Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (iulie) 2024 (Proba E.c) — 02.07.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (125)·(12 + 13) = 2.

12 + 13 = 36 + 26 = 56.
(125)·(56) = 126 = 2.
Răspuns
2

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 5x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 6.

Din 5a + 1 = 6 obținem a = 1.
Răspuns
a = 1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4x + 1) = 3.

Ridicând la pătrat: 4x + 1 = 9, deci x = 2.
Verificare: √9 = 3, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}, acesta să fie divizibil cu 20.

A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
Divizibile cu 20 sunt 20, 40, 60 și 80: 4 cazuri favorabile, deci p = 49.
Răspuns
p = 49

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(8,8) și C(11,4). Arătați că AB = 2BC.

AB = √(6² + 8²) = √100 = 10.
BC = √(3² + 4²) = √25 = 5, deci AB = 2BC.
Răspuns
AB = 10 = 2·5 = 2BC

6. (5p) Arătați că 1 + sin30° = 2sin60°·cos30°.

sin30° = 12, deci membrul stâng este 32.
sin60° = cos30° = √32, deci 2·(√32)·(√32) = 32. Membrii sunt egali.
Răspuns
ambii membri sunt 32

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = xx−1−2x2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 10−22, deci det(A(1)) = 10−22 = 2 − 0 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că A(2) + A(0) = 2A(1).

A(2) + A(0) = 21−42 + 0−102 = 20−44 = 2·10−22 = 2A(1).
Răspuns
A(2) + A(0) = 2A(1)

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x) + xI₂) = 2.

A(x) + xI₂ = 2xx−1−2xx+2, cu determinantul 2x(x + 2) + 2x(x − 1) = 4x² + 2x.
4x² + 2x = 2 ⇔ 2x² + x − 1 = 0, deci x = −1 sau x = 12.
Răspuns
x = −1 sau x = 12

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = 2(x + y) − xy − 4.

a) (5p) Arătați că 1∘3 = 1.

1∘3 = 2·4 − 3 − 4 = 1.
Răspuns
1

b) (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

y∘x = 2(y + x) − yx − 4 = 2(x + y) − xy − 4 = x∘y, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x∘y = y∘x

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n∘n ≥ n − 2.

n∘n = 4n − n² − 4.
4n − n² − 4 ≥ n − 2 ⇔ n² − 3n + 2 ≤ 0 ⇔ (n − 1)(n − 2) ≤ 0 ⇔ n ∈ [1, 2].
Numerele naturale sunt n = 1 și n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x − 1x².

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(1 − x)x³, x∈(0,+∞).

f'(x) = 2x² − (2x − 1)·2xx⁴ = −2x² + 2xx⁴.
Simplificând cu x: f'(x) = −2x + 2x³ = 2(1 − x)x³.
Răspuns
f'(x) = 2(1 − x)x³

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 1 și f'(1) = 0.
Tangenta: y − 1 = 0·(x − 1), adică y = 1.
Răspuns
y = 1

c) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = 1; pe (0, 1] avem 1 − x ≥ 0, deci f' ≥ 0, iar pe [1, +∞) f' ≤ 0.
f este crescătoare pe (0, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).
Răspuns
crescătoare pe (0, 1], descrescătoare pe [1, +∞)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 1x² + x + 1.

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] (x² + x + 1)f(x) dx = 2.

(x² + x + 1)f(x) = 2x + 1.
∫[0,1] (2x + 1) dx = [x² + x] de la 0 la 1 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x) dx = ln3.

(x² + x + 1)' = 2x + 1, deci f(x) = (x² + x + 1)'/(x² + x + 1), cu primitiva ln(x² + x + 1).
Valoarea: ln3 − ln1 = ln3.
Răspuns
ln3

c) (5p) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R, g(x) = eˣ(x² + x + 1)f(x), axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu e + 1.

g(x) = eˣ(2x + 1) ≥ 0 pe [0, 1], deci aria este ∫[0,1] eˣ(2x + 1) dx.
Prin părți: ∫ eˣ(2x + 1) dx = eˣ(2x + 1) − ∫ 2eˣ dx = eˣ(2x + 1) − 2eˣ = eˣ(2x − 1).
Aria = e·1 − (−1) = e + 1.
Răspuns
e + 1