) + cos(a+b)]; sin a·cos b = ½[sin(a−b) + sin(a+b)].
Ecuația a·cos t + b·sin t = c (a,b nu ambele nule) are soluții reale ⇔ c² ≤ a²+b². Metoda unghiului auxiliar: a·cos t + b·sin t = √(a²+b²)·cos(t−φ), unde cos φ = a√(a²+b²) și sin φ = b√(a²+b²); ecuația devine cos(t−φ) = c√(a²+b²).

Teorema sinusurilor: asin(A) = bsin(B) = csin(C) = 2R.
Teorema cosinusului: a² = b² + c² − 2bc·cos A (generalizează teorema lui Pitagora).
Aria unui triunghi: A = (12)·a·b·sin C, sau A = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] (formula lui Heron), unde p = a+b+c2. Alte formule utile: A = abc4R (R = raza cercului circumscris), A = p·r (r = raza cercului înscris), iar pentru triunghiul echilateral cu latura l: A = l²√34.
Aplicație practică
Teorema sinusurilor stă la baza triangulației: pentru a afla înălțimea unui munte sau distanța până la un vapor pe mare (imposibil de măsurat direct cu ruleta), se măsoară o bază accesibilă și două unghiuri, apoi se calculează restul elementelor triunghiului (metoda folosită de topografi înainte de GPS, și încă folosită în navigație).

Teorema catetei: într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză. Teorema înălțimii: pătratul înălțimii din unghiul drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Teorema bisectoarei: bisectoarea unghiului A din triunghiul ABC intersectează latura BC în punctul D astfel încât BDDC = ABAC. Bisectoarea exterioară a unghiului A (când AB≠AC) intersectează dreapta BC într-un punct F, exterior segmentului [BC], astfel încât ABAC = FBFC.
Puterea unui punct P față de un cerc de centru O și rază R: pentru o secantă prin P ce intersectează cercul în A₁, A₂, produsul PA₁·PA₂ este constant (nu depinde de secantă). Dacă P este exterior cercului și PT este tangenta din P: PT² = PA₁·PA₂ = PO²−R². Dacă P este interior cercului: PA₁·PA₂ = R²−PO².

Linia mijlocie într-un triunghi (segmentul ce unește mijloacele a două laturi) e paralelă cu a treia latură și are lungimea jumătate din ea. Linia mijlocie a unui trapez (segmentul ce unește mijloacele laturilor neparalele) e paralelă cu bazele și are lungimea B+b2.
Aria paralelogramului: A = bază × înălțime = AB·AD·sin(∢A). Aria trapezului cu bazele B, b și înălțimea h: A = B+b2 · h.