Acasă / Gimnaziu / Teorie / Clasa a VIII-a · Geometrie în spațiu: puncte, drepte, plane

Geometrie în spațiu: puncte, drepte, plane: teorie pentru clasa a VIII-a

Determinarea unui plan, poziții relative dreaptă-plan și plan-plan, paralelism și perpendicularitate în spațiu.

Geometrie în spațiuUnghiul dintre o dreaptă și un plan →Unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan, cu tg = MM'/AM'.Geometrie în spațiuSecțiuni în corpuri →Un plan taie cubul, paralelipipedul, prisma, piramida sau tetraedrul: secțiunea, cu laturile și aria.CorpuriCorpuri geometrice în 3D →Rotești corpul, îi schimbi dimensiunile și vezi pe loc fiecare latură, apotemă, arie și volum.VolumePiramida e o treime din cub →Un cub desfăcut animat în trei piramide identice.

Determinarea unui plan
  • Un plan este determinat în mod unic de: trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; sau două drepte paralele distincte.
    αABCtrei puncte necoliniareαdAo dreaptă și un punct exteriorαOdouă drepte concurenteαabdouă drepte paralele
  • Două puncte determină o singură dreaptă, dar o infinitate de plane (toate planele care conțin acea dreaptă).
    ABprin dreapta AB trec oricâte plane, ca paginile unei cărți deschise

Poziții relative ale unei drepte față de un plan
  • O dreaptă poate fi, față de un plan: inclusă în plan (toate punctele ei aparțin planului); paralelă cu planul (nu are niciun punct comun cu el); sau secantă cu planul (îl intersectează într-un singur punct).
    αdinclusă în planαdparalelă cu planulαPdsecantă (un punct comun)
  • Două drepte din spațiu care nu sunt coplanare (nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă simultan) se numesc drepte necoplanare — nu sunt nici paralele, nici concurente.
    ABCDEFGHAB și CG nu sunt nici paralele, nici concurente: sunt necoplanare

Poziții relative a două plane
  • Două plane distincte pot fi: paralele (nu au niciun punct comun) sau concurente (intersecția lor este o dreaptă).
    αβplane paralele: niciun punct comundαβplane concurente: se taie după d
  • Dacă două plane au un punct comun, atunci au în comun exact o dreaptă care trece prin acel punct.
    Pdαβdacă P aparține ambelor plane, ele au în comun toată dreapta d prin P

Perpendicularitate în spațiu
  • O dreaptă e perpendiculară pe un plan dacă e perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin piciorul perpendicularei — în practică, e suficient să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan.
    αOdabd ⊥ a și d ⊥ b, cu a, b concurente în plan ⇒ d ⊥ planul
  • Distanța de la un punct exterior unui plan la acel plan este lungimea segmentului de pe perpendiculara dusă din punct pe plan, până la piciorul ei.
    αAOd(A, α) = AOO este piciorul perpendicularei din A pe plan
  • Unghiul dintre o dreaptă (care nu e perpendiculară pe plan) și un plan este unghiul dintre acea dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan.
    αABOφunghiul dintre AB și plan = ∠ABO (BO = proiecția lui AB pe plan)
Exersează grilele capitolului (32)
← Corpuri geometrice: arii și volume