Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (iulie) 2026 (Proba E.c) — 01.07.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 3−i. Arătați că z(z+2i) = 10.

z+2i = (3−i)+2i = 3+i.
z(z+2i) = (3−i)(3+i) = 9−i² = 9+1 = 10.
Răspuns
z(z+2i) = 10

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=3x−4. Determinați numărul real a pentru care f(a)+f(−2a)=a.

f(a) = 3a−4, iar f(−2a) = 3·(−2a)−4 = −6a−4.
f(a)+f(−2a) = 3a−4−6a−4 = −3a−8.
Din −3a−8=a obținem −8=4a, deci a=−2.
Răspuns
a = −2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x²+7) = 2√(x+1).

Condiție de existență: x+1≥0, adică x≥−1 (x²+7>0 mereu).
Ridicând la pătrat: x²+7 = 4(x+1) = 4x+4, deci x²−4x+3=0.
Soluțiile sunt x=1 și x=3, ambele ≥−1; se verifică în ecuația inițială.
Răspuns
x = 1 sau x = 3

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {1,2,3,5,7}. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii A au exact trei elemente și conțin numărul 5.

O submulțime cu 3 elemente care conține 5 se obține alegând încă 2 elemente dintre celelalte 4 din A.
Numărul acestor submulțimi este C(4,2) = 6.
Răspuns
6 submulțimi

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,6), B(4,1) și C(5,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care dreptele OA și BC sunt paralele.

Panta dreptei OA: m_OA = 63 = 2.
Panta dreptei BC: m_BC = a−15−4 = a−1.
Din OA∥BC obținem m_OA=m_BC, deci a−1=2, adică a=3.
Răspuns
a = 3

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = (1+tg²x)·sin(x2)+cos(3x), unde x∈(0,π2). Arătați că E(π3)=1.

tg(π3)=√3, deci 1+tg²(π3)=1+3=4.
sin(π6)=12, iar cos(3·π3)=cos(π)=−1.
E(π3) = 4·(12) + (−1) = 2−1 = 1.
Răspuns
E(π3) = 1

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1aaa3a021 și sistemul de ecuații liniare x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 111131021.
Prin regula lui Sarrus: det(A(1)) = 111131021 = 3+2+0−0−2−1 = 2.
Răspuns
det(A(1)) = 2

b) (5p) Arătați că, pentru orice număr real a, sistemul de ecuații are soluție unică.

det(A(a)) = a²−2a+3, pentru orice număr real a (dezvoltând determinantul după prima linie).
a²−2a+3 = (a−1)²+2 ≥ 2 > 0, pentru orice a real, deci det(A(a))≠0.
Cum determinantul sistemului este nenul pentru orice a, sistemul are soluție unică, oricare ar fi a real.
Răspuns
Sistemul are soluție unică pentru orice a real.

c) (5p) Determinați numărul natural nenul a pentru care sistemul de ecuații are soluția (x₀,y₀,z₀), cu z₀=nx₀, unde n este număr natural.

Din a treia ecuație, z=−2y. Înlocuind în primele două: x−ay=1 și ax+(3−2a)y=0.
Rezolvând sistemul obținem x₀=3−2aa²−2a+3, y₀=−aa²−2a+3, z₀=2aa²−2a+3.
Raportul z₀x₀ = 2a3−2a trebuie să fie număr natural n; pentru a natural nenul, singura valoare care face 3−2a>0 (necesar ca n să fie pozitiv) este a=1.
Pentru a=1: n = 2·13−2 = 2, care este într-adevăr număr natural.
Răspuns
a = 1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (23)(x−3)(y−3)+3.

a) (5p) Arătați că 0∗2 = 5.

0∗2 = (23)(0−3)(2−3)+3 = (23)(−3)(−1)+3 = 2+3 = 5.
Răspuns
0∗2 = 5

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗(3x2) = 5x.

x∗(3x2) = (23)(x−3)(3x2−3)+3 = (23)·(32)·(x−3)(x−2)+3 = (x−3)(x−2)+3 = x²−5x+9, pentru orice x real.
Din x²−5x+9=5x obținem x²−10x+9=0, deci x=1 sau x=9.
Răspuns
x = 1 sau x = 9

c) (5p) Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care m∗m∗n = −1.

m∗m = (23)(m−3)²+3, deci (m∗m)∗n = (49)(m−3)²(n−3)+3, pentru orice numere naturale m și n (legea fiind asociativă).
Din (49)(m−3)²(n−3)+3=−1 obținem (m−3)²(n−3) = −9.
Cum (m−3)²≥0, avem nevoie de n<3; testând n∈{0,1,2}, doar n=2 dă (m−3)²=9 (pătrat perfect), deci m=0 sau m=6.
Răspuns
(m,n) ∈ {(0,2), (6,2)}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³−4xx²+5.

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x²−1)(x²+20)(x²+5)², x∈R.

f'(x) = (3x²−4)(x²+5) − (x³−4x)·2x(x²+5)².
Numărătorul: 3x⁴+15x²−4x²−20 − 2x⁴+8x² = x⁴+19x²−20 = (x²−1)(x²+20).
Răspuns
f'(x) = (x²−1)(x²+20)(x²+5)²

b) (5p) Arătați că dreapta de ecuație y=x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ x²−4x²+5 = 1.
n = limx→+∞ [f(x)−x] = limx→+∞ −9xx²+5 = 0.
Deci asimptota oblică spre +∞ este y=1·x+0=x.
Răspuns
y = x

c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x)=m are exact trei soluții.

f'(x)=0 ⇔ x=−1 sau x=1; f este crescătoare pe (−∞,−1], descrescătoare pe [−1,1] și crescătoare pe [1,+∞).
f(−1)=12 (maxim local), f(1)=−12 (minim local), iar limx→−∞f(x)=−∞, limx→+∞f(x)=+∞.
Ecuația f(x)=m are exact trei soluții dacă și numai dacă m∈(−12, 12).
Răspuns
m ∈ (−12, 12)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = x²−4x·ln x.

a) (5p) Arătați că ∫[2,3] f(x)·x·ln(x) dx = 73.

f(x)·x·ln x = (x²−4), pentru orice x din domeniu.
∫[2,3] (x²−4) dx = [x³3−4x] de la 2 la 3 = (9−12)−(83−8) = −3+163 = 73.
Răspuns
73

b) (5p) Arătați că ∫[e,e²] f(x)x²−4 dx = ln2.

f(x)x²−4 = 1x·ln x, pentru orice x din domeniu.
O primitivă a lui 1x·ln x este ln(ln x) (deoarece [ln(ln x)]'=1x·ln x).
∫[e,e²] 1x·ln x dx = ln(ln(e²)) − ln(ln e) = ln2 − ln1 = ln2.
Răspuns
ln2

c) (5p) Arătați că limx→2 [1F²(x)]·∫[2,x] (t−2)F(t) dt = ln24, unde F:(1,+∞)→R este primitiva funcției f pentru care F(2)=0.

Limita e de forma 00 (F(2)=0); aplicăm regula lui l'Hôpital, derivând numărătorul și numitorul în raport cu x.
Derivata numărătorului este (x−2)F(x); derivata numitorului F²(x) este 2F(x)f(x), deci raportul devine x−22f(x).
Cum f(x) = (x−2)(x+2)x·ln x, raportul x−22f(x) se simplifică la x·ln x2(x+2), deci limita este 2·ln22·4 = ln24.
Răspuns
ln24