Rezolvare BAC 2025 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (august) 2025 (Proba E.c) — 12.08.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 3·(32 − 16) + 2:(12) = 8.

32 − 16 = 96 − 16 = 86, deci 3·(86) = 4.
2:(12) = 2·2 = 4, iar 4+4 = 8.
Răspuns
8

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 5x−2 și g:R→R, g(x) = 2x+7. Determinați numărul real m pentru care f(1)+g(1) = 2m.

f(1) = 3 și g(1) = 9.
Din 3+9 = 2m obținem m = 6.
Răspuns
m = 6

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⁻ˣ = 2²ˣ⁻⁶.

Exponenții sunt egali: −x = 2x−6.
3x = 6, deci x = 2.
Răspuns
x = 2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0,1,2,3,…,19}, numărul 3n+2 să aparțină mulțimii A.

A are 20 de elemente, deci 20 de cazuri posibile.
3n+2 ∈ A ⇔ 3n+2 ≤ 19 ⇔ n ≤ 173, deci n ∈ {0,1,2,3,4,5}: 6 cazuri favorabile.
p = 620 = 310.
Răspuns
p = 310

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0), B(0,6), C(5,4) și D, mijlocul segmentului AC. Determinați distanța dintre punctele B și D.

D, mijlocul lui AC: D(3,2).
BD = √((3−0)² + (2−6)²) = √(9+16) = 5.
Răspuns
BD = 5

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și AC = 8. Arătați că sinC = √55.

BC = √(16+64) = √80 = 4√5.
sinC = ABBC = 44√5 = 1√5 = √55.
Răspuns
sinC = √55

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = xy + 90 − 9x − 9y.

1. (5p) Arătați că 0∗9 = 9.

0∗9 = 0·9 + 90 − 9·0 − 9·9 = 90 − 81 = 9.
Răspuns
9

2. (5p) Arătați că x∗y = (x−9)(y−9)+9, pentru orice numere reale x și y.

(x−9)(y−9)+9 = xy − 9x − 9y + 81 + 9 = xy + 90 − 9x − 9y = x∗y.
Răspuns
x∗y = (x−9)(y−9)+9

3. (5p) Arătați că e = 10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗10 = (x−9)·1 + 9 = x și 10∗x = 1·(x−9) + 9 = x, pentru orice x real.
Deci e = 10 este elementul neutru.
Răspuns
e = 10

4. (5p) Determinați simetricul numărului 263 în raport cu legea de compoziție „∗”.

Căutăm x cu (263)∗x = 10 (legea e comutativă, deci și x∗(263) = 10).
(263 − 9)(x − 9) + 9 = 10 ⇔ (−13)(x − 9) = 1 ⇔ x − 9 = −3, deci x = 6.
Răspuns
6

5. (5p) Calculați 3⁰∗3¹∗3²∗3³∗3⁴.

x∗9 = (x−9)·0 + 9 = 9 și 9∗y = 9, pentru orice x, y reale.
Cum 3² = 9 și legea e asociativă: (3⁰∗3¹)∗9∗3³∗3⁴ = 9∗3³∗3⁴ = 9.
Răspuns
9

6. (5p) Determinați numerele naturale de forma ab (cu cifrele a și b) pentru care a∗b = 12.

(a−9)(b−9)+9 = 12 ⇔ (a−9)(b−9) = 3.
a și b sunt cifre, cu a ≠ 0, deci a−9 și b−9 sunt între −9 și 0; produsul 3 se obține doar ca (−1)·(−3) sau (−3)·(−1).
a = 8, b = 6 sau a = 6, b = 8, deci numerele sunt 86 și 68.
Răspuns
68 și 86

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(a) = a1−32−a, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(M(1)) = 4.

M(1) = 11−31, deci det(M(1)) = 11−31 = 1·1 − 1·(−3) = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Arătați că 3M(4) − M(2) = 2M(5).

3M(4) − M(2) = 123−9−6 − 21−30 = 102−6−6.
102−6−6 = 2·51−3−3 = 2M(5).
Răspuns
3M(4) − M(2) = 2M(5)

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(M(a)) = 0.

det(M(a)) = a(2−a) + 3 = −a² + 2a + 3.
−a² + 2a + 3 = 0 ⇔ a² − 2a − 3 = 0, deci a = −1 sau a = 3.
Răspuns
a = −1 sau a = 3

4. (5p) Determinați numărul real x pentru care M(3)·M(3) = xM(3).

M(3) = 31−3−1, iar M(3)·M(3) = 62−6−2 = 2M(3).
Din 2M(3) = xM(3) obținem x = 2.
Răspuns
x = 2

5. (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care M(1)·X = 2M(−1).

det(M(1)) = 4 ≠ 0, deci M(1) e inversabilă: (M(1))⁻¹ = (14)·1−131.
X = 2(M(1))⁻¹·M(−1) = (12)·1−131·−11−33 = (12)·2−2−66.
Deci X = 1−1−33.
Răspuns
X = 1−1−33

6. (5p) Determinați numerele întregi m pentru care det(M(m)+mI₂) ≤ det(M(−2m)).

M(m)+mI₂ = 2m1−32, cu determinantul 4m + 3.
det(M(−2m)) = −2m(2+2m) + 3 = −4m² − 4m + 3.
4m + 3 ≤ −4m² − 4m + 3 ⇔ 4m² + 8m ≤ 0 ⇔ m(m+2) ≤ 0 ⇔ m ∈ [−2, 0]; numerele întregi sunt −2, −1 și 0.
Răspuns
m ∈ {−2, −1, 0}