Rezolvare BAC 2025 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (iunie) 2025 (Proba E.c) — 11.06.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 1−i și z₂ = 2+i. Arătați că 2z₁+iz₂ = 1.

2z₁ = 2−2i, iar iz₂ = i(2+i) = 2i+i² = 2i−1.
2z₁+iz₂ = 2−2i+2i−1 = 1.
Răspuns
2z₁+iz₂ = 1

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x+3. Determinați numărul real a pentru care (f∘f)(a) = 9.

f(a) = a+3, deci (f∘f)(a) = f(a+3) = (a+3)+3 = a+6.
Din a+6 = 9 obținem a = 3.
Răspuns
a = 3

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x²−3x+2) = x.

Membrul stâng e un radical, deci trebuie x ≥ 0.
Ridicând la pătrat: 2x²−3x+2 = x², adică x²−3x+2 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 2.
Ambele sunt pozitive și verifică ecuația: √1 = 1 și √4 = 2.
Răspuns
x = 1 sau x = 2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului 2⁶.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99, adică 90 de cazuri posibile.
Divizorii lui 2⁶ = 64 sunt puterile lui 2 până la 64; cele de două cifre sunt 16, 32 și 64, deci 3 cazuri favorabile.
p = 390 = 130.
Răspuns
p = 130

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(5,0), C(6,3) și D(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că segmentele AC și BD au același mijloc.

Mijlocul lui AC are coordonatele (0+62, 1+32) = (3,2).
Mijlocul lui BD are coordonatele (5+a2, b2).
Din 5+a2 = 3 și b2 = 2 obținem a = 1 și b = 4.
Răspuns
a = 1, b = 4

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 2 și tgB = 3. Arătați că BC = 2√10.

În triunghiul dreptunghic în A, tgB = ACAB, deci AC = 3·2 = 6.
Din teorema lui Pitagora: BC² = AB²+AC² = 4+36 = 40, deci BC = √40 = 2√10.
Răspuns
BC = 2√10

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 2−3x0x020−9x02+3x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 8.

A(1) = −101020−905.
Prin regula lui Sarrus: det(A(1)) = −101020−905 = −10+0+0−(−18)−0−0 = −10+18 = 8.
Răspuns
det(A(1)) = 8

b) (5p) Arătați că A(x)·A(y) = 2A(x+y), pentru orice numere reale x și y.

Elementul de pe linia 1, coloana 1: (2−3x)(2−3y)+x·(−9y) = 4−6x−6y+9xy−9xy = 4−6x−6y.
Linia 1, coloana 3: (2−3x)y+x(2+3y) = 2x+2y; linia 3, coloana 1: −9x(2−3y)+(2+3x)(−9y) = −18x−18y; linia 3, coloana 3: −9xy+(2+3x)(2+3y) = 4+6x+6y; mijlocul este 2·2 = 4.
Deci A(x)·A(y) = 4−6x−6y02x+2y040−18x−18y04+6x+6y = 2·2−3(x+y)0x+y020−9(x+y)02+3(x+y) = 2A(x+y).
Răspuns
A(x)·A(y) = 2A(x+y)

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care (A(x)+A(3x))·A(2x) = 4A(x²).

Adunând element cu element: A(x)+A(3x) are pe diagonală 4−12x, 4, 4+12x și în colțuri 4x, −36x, adică este 2A(2x).
Din b): (A(x)+A(3x))·A(2x) = 2A(2x)·A(2x) = 2·2A(4x) = 4A(4x).
Ecuația devine 4A(4x) = 4A(x²); comparând elementul din colțul dreapta-sus, 4x = x², deci x = 0 sau x = 4.
Răspuns
x = 0 sau x = 4

Se consideră polinomul f = aX³+3X²−aX−6, unde a este număr real nenul.

a) (5p) Arătați că f(1) = −3, pentru orice număr real nenul a.

f(1) = a·1³+3·1²−a·1−6 = a+3−a−6 = −3.
Răspuns
f(1) = −3

b) (5p) Pentru a = 1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X²+3X−1.

Pentru a = 1: f = X³+3X²−X−6.
Observăm că X³+3X²−X = X(X²+3X−1), deci f = X·(X²+3X−1)−6.
Cum −6 are gradul mai mic decât g, câtul este X, iar restul este −6.
Răspuns
câtul X, restul −6

c) (5p) Determinați numărul real nenul a pentru care (1+x₁)(1+x₂)(1+x₃) = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

f = a(X−x₁)(X−x₂)(X−x₃), deci f(−1) = a(−1−x₁)(−1−x₂)(−1−x₃) = −a(1+x₁)(1+x₂)(1+x₃).
Prin urmare (1+x₁)(1+x₂)(1+x₃) = −f(−1)a, iar f(−1) = −a+3+a−6 = −3, deci produsul este 3a.
Din 3a = 1 obținem a = 3.
Răspuns
a = 3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x + ln(xx+2).

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(x+1)²x(x+2), x∈(0,+∞).

[ln(xx+2)]' = (x+2x)·(x+2−x(x+2)²) = 2x(x+2).
f'(x) = 2 + 2x(x+2) = 2x²+4x+2x(x+2) = 2(x+1)²x(x+2).
Răspuns
f'(x) = 2(x+1)²x(x+2)

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ (2 + (1x)·ln(xx+2)) = 2, pentru că ln(xx+2) → ln1 = 0.
n = limx→+∞ (f(x)−2x) = limx→+∞ ln(xx+2) = 0.
Asimptota oblică spre +∞ este y = 2x.
Răspuns
y = 2x

c) (5p) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

Din a), f'(x) > 0 pentru orice x∈(0,+∞), deci f este strict crescătoare, adică injectivă.
limx→0, x>0 f(x) = −∞ (fiindcă xx+2 → 0), iar limx→+∞ f(x) = +∞; f fiind continuă, ia toate valorile reale, deci e surjectivă.
Injectivă și surjectivă, f este bijectivă.
Răspuns
f este bijectivă

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x²(x+1)³.

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x)(x+1)³ dx = 9.

f(x)(x+1)³ = x², pentru orice x din domeniu.
∫[0,3] x² dx = x³3 de la 0 la 3 = 273 − 0 = 9.
Răspuns
9

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] √(f(x)(x+1)) dx = 1 − ln2.

f(x)(x+1) = x²(x+1)², iar pentru x ∈ [0,1] radicalul este xx+1.
xx+1 = 1 − 1x+1, deci integrala este [x − ln(x+1)] de la 0 la 1 = (1 − ln2) − (0 − ln1) = 1 − ln2.
Răspuns
1 − ln2

c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(eˣ)eˣ, axa Ox și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 este egală cu e−12(e+1).

g(x) = e²ˣ/(eˣ+1)³eˣ = eˣ(eˣ+1)³ > 0, deci aria este ∫[−1,1] eˣ(eˣ+1)³ dx.
Cum (eˣ+1)' = eˣ, o primitivă este −12(eˣ+1)².
Aria = −12(e+1)² + 12(e⁻¹+1)² = −12(e+1)² + e²2(e+1)² = e²−12(e+1)² = e−12(e+1).
Răspuns
e−12(e+1)