Vectori și geometrie analitică: teorie pentru Bacalaureat
Vector de poziție, distanță, mijloc, panta dreptei, coliniaritate, paralelism/perpendicularitate, ecuația cercului.
Mediu
Treci la grile (109)
Vectori: noțiuni de bază
- Vectorul de poziție al punctului A(x,y) este OA = x·i + y·j.
- Pentru A(x₁,y₁), B(x₂,y₂): AB = (x₂−x₁)i + (y₂−y₁)j, iar |AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²].
- Doi vectori v₁(a₁,b₁), v₂(a₂,b₂) sunt coliniari ⇔ a₁b₂=a₂b₁; sunt perpendiculari ⇔ produsul scalar a₁a₂+b₁b₂ = 0.
- Produsul scalar a doi vectori: a·b = |a|·|b|·cos α, unde α este unghiul dintre ei; formula de calcul pe coordonate: a·b = a₁b₁+a₂b₂. Unghiul dintre doi vectori nenuli: cos α = a·b|a|·|b|.
Aplicație practică
În fizică, orice forță (greutate, tracțiune, frecare) e un vector; regula paralelogramului pentru adunarea vectorilor e exact metoda prin care se calculează forța rezultantă atunci când mai multe forțe acționează simultan asupra unui corp, folosită de la construcții (stabilitatea unui pod) până la navigație (efectul vântului asupra unei nave).
Dreapta în plan: pantă și ecuații
- Mijlocul segmentului AB: M(x₁+x₂2, y₁+y₂2).
- Panta dreptei AB: m = y₂−y₁x₂−x₁. Ecuația dreptei printr-un punct, cu panta m: y−y₀ = m(x−x₀).
- Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă; sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1.
- A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă pantele AB și BC sunt egale (echivalent: determinantul de coordonate e nul).
- Aria triunghiului ABC: A = (12)|Δ|, unde Δ = xAyA1xByB1xCyC1 (același determinant ca la coliniaritate).
- Ecuația dreptei prin tăieturi: dacă dreapta taie axa Ox în (a,0) și axa Oy în (0,b), cu a,b≠0, ecuația ei este xa + yb = 1.
- Ecuația generală a dreptei: Ax + By + C = 0, cu panta m = −AB (B ≠ 0); dreptele verticale au ecuația x = p și nu au pantă. Forma explicită: y = mx + n, cu m = tg φ, unde φ e unghiul dreptei cu semiaxa pozitivă Ox.
- Dreapta prin T(a, b) și S(u, v) se poate scrie și cu un determinant: determinantul cu liniile (x, y, 1), (a, b, 1), (u, v, 1) este egal cu 0 (aceeași condiție ca la coliniaritatea a trei puncte).
Distanțe și unghiuri între drepte
- Distanța de la punctul A(x₀,y₀) la dreapta d: ax+by+c=0 este dist(A,d) = |ax₀+by₀+c| / √a²+b².
- Unghiul dintre două drepte de pante m₁ și m₂: tg φ = |m₁−m₂1+m₁m₂|.
Puncte remarcabile în triunghi
- Punctul M care împarte segmentul [AB] în raportul k = MAMB (M≠B) are coordonatele xM=xA+k·xB1+k, yM=yA+k·yB1+k; pentru k=1 se regăsește formula mijlocului.
- Centrul de greutate al triunghiului ABC: G(xA+xB+xC3, yA+yB+yC3). Lungimea medianei din A: ma = (12)√2b²+2c²−a².
- Vectorul de poziție al centrului cercului înscris I în triunghiul ABC, cu laturile a=BC, b=CA, c=AB: I = a·A + b·B + c·Ca+b+c, o medie ponderată cu lungimile laturilor opuse fiecărui vârf.
- Relația lui Sylvester: pentru un triunghi ABC cu centrul cercului circumscris O, ortocentrul H satisface OH = OA + OB + OC; folosită pentru a arăta că înălțimile triunghiului sunt concurente (H este unic determinat de această relație, deci toate cele trei înălțimi trec prin el).
Teoreme de coliniaritate și concurență (Thales, Menelau, Ceva)
- Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale, echivalentă cu formula punctului care împarte un segment într-un raport dat.
- Dacă MN∥BC cu M∈AB, N∈AC, atunci ΔAMN ~ ΔABC, cu raportul de asemănare ρ = AMAB = ANAC = MNBC, iar raportul ariilor este S_AMNSABC = ρ². Pe mediana AD, centrul de greutate G o împarte în raportul AGGD = 21, adică AG = (23)AD.
- Teorema lui Menelau: pentru triunghiul ABC și punctele M∈BC, N∈CA, P∈AB, punctele M, N, P sunt coliniare ⇔ (MBMC)·(NCNA)·(PAPB) = 1.
- Teorema lui Ceva: cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC (M∈BC, N∈CA, P∈AB) sunt concurente ⇔ (MBMC)·(NCNA)·(PAPB) = 1.
Cercul
- Ecuația cercului cu centrul C(a,b) și raza r: (x−a)² + (y−b)² = r². Forma generală x²+y²+mx+ny+p=0 are centrul (−m2, −n2) și raza √[(m2)²+(n2)²−p] (dacă expresia de sub radical e pozitivă).
- Tangenta la cerc într-un punct M₀(x₀,y₀) de pe cerc: (x₀−a)(x−a) + (y₀−b)(y−b) = r². O dreaptă este tangentă la cerc dacă și numai dacă distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza.
- Ecuația cercului ce trece prin trei puncte necoliniare A, B, C se obține din condiția ca punctul curent (x,y) și cele trei puncte să verifice simultan ecuația generală x²+y²+mx+ny+p=0 (sistem de 3 ecuații cu necunoscutele m, n, p).
- Intersecția unei drepte cu un cerc: rezolvi sistemul format din cele două ecuații. Ecuația de gradul II obținută are Δ > 0 (dreapta e secantă, 2 puncte comune), Δ = 0 (tangentă, 1 punct) sau Δ < 0 (exterioară, niciun punct).
Elipsă și hiperbolă
- Ecuația elipsei cu centrul în origine și semiaxele a, b: x²a² + y²b² = 1. Ecuația hiperbolei cu centrul în origine: x²a² − y²b² = 1.
Încearcă în simulator
GeometrieCercurile triunghiului →Tragi vârfurile și vezi cercul circumscris și pe cel înscris, R, r, aria cu Heron și de ce R ≥ 2r.VectoriVectori: suma și produsul scalar →Tragi doi vectori: regula paralelogramului, produsul scalar, unghiul dintre ei și testul de perpendicularitate.Geometrie analiticăConicele →Cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă: muți semiaxele și un punct pe curbă, urmărești focarele și relația focală.