Acasă / Subiecte oficiale / 2026 / Rezolvare M3 pedagogic

Rezolvare BAC 2026 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (august) 2026 (Proba E.c) — 11.08.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥1, în care a₁=2 și a₂=16.
  • Rația r = a₂−a₁ = 16−2=14.
  • a₃ = a₂+r = 16+14=30.

  • Răspuns

    30

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=x−2. Determinați numărul real m pentru care f(3)+f(5)=f(m).
  • f(3)=1, f(5)=3, deci f(3)+f(5)=4.
  • f(m)=m−2. Din m−2=4 obținem m=6.

  • Răspuns

    m=6

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x = 12−x.
  • 3x=12−x, deci 4x=12, adică x=3.
  • Verificare: 3·3=9=12−3, deci x=3 convine.

  • Răspuns

    x=3

4. (5p) Se consideră mulțimea A={20, 21, 22, ..., 35}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie multiplu de 5.
  • A are 35−20+1=16 elemente, adică 16 cazuri posibile.
  • Multiplii de 5 din A: 20,25,30,35, adică 4 cazuri favorabile.
  • P=416=14.

  • Răspuns

    14

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,3) și N(7,1). Arătați că triunghiul OMN este dreptunghic.
  • OM=√(1²+3²)=√10, ON=√(7²+1²)=√50, MN=√[(7−1)²+(1−3)²]=√40.
  • Verificăm: ON²=50, iar OM²+MN²=10+40=50=ON².
  • Deci triunghiul OMN este dreptunghic în M.

  • Răspuns

    Triunghiul OMN e dreptunghic în M

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC=8 și măsura unghiului B egală cu 45°. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 8(1+√2).
  • Cum m(∢B)=45° și triunghiul e dreptunghic în A, rezultă m(∢C)=45° și triunghiul e isoscel, deci AB=AC.
  • AB=BC·cos(45°)=8·(√22)=4√2, la fel AC=4√2.
  • Perimetrul = BC+AB+AC = 8+4√2+4√2 = 8(1+√2).

  • Răspuns

    8(1+√2)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = (13)(x−2)(y−2)+2.

1. (5p) Arătați că 4∘8=6.
  • 4∘8 = (13)(4−2)(8−2)+2 = (13)·2·6+2 = 4+2=6.

  • Răspuns

    6

2. (5p) Determinați numărul real x pentru care (−1)∘x=x.
  • (−1)∘x = (13)(−1−2)(x−2)+2 = (13)(−3)(x−2)+2 = −(x−2)+2 = −x+4.
  • Din −x+4=x obținem 2x=4, deci x=2.

  • Răspuns

    x=2

3. (5p) Arătați că e=5 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.
  • x∘5 = (13)(x−2)(5−2)+2 = (13)(x−2)·3+2 = (x−2)+2 = x, pentru orice x real.
  • Analog, 5∘x = (13)(5−2)(x−2)+2 = x, pentru orice x real.
  • Cum x∘5=5∘x=x pentru orice x, e=5 este elementul neutru.

  • Răspuns

    e=5

4. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care numărul N=n∘(−n) este natural.
  • N = n∘(−n) = (13)(n−2)(−n−2)+2 = (13)(4−n²)+2 = 10−n²3.
  • Pentru ca N să fie natural, trebuie 10−n²≥0, deci n∈{0,1,2,3}.
  • Verificăm: n=0→N=103 (nu); n=1→N=3 (da); n=2→N=2 (da); n=3→N=13 (nu).

  • Răspuns

    n=1 sau n=2

5. (5p) Determinați numărul real x, știind că 1 este simetricul lui x în raport cu legea de compoziție „∘”.
  • x∘1=1∘x=e=5 (definiția simetricului).
  • x∘1 = (13)(x−2)(1−2)+2 = −x−23+2.
  • Din −x−23+2=5 obținem −x−23=3, deci x−2=−9, adică x=−7.

  • Răspuns

    x=−7

6. (5p) Determinați numerele naturale m și p pentru care 2m∘3p=4.
  • 2m∘3p = (13)(2m−2)(3p−2)+2.
  • Din (13)(2m−2)(3p−2)+2=4 obținem (2m−2)(3p−2)=6.
  • Testăm valori naturale mici: pentru m=3, 2³−2=6; pentru p=1, 3¹−2=1; produsul 6·1=6, verifică.

  • Răspuns

    m=3, p=1

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 20xx−3, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(5))=4.
  • A(5)=2052.
  • det(A(5)) = 2052 = 2·2−0·5=4.

  • Răspuns

    4

2. (5p) Determinați numărul real x pentru care 3A(5)−A(1)=2A(x).
  • 3A(5) = 60156, A(1) = 201−2.
  • 3A(5)−A(1) = 40148 = 2·2074 = 2A(7).

  • Răspuns

    x=7

3. (5p) Determinați numărul real m pentru care A(4)·A(4)+2I₂=mA(4).
  • A(4)=2041.
  • A(4)·A(4) = 40121, deci A(4)·A(4)+2I₂ = 60123 = 3·A(4).

  • Răspuns

    m=3

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x)+A(x²))=0.
  • A(x)+A(x²) = 40x+x²x+x²−6.
  • det(A(x)+A(x²)) = 4(x+x²−6) − 0 = 4(x²+x−6).
  • Din 4(x²+x−6)=0 obținem x²+x−6=0, deci x=−3 sau x=2.

  • Răspuns

    x=−3 sau x=2

5. (5p) Determinați numerele reale a și b pentru care suma elementelor matricei A(x)·A(a) este egală cu b, pentru orice număr real x.
  • A(x)·A(a) = 402x+ax−3aax−3x−3a+9 (calcul direct al produsului).
  • Suma elementelor este 4+0+(2x+ax−3a)+(ax−3x−3a+9) = x(2a−1)+(13−6a).
  • Pentru ca suma să fie constantă (egală cu b), coeficientul lui x trebuie să fie 0: 2a−1=0, deci a=12.
  • Atunci b=13−6·(12)=10.

  • Răspuns

    a=12, b=10

6. (5p) Se consideră matricea B = 40. Determinați matricea C∈M2,1(R) pentru care A(5)·C=B.
  • Fie C = ab. A(5)·C = 2a5a+2b.
  • Din 2a=4 obținem a=2, iar din 5a+2b=0 obținem 10+2b=0, adică b=−5.

  • Răspuns

    C = [[2], [−5]]

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M3 pedagogic

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →