Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (august) 2026 (Proba E.c) — 11.08.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z1=2−3i și z2=1−2i. Arătați că iz1+z2=4.

iz1 = i(2−3i) = 2i−3i² = 2i+3 = 3+2i (deoarece i²=−1).
iz1+z2 = (3+2i)+(1−2i) = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=x+3. Determinați numărul real a pentru care f(a+2)=a+f(a).

f(a+2) = a+2+3 = a+5.
f(a) = a+3, deci a+f(a) = a+(a+3) = 2a+3.
Din a+5 = 2a+3 obținem a=2.
Răspuns
a=2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x) = √(x²−x+2).

Condiții: 2x≥0 și x²−x+2≥0 (mereu adevărat, discriminant negativ); deci x≥0.
Ridicând la pătrat: 2x = x²−x+2, adică x²−3x+2=0.
Soluțiile sunt x=1 și x=2, ambele ≥0, deci ambele convin.
Răspuns
x=1 sau x=2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n²>100.

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este {0,1,...,9}, cu 10 elemente, adică 10 cazuri posibile.
3n²>100 ⇔ n²>1003≈33,3, adevărat pentru n∈{6,7,8,9}, adică 4 cazuri favorabile.
P = 410 = 25.
Răspuns
25

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,0), B(8,2) și C(1,9). Determinați distanța dintre punctul C și mijlocul segmentului AB.

Mijlocul M al segmentului AB: M(6+82, 0+22) = M(7,1).
CM = √[(7−1)²+(1−9)²] = √(36+64) = √100 = 10.
Răspuns
10

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, cu AC=9 și m(∢B)=π3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 3√3.

Teorema sinusurilor: ACsin(B) = 2R.
sin(π3)=√32, deci 2R = 9 : (√32) = 18√3 = 6√3, adică R=3√3.
Răspuns
R=3√3

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x,y) = x+yxy4x+y, unde x și y sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(1,2))=1.

A(1,2) = 3243.
det(A(1,2)) = 3243 = 3·3−2·4 = 9−8=1.
Răspuns
1

b) (5p) Arătați că matricea A(x,y) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte x și y.

det(A(x,y)) = (x+y)²−4xy = x²+2xy+y²−4xy = (x−y)².
Cum x≠y, avem (x−y)²>0, deci det(A(x,y))≠0, adică A(x,y) e inversabilă.
Răspuns
A(x,y) e inversabilă pentru x≠y

c) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(x,2)·A(x,2) = 4A(y,0).

A(x,2) = x+22x4x+2.
A(x,2)·A(x,2) = x²+12x+44x²+8x8x+16x²+12x+4 (înmulțind matricele direct).
4A(y,0) = 4y0164y.
Egalând elementele: din 4x²+8x=0 obținem x=0 sau x=−2; din 8x+16=16 obținem x=0; deci x=0.
Înlocuind x=0 în elementul (1,1): 4=4y, deci y=1.
Răspuns
x=0, y=1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = 5 − x+y2 + xy.

a) (5p) Arătați că 1∗3=6.

1∗3 = 5 − 1+32 + 1·3 = 5−2+3=6.
Răspuns
6

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗5=2x.

x∗5 = 5 − x+52 + 5x = 9x+52, pentru orice x real.
Din 9x+52 = 2x obținem 9x+5=4x, deci 5x=−5, adică x=−1.
Răspuns
x=−1

c) (5p) Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care (m−n)∗(m+n)=m².

(m−n)∗(m+n) = 5 − m + [(m−n)(m+n)] = 5−m+m²−n².
Egalând cu m²: 5−m−n²=0, adică m+n²=5.
Cum m,n sunt naturale: n=0→m=5; n=1→m=4; n=2→m=1 (n≥3 ar da m negativ, imposibil).
Răspuns
(m,n) ∈ {(5,0), (4,1), (1,2)}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²+8x−2x²+2.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 8(x+1)(2−x)(x²+2)², x∈R.

f'(x) = (2x+8)(x²+2) − (x²+8x−2)·2x(x²+2)².
Numărătorul: (2x+8)(x²+2) − 2x(x²+8x−2) = 2x³+4x+8x²+16 − 2x³−16x²+4x = −8x²+8x+16.
Factorizăm: −8x²+8x+16 = 8(−x²+x+2) = 8(x+1)(2−x).
Răspuns
f'(x)=8(x+1)(2−x)(x²+2)²

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ f(x) = limx→+∞ 1+8/x−2/x²1+2/x² = 1.
Răspuns
y=1

c) (5p) Demonstrați că −2≤f(x)−f(y)≤2, pentru orice x,y∈[−4,0].

f'(x)=0 ⇔ x=−1 sau x=2. Pe [−4,−1], f'(x)≤0 (f descrescătoare); pe [−1,0], f'(x)≥0 (f crescătoare).
f(−4)=16−32−216+2=−1; f(−1)=1−8−21+2=−3; f(0)=0+0−20+2=−1.
Deci pentru orice x,y∈[−4,0], −3≤f(x)≤−1 și −3≤f(y)≤−1, de unde −2≤f(x)−f(y)≤2.
Răspuns
Inegalitatea e verificată: f ia valori în [−3,−1] pe [−4,0].

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x)=5x²−3+ln x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] (f(x)−ln x) dx = 263.

f(x)−ln x = 5x²−3.
∫[1,2] (5x²−3) dx = [5x³3 − 3x] de la 1 la 2 = (403−6) − (53−3) = 263.
Răspuns
263

b) (5p) Arătați că ∫[1,e] (1x)·(f(x)−5x²+3) dx = 12.

f(x)−5x²+3 = ln x, deci integrandul este ln xx.
O primitivă a lui ln xx este (ln x)²2.
∫[1,e] ln xx dx = [(ln x)²2] de la 1 la e = 12 − 0 = 12.
Răspuns
12

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x)=f(x)+3√x, axa Ox și dreptele x=1 și x=4, este egală cu 58+m·ln2.

g(x) = 5x²+ln x√x = 5x³² + (ln x)·x⁻¹², pozitivă pe [1,4], deci aria este exact integrala.
∫5x³²dx = 2x²√x. Pentru ∫(ln x)·x⁻¹²dx, integrăm prin părți (u=ln x, dv=x⁻¹²dx): obținem 2√x·ln x − 4√x.
O primitivă completă este G(x) = 2x²√x + 2√x·ln x − 4√x.
Aria = G(4) − G(1) = (56+8ln2) − (−2) = 58+8ln2.
Din 58+8ln2 = 58+m·ln2 obținem m=8.
Răspuns
m=8