Acasă / Subiecte oficiale / 2026 / Rezolvare M1 mate-info

Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (august) 2026 (Proba E.c) — 11.08.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul b₃ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥1, în care b₁=2 și b₂=10.
  • Rația progresiei este q = b₂b₁ = 102 = 5.
  • b₃ = b₁·q² = 2·5² = 2·25 = 50.

  • Răspuns

    b₃ = 50

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x)=x−5, și g:R→R, g(x)=ax−1, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care (f∘g)(2)=2.
  • g(2) = 2a − 1.
  • (f∘g)(2) = f(g(2)) = f(2a−1) = (2a−1) − 5 = 2a − 6.
  • Din (f∘g)(2) = 2 obținem 2a − 6 = 2, deci 2a = 8, adică a = 4.

  • Răspuns

    a = 4

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₈x + log₈(8−x) = log₈(6+x).
  • Condiții de existență: x>0 și 8−x>0 și 6+x>0, adică x∈(0,8).
  • log₈[x(8−x)] = log₈(6+x), deci x(8−x) = 6+x, adică 8x−x² = 6+x.
  • Obținem x² − 7x + 6 = 0, cu soluțiile x=1 și x=6.
  • Ambele verifică x∈(0,8), deci ambele convin.

  • Răspuns

    x = 1 sau x = 6

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2, 4, 6, 8}.
  • Pentru ca numărul să fie par, cifra unităților trebuie să fie un element par al lui A; dintre {1,2,4,6,8}, elementele pare sunt 2,4,6,8; deci cifra unităților se poate alege în 4 moduri.
  • Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5 cifre din A, deci se poate alege în 5 moduri.
  • În total se pot forma 4·5 = 20 de numere.

  • Răspuns

    20 de numere

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(2,2) și C(4,6). Determinați ecuația dreptei d ce trece prin punctul B și este paralelă cu dreapta AC.
  • Panta dreptei AC: mAC = 6−34−1 = 33 = 1.
  • Cum d ∥ AC, panta dreptei d este tot md = 1.
  • Ecuația dreptei d prin punctul B(2,2) cu panta 1: y − 2 = 1·(x−2), adică y = x.

  • Răspuns

    y = x

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = 3tg(x3) + sin x − 2sin(2x3), unde x∈(0, 3π2). Arătați că E(π2) = 1.
  • tg(π6) = √33, sin(π2) = 1, sin(π3) = √32.
  • E(π2) = 3·(√33) + 1 − 2·(√32) = √3 + 1 − √3 = 1.

  • Răspuns

    E(π2) = 1

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1a−2a2−1−a1−a0 și sistemul de ecuații liniare x+ay−2az=−12x−y−az=ax−ay=a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 4.
  • A(2) = 12−42−1−21−20.
  • Prin regula lui Sarrus: det(A(2)) = 12−42−1−21−20 = 1·(−1)·0 + 2·(−2)·1 + (−4)·2·(−2) − (−4)·(−1)·1 − 1·(−2)·(−2) − 2·2·0 = 0 − 4 + 16 − 4 − 4 − 0 = 4.

  • Răspuns

    det(A(2)) = 4

b) (5p) Pentru a=1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
  • Pentru a=1, sistemul devine x+y−2z=−12x−y−z=1x−y=1.
  • Determinantul 112−1 = 1·(−1)−1·2 = −3 ≠ 0, deci rangul matricei sistemului este 2.
  • Determinantul caracteristic 11−12−111−11 = 0.
  • Cum rangul matricei sistemului (2) este egal cu rangul matricei extinse și e mai mic decât numărul de necunoscute (3), sistemul este compatibil nedeterminat: are o infinitate de soluții.

  • Răspuns

    Sistemul are o infinitate de soluții pentru a=1.

c) (5p) Arătați că, pentru orice a∈R\{0,1}, sistemul de ecuații are soluție unică (x₀,y₀,z₀) și 4x₀z₀=1.
  • det(A(a)) = 2a² − 2a = 2a(a−1).
  • Pentru a∈R\{0,1}, avem a≠0 și a≠1, deci det(A(a)) ≠ 0, adică sistemul are soluție unică.
  • Rezolvând sistemul (de exemplu prin regula lui Cramer), obținem x₀ = a2 și z₀ = 12a.
  • 4x₀z₀ = 4·(a2)·(12a) = 4·(14) = 1, pentru orice a∈R\{0,1}.

  • Răspuns

    4x₀z₀ = 1

Se consideră polinomul f = X³+X²+aX+8, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că f(0)=8, pentru orice număr real a.
  • f(0) = 0³+0²+a·0+8 = 8, pentru orice număr real a.

  • Răspuns

    f(0)=8

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g=X+2.
  • f este divizibil cu X+2 ⇔ f(−2)=0 (teorema lui Bézout).
  • f(−2) = (−2)³+(−2)²+a·(−2)+8 = −8+4−2a+8 = 4−2a.
  • Din 4−2a=0 obținem a=2.

  • Răspuns

    a=2

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului f este egal cu 2.
  • Din relațiile lui Viète pentru f=X³+X²+aX+8: x1+x2+x3=−1 și x1x2x3=−8.
  • Presupunem x2=2x1 (raportul cerut). Din suma rădăcinilor: 3x1+x3=−1, deci x3=−1−3x1.
  • Din produsul rădăcinilor: x1·(2x1)·x3=−8, adică x1²·x3=−4; înlocuind x3 obținem 3x1³+x1²−4=0.
  • Factorizăm: (x1−1)(3x1²+4x1+4)=0. Cum 3x1²+4x1+4 are discriminant negativ (16−48=−32<0), nu are soluții reale, deci x1=1 (singura soluție reală).
  • Atunci x1=1 este rădăcină a lui f: f(1)=1+1+a+8=10+a=0, deci a=−10.

  • Răspuns

    a=−10

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x²−4x−3−(2x−3)e2x.

a) (5p) Arătați că f'(x)=4(x−1)(1−e2x), x∈R.
  • f'(x) = 4x−4−2e2x−(2x−3)·2e2x = 4x−4−2e2x−(4x−6)e2x.
  • = 4x−4 − e2x·(4x−4) = 4(x−1) − 4(x−1)e2x = 4(x−1)(1−e2x).

  • Răspuns

    f'(x)=4(x−1)(1−e2x)

b) (5p) Arătați că limx→0 f(x)x² = 4.
  • f(0)=2·0−4·0−3−(0−3)·e⁰=−3+3=0, deci limita este de forma 00; aplicăm regula lui l'Hôpital.
  • limx→0 f(x)x² = limx→0 f'(x)2x = limx→0 4(x−1)(1−e2x)2x = 4·limx→0(x−1)·limx→0 1−e2x2x.
  • limx→0 1−e2x2x = −1 (limită remarcabilă eu−1u→1, cu u=2x), iar limx→0(x−1)=−1.
  • Deci limx→0 f(x)x² = 4·(−1)·(−1) = 4.

  • Răspuns

    4

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x)+n=0 are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n.
  • f'(x)=0 ⇔ x=0 sau x=1.
  • Pentru x∈(−∞,0], f'(x)≤0, deci f e descrescătoare pe (−∞,0]; pe [0,1], f'(x)≥0, deci f e crescătoare; pe (1,+∞), f'(x)<0, deci f e strict descrescătoare.
  • Cum f(0)=0 și limx→+∞ f(x)=−∞, iar f este continuă, ecuația f(x)=−n are exact o soluție pentru orice număr natural nenul n.

  • Răspuns

    Ecuația are soluție unică pentru orice n∈N*.

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x−2√(x²−4x+5).

a) (5p) Arătați că ∫[2,4] f(x)·√(x²−4x+5) dx = 2.
  • f(x)·√(x²−4x+5) = [x−2√(x²−4x+5)]·√(x²−4x+5) = x−2.
  • ∫[2,4] (x−2) dx = [(x−2)²2] de la 2 la 4 = 4−02 − 0 = 2.

  • Răspuns

    2

b) (5p) Arătați că ∫[1,3] f(x) dx = 0.
  • Observăm că (x²−4x+5)' = 2x−4 = 2(x−2), deci f(x) este exact derivata lui √(x²−4x+5).
  • O primitivă a lui f este F(x)=√(x²−4x+5).
  • ∫[1,3] f(x)dx = F(3)−F(1) = √(9−12+5) − √(1−4+5) = √2 − √2 = 0.

  • Răspuns

    0

c) (5p) Determinați numărul real nenul m pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→R, g(x)=f(x), în jurul axei Ox, este egal cu π(1−πm).
  • V = π∫[2,3] f²(x)dx = π∫[2,3] (x−2)²x²−4x+5 dx.
  • Scriem (x−2)² = (x²−4x+5)−1, deci integrandul devine 1 − 1(x−2)²+1.
  • ∫[2,3] [1 − 1(x−2)²+1] dx = [x − arctg(x−2)] de la 2 la 3 = (3−arctg 1) − (2−arctg 0) = 1 − π4.
  • Deci V = π(1−π4). Din π(1−π4) = π(1−πm) obținem m=4.

  • Răspuns

    m=4

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →