Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (august) 2024 (Proba E.c) — 20.08.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (0,3 + 0,4)·10 + 2·0,5 = 8.

0,7·10 + 1 = 7 + 1 = 8.
Răspuns
8

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 1. Arătați că f(1) + f(2) = 4.

f(1) = 1 și f(2) = 3, deci suma e 4.
Răspuns
4

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(2x + 1) = log₅5.

2x + 1 = 5, deci x = 2.
Pentru x = 2 argumentul e 5 > 0, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}, acesta să fie divizibil cu 3.

A are 9 elemente.
Divizibile cu 3 (suma cifrelor divizibilă cu 3): 21, 51 și 81, deci p = 39 = 13.
Răspuns
p = 13

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1), B(m,2) și C(5,3), unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că punctul B este mijlocul segmentului AC.

Abscisa mijlocului lui AC: m = 3 + 52 = 4 (și ordonata 1 + 32 = 2 se potrivește).
Răspuns
m = 4

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 20 și AC = 16. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 48.

AB = √(400 − 256) = √144 = 12.
Perimetrul: 12 + 16 + 20 = 48.
Răspuns
48

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x+111x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 3111, deci det(A(1)) = 3111 = 3 − 1 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).

A(1) + A(5) = 3111 + 11115 = 14226 = 2·7113 = 2A(3).
Răspuns
A(1) + A(5) = 2A(3)

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care X·A(1) = A(3).

det(A(1)) = 2 ≠ 0, deci A(1) e inversabilă: (A(1))⁻¹ = (12)·1−1−13.
X = A(3)·(A(1))⁻¹ = (12)·7113·1−1−13 = (12)·6−4−28.
Deci X = 3−2−14.
Răspuns
X = 3−2−14

Se consideră polinomul f = X³ + mX² + 2X − 5, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(0) = −5, pentru orice număr real m.

f(0) = 0 + 0 + 0 − 5 = −5.
Răspuns
f(0) = −5

b) (5p) Determinați numărul real m, știind că 1 este rădăcină a polinomului f.

f(1) = 1 + m + 2 − 5 = m − 2 = 0, deci m = 2.
Răspuns
m = 2

c) (5p) Determinați numărul natural m pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 5, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −m și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 2.
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = m² − 4.
m² − 4 = 5, deci m² = 9 și, cum m e natural, m = 3.
Răspuns
m = 3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²x² + 1.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2x(x² + 1)², x∈R.

f'(x) = 2x(x² + 1) − x²·2x(x² + 1)².
Numărătorul: 2x³ + 2x − 2x³ = 2x.
Răspuns
f'(x) = 2x(x² + 1)²

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ x²x² + 1 = 1 (raportul coeficienților dominanți).
Asimptota orizontală spre +∞ este y = 1.
Răspuns
y = 1

c) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = 0; numitorul e pozitiv, deci semnul lui f' e semnul lui x.
f este descrescătoare pe (−∞, 0] și crescătoare pe [0, +∞).
Răspuns
descrescătoare pe (−∞, 0], crescătoare pe [0, +∞)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(x + 1).

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x)x + 1 dx = e − 1.

f(x)x + 1 = eˣ.
∫[0,1] eˣ dx = e − 1.
Răspuns
e − 1

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x) dx = e.

Prin părți: ∫ eˣ(x + 1) dx = eˣ(x + 1) − ∫ eˣ dx = eˣ(x + 1) − eˣ = x·eˣ.
Valoarea: 1·e − 0 = e.
Răspuns
e

c) (5p) Determinați numărul real a, a > 1, pentru care ∫[1,a] 2x·f(x²)x² + 1 dx = e(e³ − 1).

f(x²) = e^x²(x² + 1), deci 2x·f(x²)x² + 1 = 2x·e^x² = (e^x²)'.
Integrala este e^a² − e.
e^a² − e = e⁴ − e, deci a² = 4 și, cum a > 1, a = 2.
Răspuns
a = 2