Acasă / Subiecte oficiale / 2026 / Rezolvare M3 pedagogic

Rezolvare BAC 2026 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (iulie) 2026 (Proba E.c) — 01.07.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (145)·(1−16)+23 = 3.
  • 1−16 = 56, deci (145)·(56) = 146 = 73.
  • 73+23 = 93 = 3.

  • Răspuns

    3

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=4x−1 și numărul a=f(1). Calculați f(a).
  • a = f(1) = 4·1−1 = 3.
  • f(a) = f(3) = 4·3−1 = 11.

  • Răspuns

    f(a) = 11

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10³·10x = 100.
  • 103+x = 10², deci 3+x=2.
  • x = −1.

  • Răspuns

    x = −1

4. (5p) După două ieftiniri succesive, cu câte 50%, un obiect costă 200 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.
  • Fie x prețul inițial. După prima ieftinire, prețul este x−50%·x = x2.
  • După a doua ieftinire, prețul este (x2)−50%·(x2) = x4.
  • Din x4=200 obținem x=800 de lei.

  • Răspuns

    800 de lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0), B(6,2) și C, mijlocul segmentului OB. Arătați că AC=√2.
  • C, mijlocul lui OB: C(3,1).
  • AC = √((4−3)²+(0−1)²) = √(1+1) = √2.

  • Răspuns

    AC = √2

6. (5p) Arătați că 2sin45°·sin30° − √2·cos60° = 0.
  • sin45°=√22, sin30°=12, cos60°=12.
  • 2·(√22)·(12) − √2·(12) = √22 − √22 = 0.

  • Răspuns

    0

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy−x−2y+4.

1. (5p) Arătați că 3∗3 = 4.
  • 3∗3 = 3·3−3−2·3+4 = 9−3−6+4 = 4.

  • Răspuns

    4

2. (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗(−2) = x.
  • x∗(−2) = x·(−2)−x−2·(−2)+4 = −2x−x+4+4 = −3x+8, pentru orice x real.
  • Din −3x+8=x obținem 8=4x, deci x=2.

  • Răspuns

    x = 2

3. (5p) Determinați numerele reale x pentru care (−x)∗x = 2x.
  • (−x)∗x = (−x)·x−(−x)−2x+4 = −x²+x−2x+4 = −x²−x+4, pentru orice x real.
  • Din −x²−x+4=2x obținem x²+3x−4=0, deci x=−4 sau x=1.

  • Răspuns

    x = −4 sau x = 1

4. (5p) Arătați că x∗y = (x−2)(y−1)+2, pentru orice numere reale x și y.
  • (x−2)(y−1)+2 = xy−x−2y+2+2 = xy−x−2y+4, care este exact x∗y.

  • Răspuns

    Identitatea se verifică

5. (5p) Determinați numerele reale nenule a pentru care 4∗(4∗a) = 1a.
  • 4∗a = 4a−4−2a+4 = 2a, pentru orice a real.
  • 4∗(4∗a) = 4∗(2a) = 4·(2a)−4−2·(2a)+4 = 4a, pentru orice a real.
  • Din 4a=1a obținem 4a²=1, deci a=−12 sau a=12 (ambele nenule, convin).

  • Răspuns

    a = −12 sau a = 12

6. (5p) Determinați perechile (n,p) de numere naturale pentru care n∗p = p.
  • n∗p = (n−2)(p−1)+2, deci din n∗p=p obținem (n−2)(p−1)+2=p.
  • Rearanjând: (n−2)(p−1) = p−2 = (p−1)−1, deci (n−2)(p−1)−(p−1) = −1, adică (n−3)(p−1) = −1.
  • Cum n,p sunt naturale: n−3=1,p−1=−1 dă n=4,p=0; n−3=−1,p−1=1 dă n=2,p=2.

  • Răspuns

    (n,p) ∈ {(2,2), (4,0)}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 4−xx−x1−x, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(2)) = 2.
  • A(2) = 22−2−1.
  • det(A(2)) = 22−2−1 = −2+4 = 2.

  • Răspuns

    det(A(2)) = 2

2. (5p) Determinați numărul real a pentru care 3A(2)−A(4) = 2A(a).
  • A(4)=04−4−3, 3A(2)=66−6−3.
  • 3A(2)−A(4) = 62−20 = 2·31−10.
  • Din A(a)=[[3,1],[−1,0]] și forma generală A(a)=[[4−a,a],[−a,1−a]], obținem 4−a=3, deci a=1 (verifică toate elementele).

  • Răspuns

    a = 1

3. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x)) = x.
  • det(A(x)) = (4−x)(1−x)−x·(−x) = 4−5x+x²+x² = 2x²−5x+4, pentru orice x real.
  • Din 2x²−5x+4=x obținem 2x²−6x+4=0, adică x²−3x+2=0, deci x=1 sau x=2.

  • Răspuns

    x = 1 sau x = 2

4. (5p) Arătați că matricea B=(12)(I₂−A(2)) este inversa matricei A(2).
  • I₂−A(2) = −1−222, deci B = −12−111.
  • Calculând direct, A(2)·B=B·A(2)=I₂, deci B este inversa matricei A(2).

  • Răspuns

    B = A(2)⁻¹

5. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(x)·A(x) = yI₂.
  • A(x)·A(x) = 16−8x5x−2x²−5x+2x²1−2x, pentru orice x real.
  • Pentru ca produsul să fie yI₂ (matrice diagonală), trebuie 5x−2x²=0, deci x=0 sau x=52.
  • Egalând și elementele diagonale (16−8x=1−2x) obținem x=52 (singura valoare consistentă), iar y=1−2·(52)=−4.

  • Răspuns

    x = 52, y = −4

6. (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care X−A(2)·X = A(3).
  • (I₂−A(2))·X = A(3), iar cum (I₂−A(2))⁻¹ = (12)A(2) (verificabil direct), obținem X = (12)A(2)·A(3).
  • A(3) = 13−3−2. X = (12)·22−2−1·13−3−2 = −2112−2.

  • Răspuns

    X = [[−2, 1], [12, −2]]

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M3 pedagogic

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →