Acasă / Subiecte oficiale / 2026 / Rezolvare M2 tehnologic

Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (iulie) 2026 (Proba E.c) — 01.07.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥1, în care a₁=10 și a₂=18.
  • Rația progresiei este r = a₂−a₁ = 18−10 = 8.
  • a₃ = a₂+r = 18+8 = 26.

  • Răspuns

    a₃ = 26

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=2x−2. Arătați că f(4)−f(3)−f(2)=0.
  • f(4)=6, f(3)=4, f(2)=2.
  • f(4)−f(3)−f(2) = 6−4−2 = 0.

  • Răspuns

    0

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 73−x = 74x−2.
  • Bazele fiind egale, exponenții trebuie să fie egali: 3−x = 4x−2.
  • 5 = 5x, deci x=1.

  • Răspuns

    x = 1

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 20−2n<15.
  • Mulțimea numerelor naturale de o cifră {0,1,...,9} are 10 elemente, adică 10 cazuri posibile.
  • 20−2n<15 ⇔ 2n>5 ⇔ n>2,5, deci n∈{3,4,...,9}, adică 7 cazuri favorabile.
  • P = 710.

  • Răspuns

    710

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), M(2,4) și B(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.
  • 1+a2 = 2, deci a=3.
  • 1+b2 = 4, deci b=7.

  • Răspuns

    a = 3, b = 7

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB=15 și măsura unghiului B egală cu 30°. Arătați că BC=10√3.
  • cos B = ABBC, deci √32 = 15BC.
  • BC = 2·15√3 = 30√3 = 10√3.

  • Răspuns

    BC = 10√3

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x1x−12, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(4)) = 5.
  • A(4) = 4132.
  • det(A(4)) = 4132 = 8−3 = 5.

  • Răspuns

    det(A(4)) = 5

b) (5p) Arătați că 2A(1)+A(4) = 3A(2).
  • A(1)=1102, deci 2A(1)=2204.
  • 2A(1)+A(4) = 6336 = 3·2112 = 3A(2), unde A(2)=2112.

  • Răspuns

    Egalitatea se verifică

c) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(−x)·A(x) = A(y).
  • A(−x)=−x1−x−12. Calculăm produsul: A(−x)·A(x) = −x²+x−1−x+2−x²+x−2−x+3, pentru orice x real.
  • Din elementul (1,2): −x+2=1, deci x=1. Din elementul (2,2): −x+3=2, consistent cu x=1.
  • Din elementul (1,1) cu x=1: −1+1−1=−1=y.

  • Răspuns

    x = 1, y = −1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = (4−x)(4−y)+2.

a) (5p) Arătați că 0∗3 = 6.
  • 0∗3 = (4−0)(4−3)+2 = 4+2 = 6.

  • Răspuns

    0∗3 = 6

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care 2∗x = 2.
  • 2∗x = (4−2)(4−x)+2 = 2(4−x)+2 = −2x+10, pentru orice x real.
  • Din −2x+10=2 obținem x=4.

  • Răspuns

    x = 4

c) (5p) Determinați perechile (m,n) de numere întregi pentru care (2m)∗(2n+1) = 10.
  • (2m)∗(2n+1) = (4−2m)(4−(2n+1))+2 = (4−2m)(3−2n)+2, pentru orice m,n întregi.
  • Din (4−2m)(3−2n)=8: (4−2m) e mereu par, iar (3−2n) e mereu impar; cum produsul e 8, singurii divizori impari ai lui 8 sunt ±1.
  • Pentru 3−2n=1 (n=1): 4−2m=8, deci m=−2. Pentru 3−2n=−1 (n=2): 4−2m=−8, deci m=6.

  • Răspuns

    (m,n) ∈ {(−2,1), (6,2)}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x⁴−4x³−12x²−1.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 12x(x+1)(x−2), x∈R.
  • f'(x) = 12x³−12x²−24x = 12x(x²−x−2).
  • Factorizăm: x²−x−2 = (x+1)(x−2).

  • Răspuns

    f'(x) = 12x(x+1)(x−2)

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=0.
  • f(0)=−1, f'(0)=0.
  • Ecuația tangentei: y−f(0)=f'(0)(x−0), adică y=−1.

  • Răspuns

    y = −1

c) (5p) Demonstrați că 3x⁴+5≥4x³+12x², pentru orice x∈(−∞,0].
  • Pe (−∞,0], f'(x)=0 ⇔ x=−1 sau x=0; f este descrescătoare pe (−∞,−1] și crescătoare pe [−1,0].
  • Deci f(x)≥f(−1), pentru orice x∈(−∞,0]. Cum f(−1)=3+4−12−1=−6, obținem f(x)≥−6.
  • f(x)≥−6 ⇔ 3x⁴−4x³−12x²−1≥−6 ⇔ 3x⁴+5≥4x³+12x², pentru orice x∈(−∞,0].

  • Răspuns

    Inegalitatea e demonstrată pentru orice x∈(−∞,0].

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x+1+xeˣ.

a) (5p) Arătați că ∫[0,4] (f(x)−xeˣ) dx = 12.
  • f(x)−xeˣ = x+1.
  • ∫[0,4] (x+1) dx = [x²2+x] de la 0 la 4 = 8+4 = 12.

  • Răspuns

    12

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] (f(x)−x−1) dx = 1.
  • f(x)−x−1 = xeˣ, iar o primitivă a lui xeˣ este (x−1)eˣ.
  • ∫[0,1] xeˣ dx = [(x−1)eˣ] de la 0 la 1 = 0−(−1) = 1.

  • Răspuns

    1

c) (5p) Se consideră funcția g:[0,1]→R, g(x)=√(f'(x))f(x). Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g în jurul axei Ox este egal cu π(e+1)e+2.
  • g(x)² = f'(x)(f(x))², deci V = π∫[0,1] f'(x)(f(x))² dx = π·[−1f(x)] de la 0 la 1.
  • f(0)=1, f(1)=2+e.
  • V = π·[1 − 12+e] = π·[2+e−12+e] = π(e+1)e+2.

  • Răspuns

    π(e+1)e+2

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 tehnologic

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →