Numere naturale și divizibilitate: teorie pentru clasa a V-a
Operații cu numere naturale, puteri, divizibilitate, numere prime, C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Operații și puteri
Ordinea efectuării operațiilor: mai întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), apoi ridicarea la putere, apoi înmulțirea/împărțirea (în ordinea din stânga spre dreapta), apoi adunarea/scăderea.
aⁿ = a·a·...·a (de n ori), pentru a ∈ N, n ∈ N*. Prin convenție, a⁰ = 1 pentru a ≠ 0.
Reguli de calcul cu puteri: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m ≥ n); (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ.
Divizibilitate în N
a se divide cu b (b | a) dacă există c ∈ N astfel încât a = b·c. Se mai spune „b divide pe a” sau „a e multiplu de b”.
Criterii de divizibilitate: cu 2 (ultima cifră pară), cu 5 (ultima cifră 0 sau 5), cu 10 (ultima cifră 0), cu 3 sau cu 9 (suma cifrelor se divide cu 3, respectiv cu 9), cu 4 (numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4).
Un număr prim are exact doi divizori (1 și el însuși); 1 nu e prim (are un singur divizor). Un număr e compus dacă are mai mult de doi divizori.
Orice număr natural mai mare decât 1 se poate scrie în mod unic ca produs de puteri de numere prime (descompunere în factori primi).
C.m.m.d.c.(a,b), cel mai mare divizor comun, e produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică. C.m.m.m.c.(a,b), cel mai mic multiplu comun, e produsul tuturor factorilor primi (comuni și necomuni), luați la puterea cea mai mare.
Relația utilă: a·b = C.m.m.d.c.(a,b) · C.m.m.m.c.(a,b). Două numere sunt prime între ele dacă C.m.m.d.c.(a,b) = 1.