Rezolvare BAC 2024 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (august) 2024 (Proba E.c) — 20.08.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ), cu a₂ = 14 și a₃ = 18.

Rația este r = a₃ − a₂ = 4, deci a₁ = a₂ − r = 10. (Echivalent: a₂ = a₁ + a₃2, deci 14 = a₁ + 182.)
Răspuns
a₁ = 10

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 2. Arătați că (f∘f)(5) = 9.

f(5) = 7, deci (f∘f)(5) = f(7) = 9.
Răspuns
9

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x² + 2x + 1) = ∛(1 − x).

Radicalul de ordin 3 e injectiv pe R: x² + 2x + 1 = 1 − x, deci x² + 3x = 0.
x(x + 3) = 0, deci x = −3 sau x = 0.
Răspuns
x = −3 sau x = 0

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3, 7, 9}.

Cifra unităților trebuie să fie impară: 1, 3, 7 sau 9, deci 4 moduri.
Cifra zecilor se alege dintre celelalte 4 cifre din A, deci 4 moduri; în total 4·4 = 16 numere.
Răspuns
16 numere

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(2,1). Determinați coordonatele punctului B pentru care AB = 2OA (vectori).

2·OA are coordonatele (4, 2), iar AB are coordonatele (x_B − 2, y_B − 1).
Din x_B − 2 = 4 și y_B − 1 = 2 obținem B(6, 3).
Răspuns
B(6,3)

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și AB = BC2. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

AB = 6 și AC = √(144 − 36) = √108 = 6√3.
Aria = AB·AC2 = 6·6√32 = 18√3.
Răspuns
18√3

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 000010001 și B(x) = 2ˣ0001x0x1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(B(1)) = 0.

B(1) = 200011011.
Liniile 2 și 3 sunt egale, deci det(B(1)) = 0 (sau, dezvoltând: 2·(1·1 − 1·1) = 0).
Răspuns
0

b) (5p) Arătați că B(x)·B(y) − B(x + y) = xyA, pentru orice numere reale x și y.

B(x)·B(y) = 2ˣ⁺ʸ0001+xyx+y0x+yxy+1.
Scăzând B(x + y) = 2ˣ⁺ʸ0001x+y0x+y1 rămâne 0000xy000xy = xyA.
Răspuns
B(x)·B(y) − B(x + y) = xyA

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care B(x)·B(x + 1) − B(2x)·B(1) = xA.

Din punctul b): B(x)·B(x + 1) = B(2x + 1) + x(x + 1)A și B(2x)·B(1) = B(2x + 1) + 2xA.
Diferența este (x² + x − 2x)A = (x² − x)A.
(x² − x)A = xA ⇔ x² − 2x = 0, deci x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 sau x = 2

Se consideră polinomul f = X³ + aX² + X + 2 − a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1) = 4, pentru orice număr real a.

f(1) = 1 + a + 1 + 2 − a = 4.
Răspuns
f(1) = 4

b) (5p) Pentru a = 2, determinați rădăcinile polinomului f.

Pentru a = 2: f = X³ + 2X² + X = X(X² + 2X + 1) = X(X + 1)².
Rădăcinile sunt x₁ = x₂ = −1 și x₃ = 0.
Răspuns
−1 (dublă) și 0

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care (x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

(x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = x₁x₂x₃·(1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃).
Cum f = (X − x₁)(X − x₂)(X − x₃), avem (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = f(1) = 4, iar din Viète x₁x₂x₃ = −(2 − a) = a − 2.
Produsul este 4(a − 2) = 4, deci a = 3.
Răspuns
a = 3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² − 2)e²ˣ.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2e²ˣ(x² + x − 2), x∈R.

f'(x) = 2x·e²ˣ + (x² − 2)·2e²ˣ.
Scoatem factor comun 2e²ˣ: f'(x) = 2e²ˣ(x + x² − 2) = 2e²ˣ(x² + x − 2).
Răspuns
f'(x) = 2e²ˣ(x² + x − 2)

b) (5p) Calculați limx→+∞ f(x)f'(x).

f(x)f'(x) = x² − 22(x² + x − 2) (se simplifică e²ˣ).
Raport de polinoame de același grad: limita este raportul coeficienților dominanți, 12.
Răspuns
12

c) (5p) Determinați imaginea funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x² + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 sau x = 1; f crește pe (−∞, −2], scade pe [−2, 1] și crește pe [1, +∞).
limx→−∞ f(x) = 0 (e²ˣ → 0 mai repede decât crește x²), f(−2) = 2e⁻⁴ > 0, f(1) = −e² și limx→+∞ f(x) = +∞.
Valoarea minimă este f(1) = −e², iar f e continuă și ia valori oricât de mari, deci imaginea este [−e², +∞).
Răspuns
Im f = [−e², +∞)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x⁴ + 6x² + 1.

a) (5p) Arătați că ∫[−1,1] (f(x) − 6x²) dx = 125.

f(x) − 6x² = x⁴ + 1.
∫[−1,1] (x⁴ + 1) dx = [x⁵5 + x] de la −1 la 1 = (15 + 1) − (−15 − 1) = 125.
Răspuns
125

b) (5p) Arătați că ∫[1,6] x³f(x) − 1 dx = ln62.

f(x) − 1 = x⁴ + 6x² = x²(x² + 6), deci x³f(x) − 1 = xx² + 6.
O primitivă este (12)·ln(x² + 6), deci integrala e (12)(ln42 − ln7) = (12)·ln6.
Răspuns
ln62

c) (5p) Arătați că limx→0 (1x³)·∫[0,x] (f(2t) − f(t)) dt = 6.

Numărătorul (integrala) și x³ tind la 0; aplicăm regula lui l'Hôpital: derivata integralei e f(2x) − f(x), iar a lui x³ e 3x².
f(2x) − f(x) = 16x⁴ + 24x² + 1 − x⁴ − 6x² − 1 = 15x⁴ + 18x².
limx→0 15x⁴ + 18x²3x² = limx→0 (5x² + 6) = 6.
Răspuns
6

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →