Rezolvare BAC 2025 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (iunie) 2025 (Proba E.c) — 11.06.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 3·(1,5−0,3)+0,8:2 = 4.

1,5−0,3 = 1,2, deci 3·1,2 = 3,6; 0,8:2 = 0,4.
3,6+0,4 = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x+1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = f(3)−a.

f(3) = 7 și f(a) = 2a+1.
Din 2a+1 = 7−a obținem 3a = 6, deci a = 2.
Răspuns
a = 2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(5x−12) = log₂(2x).

Condiții de existență: 5x−12 > 0 și 2x > 0, adică x > 125.
Din egalitatea argumentelor: 5x−12 = 2x, deci x = 4, care verifică x > 125.
Răspuns
x = 4

4. (5p) După o scumpire cu 35%, un obiect costă 54 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Fie x prețul inițial: x + (35100)·x = 54, adică 1,35x = 54.
x = 54 : 1,35 = 40 de lei.
Răspuns
40 de lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5), B(4,1), C(6,0) și M, mijlocul segmentului AB. Arătați că OM = CM.

M, mijlocul lui AB: M(3,3).
OM = √(3²+3²) = 3√2, iar CM = √((6−3)²+(0−3)²) = 3√2, deci OM = CM.
Răspuns
OM = CM = 3√2

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 16 și 5AB = 4BC. Arătați că AC = 12.

Din 5·16 = 4BC obținem BC = 20.
Din teorema lui Pitagora: AC² = BC²−AB² = 400−256 = 144, deci AC = 12.
Răspuns
AC = 12

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy−6(x+y)+14.

1. (5p) Arătați că 0∗2 = 2.

0∗2 = 0·2 − 6(0+2) + 14 = 0−12+14 = 2.
Răspuns
2

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

y∗x = yx − 6(y+x) + 14 = xy − 6(x+y) + 14 = x∗y, pentru orice x, y reale.
Deci legea este comutativă.
Răspuns
x∗y = y∗x

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗4 = 4.

x∗4 = 4x − 6x − 24 + 14 = −2x − 10.
Din −2x − 10 = 4 obținem x = −7.
Răspuns
x = −7

4. (5p) Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (−m)∗(−n) = (m∗n)+36.

(−m)∗(−n) = mn + 6(m+n) + 14, iar (m∗n)+36 = mn − 6(m+n) + 14 + 36.
Egalând: 12(m+n) = 36, deci m+n = 3.
Cu m, n naturale și m < n: (0,3) și (1,2).
Răspuns
(m,n) ∈ {(0,3), (1,2)}

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care (1+3ˣ)∗(1−3ˣ) = 0.

(1+3ˣ)(1−3ˣ) = 1−3²ˣ, iar (1+3ˣ)+(1−3ˣ) = 2, deci (1+3ˣ)∗(1−3ˣ) = 1−3²ˣ−12+14 = 3−3²ˣ.
Din 3−3²ˣ = 0 obținem 3²ˣ = 3¹, deci 2x = 1 și x = 12.
Răspuns
x = 12

6. (5p) Arătați că x∗(1x) ≤ 3, pentru orice x∈(0,+∞).

x∗(1x) = 1 − 6(x + 1x) + 14 = 15 − 6(x²+1)x.
15 − 6(x²+1)x = 3 + 12 − 6(x²+1)x = 3 − 6(x²−2x+1)x = 3 − 6(x−1)²x.
Pentru x > 0, 6(x−1)²x ≥ 0, deci x∗(1x) ≤ 3.
Răspuns
x∗(1x) = 3 − 6(x−1)²x ≤ 3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și M(x) = 23xx2, unde x este număr real.

1. (5p) Arătați că det(M(1)) = 1.

M(1) = 2312, deci det(M(1)) = 2312 = 2·2 − 3·1 = 1.
Răspuns
1

2. (5p) Arătați că M(1)+2M(4) = 3M(3).

M(1)+2M(4) = 2312 + 42484 = 62796.
62796 = 3·2932 = 3M(3).
Răspuns
M(1)+2M(4) = 3M(3)

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care M(2)·M(−2) = aI₂.

M(2) = 2622, M(−2) = 2−6−22.
M(2)·M(−2) = 4−12−12+124−4−12+4 = −800−8 = −8I₂, deci a = −8.
Răspuns
a = −8

4. (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(M(x)+M(−2x)) = 4.

M(x)+M(−2x) = 4−3x−x4, cu determinantul 16 − 3x².
Din 16 − 3x² = 4 obținem x² = 4, deci x = −2 sau x = 2.
Răspuns
x = −2 sau x = 2

5. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care M(x)·M(−1)+M(y) = 12M(−1).

M(x)·M(−1) = 23xx2·2−3−12 = 4−3x−6+6x2x−2−3x+4.
Adunând M(y): 6−3x−6+6x+3y2x−2+y−3x+6, iar 12M(−1) = 24−36−1224.
Din 6−3x = 24 obținem x = −6; din 2x−2+y = −12 obținem y = 2 (celelalte elemente se verifică: −6−36+6 = −36 și 18+6 = 24).
Răspuns
x = −6, y = 2

6. (5p) Demonstrați că numărul natural N = det(2M(1)+nI₂) este multiplu de 4, pentru orice număr natural par n.

2M(1)+nI₂ = 4+n624+n, deci N = (4+n)² − 12 = n²+8n+4.
Pentru n = 2k (k natural): N = 4k²+16k+4 = 4(k²+4k+1), deci N este multiplu de 4.
Răspuns
N = 4(k²+4k+1)