Acasă / Gimnaziu / Teorie / Clasa a V-a · Mulțimi de numere și logică matematică
Mulțimi de numere și logică matematică: teorie pentru clasa a V-a
Mulțimi și operații cu mulțimi, mulțimile N, Z, Q, R și relația dintre ele.
Mulțimi și operații cu mulțimi
O mulțime e determinată fie prin enumerarea elementelor (A = {1,2,3}), fie printr-o proprietate caracteristică (A = {x | x ∈ N, x < 4}). Un element apare o singură dată într-o mulțime.
Incluziunea: A ⊆ B dacă orice element din A este și în B. Mulțimea vidă (∅) e submulțime a oricărei mulțimi. Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente.
Reuniunea A ∪ B: elementele din A sau din B (fiecare element o singură dată). Intersecția A ∩ B: elementele comune ambelor mulțimi.
Diferența A − B: elementele din A care nu aparțin lui B. Două mulțimi sunt disjuncte dacă A ∩ B = ∅.
Cardinalul unei mulțimi finite A, notat card(A), e numărul elementelor sale. O mulțime infinită are un șir nesfârșit de elemente (ex: mulțimea numerelor naturale).
Mulțimile de numere N, Z, Q, R
N = {0,1,2,3,...}: numerele naturale. N* = N − {0}, mulțimea numerelor naturale nenule.
Z = {...,−2,−1,0,1,2,...}: numerele întregi (naturale plus opusele lor). Orice număr natural e și întreg: N ⊂ Z.
Q: numerele raționale, care se pot scrie ca fracție ab, cu a,b ∈ Z, b ≠ 0. Orice număr întreg e și rațional: Z ⊂ Q (a se scrie ca a1).
R: numerele reale, formate din numerele raționale și cele iraționale (care nu se pot scrie ca fracție, ex: √2, π). Relația de incluziune: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Propoziție: un enunț care poate fi adevărat sau fals, dar nu ambele. Se poate demonstra o afirmație și prin metoda reducerii la absurd: se presupune adevărată negația ei și se arată că duce la o contradicție.