Vectori și geometrie analitică: teorie pentru Bacalaureat

Vector de poziție, distanță, mijloc, panta dreptei, coliniaritate, paralelism/perpendicularitate, ecuația cercului.

Mediu Aplicabil la: M1, M2, M3 Exersează 109 grile pe acest capitol →

Vectorul de poziție al punctului A(x,y) este OA = x·i + y·j.
Pentru A(x₁,y₁), B(x₂,y₂): AB = (x₂−x₁)i + (y₂−y₁)j, iar |AB| = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²].
Doi vectori v₁(a₁,b₁), v₂(a₂,b₂) sunt coliniari ⇔ a₁b₂=a₂b₁; sunt perpendiculari ⇔ produsul scalar a₁a₂+b₁b₂ = 0.
Produsul scalar a doi vectori: a·b = |a|·|b|·cos α, unde α este unghiul dintre ei; formula de calcul pe coordonate: a·b = a₁b₁+a₂b₂. Unghiul dintre doi vectori nenuli: cos α = a·b|a|·|b|.
Aplicație practică
În fizică, orice forță (greutate, tracțiune, frecare) e un vector; regula paralelogramului pentru adunarea vectorilor e exact metoda prin care se calculează forța rezultantă atunci când mai multe forțe acționează simultan asupra unui corp, folosită de la construcții (stabilitatea unui pod) până la navigație (efectul vântului asupra unei nave).

Mijlocul segmentului AB: M(x₁+x₂2, y₁+y₂2).
Panta dreptei AB: m = y₂−y₁x₂−x₁. Ecuația dreptei printr-un punct, cu panta m: y−y₀ = m(x−x₀).
Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă; sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este −1.
A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă pantele AB și BC sunt egale (echivalent: determinantul de coordonate e nul).
Aria triunghiului ABC: A = (12)|Δ|, unde Δ = x_Ay_A1x_By_B1x_Cy_C1 (același determinant ca la coliniaritate).
Ecuația dreptei prin tăieturi: dacă dreapta taie axa Ox în (a,0) și axa Oy în (0,b), cu a,b≠0, ecuația ei este xa + yb = 1.

Distanța de la punctul A(x₀,y₀) la dreapta d: ax+by+c=0 este dist(A,d) = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²).
Unghiul dintre două drepte de pante m₁ și m₂: tg φ = |m₁−m₂1+m₁m₂|.

Punctul M care împarte segmentul [AB] în raportul k = MAMB (M≠B) are coordonatele x_M=x_A+k·x_B1+k, y_M=y_A+k·y_B1+k; pentru k=1 se regăsește formula mijlocului.
Centrul de greutate al triunghiului ABC: G(x_A+x_B+x_C3, y_A+y_B+y_C3). Lungimea medianei din A: m_a = (12)√(2b²+2c²−a²).
Vectorul de poziție al centrului cercului înscris I în triunghiul ABC, cu laturile a=BC, b=CA, c=AB: I = a·A + b·B + c·Ca+b+c, o medie ponderată cu lungimile laturilor opuse fiecărui vârf.
Relația lui Sylvester: pentru un triunghi ABC cu centrul cercului circumscris O, ortocentrul H satisface OH = OA + OB + OC; folosită pentru a arăta că înălțimile triunghiului sunt concurente (H este unic determinat de această relație, deci toate cele trei înălțimi trec prin el).

Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale, echivalentă cu formula punctului care împarte un segment într-un raport dat.
Dacă MN∥BC cu M∈AB, N∈AC, atunci ΔAMN ~ ΔABC, cu raportul de asemănare ρ = AMAB = ANAC = MNBC, iar raportul ariilor este S_AMNS_ABC = ρ². Pe mediana AD, centrul de greutate G o împarte în raportul AGGD = 21, adică AG = (23)AD.
Teorema lui Menelau: pentru triunghiul ABC și punctele M∈BC, N∈CA, P∈AB, punctele M, N, P sunt coliniare ⇔ (MBMC)·(NCNA)·(PAPB) = 1.
Teorema lui Ceva: cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC (M∈BC, N∈CA, P∈AB) sunt concurente ⇔ (MBMC)·(NCNA)·(PAPB) = 1.

Ecuația cercului cu centrul C(a,b) și raza r: (x−a)² + (y−b)² = r². Forma generală x²+y²+mx+ny+p=0 are centrul (−m2, −n2) și raza √[(m2)²+(n2)²−p] (dacă expresia de sub radical e pozitivă).
Tangenta la cerc într-un punct M₀(x₀,y₀) de pe cerc: (x₀−a)(x−a) + (y₀−b)(y−b) = r². O dreaptă este tangentă la cerc dacă și numai dacă distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza.
Ecuația cercului ce trece prin trei puncte necoliniare A, B, C se obține din condiția ca punctul curent (x,y) și cele trei puncte să verifice simultan ecuația generală x²+y²+mx+ny+p=0 (sistem de 3 ecuații cu necunoscutele m, n, p).

Ecuația elipsei cu centrul în origine și semiaxele a, b: x²a² + y²b² = 1. Ecuația hiperbolei cu centrul în origine: x²a² − y²b² = 1.