Condiții de existență, simplificarea și operațiile cu fracții algebrice.
Ce este o fracție algebrică
O fracție algebrică e o expresie de forma AB, unde A și B sunt expresii algebrice (de obicei polinoame), iar B ≠ 0.
Condiția de existență a unei fracții algebrice e condiția ca numitorul să fie diferit de zero — se stabilește rezolvând ecuația B = 0 și excluzând acele valori ale variabilei.
Simplificarea fracțiilor algebrice
O fracție algebrică se simplifică descompunând numărătorul și numitorul în factori (factor comun sau formule de calcul prescurtat), apoi eliminând factorii comuni.
Exemplu: x²−9x+3 = (x−3)(x+3)x+3 = x−3, pentru x ≠ −3.
Operații cu fracții algebrice
Adunarea/scăderea: la fel ca la fracțiile numerice, se aduc la un numitor comun, apoi se adună/scad numărătorii.
Înmulțirea: se înmulțesc separat numărătorii și separat numitorii, apoi (dacă e posibil) se simplifică rezultatul.
Împărțirea: se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.
Amplificarea și semnul unei fracții
Amplificarea: AB = A·CB·C, pentru C ≠ 0. La fracțiile algebrice, expresia cu care amplifici trebuie să fie nenulă, deci poate aduce o condiție nouă.
Semnul minus se poate muta: −AB = −AB = A−B. Minusul din fața fracției schimbă semnul ÎNTREGULUI numărător: −x − 23 = 2 − x3.
Paranteze opuse: b − a = −(a − b). Exemplu: x − 33 − x = −1, pentru x ≠ 3, fiindcă numitorul e opusul numărătorului.
Numitorul comun al fracțiilor algebrice
Pașii: (1) descompui fiecare numitor în factori; (2) numitorul comun e produsul tuturor factorilor diferiți, fiecare la puterea cea mai mare la care apare; (3) amplifici fiecare fracție cu factorii care îi lipsesc.
Exemplu: 1x² − 1 + 1x² + x. Numitorii sunt (x − 1)(x + 1) și x(x + 1), deci numitorul comun e x(x − 1)(x + 1). Prima fracție se amplifică cu x, a doua cu (x − 1), iar suma e 2x − 1x(x − 1)(x + 1).
Produsul numitorilor e și el un numitor comun, dar de obicei nu cel mai simplu: calculele ies mai lungi și trebuie simplificat la final.
Ordinea operațiilor e aceeași ca la numere: întâi parantezele, apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la final adunările și scăderile.
Condițiile de existență se pun la început, pentru TOȚI numitorii din calcul. La o împărțire, și numărătorul fracției cu care împarți trebuie să fie nenul, fiindcă după inversare ajunge la numitor: (xx − 1) : (x + 2x − 1) are sens pentru x ≠ 1 și x ≠ −2 și e egal cu xx + 2.
Exerciții tip Evaluare Națională
„Arată că E(x) = …, pentru orice x real, x ≠ …”: scrii condițiile de existență, descompui în factori, calculezi parantezele, simplifici la final. Rezultatul trebuie să coincidă cu cel din enunț.
„Arată că E(x) nu depinde de x”: după simplificare, rezultatul e un număr. Exemplu: (xx − 2 − 2x + 2)·x² − 4x² + 4 = 1, pentru x ≠ ±2.
„Determină x ∈ Z pentru care E(x) ∈ Z”: aduci E(x) la forma kexpresie, iar expresia trebuie să fie un divizor întreg al lui k. Dacă E(x) = 6x + 1, atunci x + 1 ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}, deci x ∈ {−7, −4, −3, −2, 0, 1, 2, 5}; apoi elimini valorile excluse de condițiile de existență.
Greșeli frecvente
Se simplifică doar factori, nu termeni: x + 2x + 5 nu se simplifică, iar x + 44 = x4 + 1, nu x + 1.
La adunare nu aduni numitorii: 1x + 1y = x + yxy, nu 2x + y.
Minusul din fața unei fracții se aplică întregului numărător: 1 − x − 1x = x − x + 1x = 1x.
Nu uita condițiile de existență: x² − 4x − 2 = x + 2 doar pentru x ≠ 2; în x = 2 fracția nu există, deși x + 2 = 4.