Relații metrice în triunghiul dreptunghic: teorie pentru clasa a VII-a

Teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și elementele de trigonometrie.

Teoremele triunghiului dreptunghic

Teorema înălțimii: într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: h² = AD·DC (D fiind piciorul înălțimii).
Teorema catetei: lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției ei pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei întregi: AB² = AD·AC (AD fiind proiecția catetei AB).
Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor: AC² = AB² + BC². Reciproca e adevărată: dacă într-un triunghi pătratul unei laturi e egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul e dreptunghic.

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit: sin = cateta opusă / ipotenuză; cos = cateta alăturată / ipotenuză; tg = cateta opusă / cateta alăturată; ctg = cateta alăturată / cateta opusă.
Formula fundamentală a trigonometriei: sin²x + cos²x = 1, pentru orice unghi x.
Valori uzuale: sin30° = 12, cos30° = √32, tg30° = √33; sin45° = √22, cos45° = √22, tg45° = 1; sin60° = √32, cos60° = 12, tg60° = √3.

Valorile uzuale pentru unghiurile de 30°, 45° și 60° (de știut pe de rost)
x 30° 45° 60°
sin x 12 √22 √32
cos x √32 √22 12
tg x √33 1 √3
ctg x √3 1 √33
Valorile din tabel se citesc din două triunghiuri: jumătatea unui triunghi echilateral cu latura 2 (unghiuri de 30° și 60°) și jumătatea unui pătrat cu latura 1, tăiat de diagonală (unghiuri de 45°).

Înălțimea unui copac, fără să urci în el: te așezi la 20 m de copac și măsori unghiul sub care îi vezi vârful (cu o aplicație de telefon), de exemplu 30°. Cu ochii la 1,5 m de sol, înălțimea e h = 20·tg 30° + 1,5 = 20·(√33) + 1,5 ≈ 11,5 + 1,5 = 13 m.
Cât de departe se vede orizontul? Privirea e tangentă la Pământ (raza R ≈ 6370 km), deci cu centrul Pământului formează un triunghi dreptunghic: d² = (R + h)² − R². Cu ochii la h = 1,7 m vezi până la d ≈ 4,7 km; din vârful unui bloc de 50 m, până la d ≈ 25 km.
Un avion decolează și urcă sub un unghi de 30° față de sol. După ce parcurge 2 km pe direcția de zbor, e la înălțimea de 1 km: cateta opusă unghiului de 30° e jumătate din ipotenuză (sin 30° = 12).
Scurtătura pe diagonală: un teren dreptunghiular are laturile de 40 m și 30 m. Pe margine mergi 40 + 30 = 70 m, pe diagonală doar √40² + 30² = 50 m (teorema lui Pitagora): economisești 20 m.