Acasă / Gimnaziu / Teorie / Clasa a VIII-a · Ecuația de gradul al II-lea

Ecuația de gradul al II-lea: teorie pentru clasa a VIII-a

Forma generală, discriminantul, formula rezolvitoare, ecuații incomplete și relațiile lui Viète.

Forma generală
  • O ecuație de forma ax² + bx + c = 0, cu a, b, c numere reale și a ≠ 0, se numește ecuație de gradul al II-lea (ecuație pătratică). a se numește coeficientul dominant, b coeficientul lui x, iar c termenul liber.
    2x²−5x+3= 0a = 2b = −5c = 3dominantal lui xtermen libera ≠ 0, altfel ecuația ar fi de gradul I
  • Dacă a = 0, ecuația devine bx + c = 0, o ecuație de gradul I — condiția a ≠ 0 e ceea ce face ecuația să fie „de gradul II”.

Discriminantul și formula rezolvitoare
  • Discriminantul ecuației este Δ = b² − 4ac.
    xyOΔ > 0două soluțiixyOΔ = 0o soluție (dublă)xyOΔ < 0nicio soluție
  • Dacă Δ > 0, ecuația are două soluții reale distincte: x₁,₂ = −b ± √Δ2a.
    xyOΔ > 0două soluții: x₁ = 1, x₂ = 3
  • Dacă Δ = 0, ecuația are o singură soluție reală (soluție dublă): x = −b2a.
    xyOΔ = 0o soluție dublă: x = 2
  • Dacă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale (√Δ nu există în R).
    xyOΔ < 0nicio soluție reală

Ecuații incomplete
  • Dacă b = 0 (ecuația e de forma ax² + c = 0), se rezolvă direct: x² = −ca. Dacă −ca ≥ 0, soluțiile sunt x = ±√−ca; dacă −ca < 0, ecuația nu are soluții reale.
    x² − 4 = 0: x = ±2x² + 4 = 0: nicio soluție
  • Dacă c = 0 (ecuația e de forma ax² + bx = 0), se dă factor comun x: x(ax + b) = 0, deci x = 0 sau x = −ba.

Relațiile lui Viète
  • Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației ax² + bx + c = 0, atunci suma lor este x₁ + x₂ = −ba, iar produsul lor este x₁·x₂ = ca.
    xyOx₁ = 1x₂ = 4x = 2,5 = −b/(2a)x² − 5x + 4 = 0: S = x₁ + x₂ = 5, P = x₁x₂ = 4
  • Relațiile lui Viète sunt utile pentru a verifica rapid niște soluții găsite, sau pentru a scrie o ecuație de gradul II când se cunosc suma și produsul soluțiilor ei.
Exersează grilele capitolului (32)
← Ecuații, inecuații și funcția de gradul I Fracții algebrice →