Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (august) 2024 (Proba E.c) — 20.08.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2 − 5i + i(5 − 3i) = 5, unde i² = −1.

2 − 5i + 5i − 3i² = 2 + 3 = 5.
Răspuns
5

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 6x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f(2) = 15.

f(2) = 12 + m = 15, deci m = 3.
Răspuns
m = 3

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7²ˣ⁺¹ = 7ˣ·7².

7ˣ·7² = 7ˣ⁺², deci 2x + 1 = x + 2 și x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1.

Sunt 90 de numere de două cifre (10, …, 99).
Cu cifra zecilor 1: 10, …, 19 (10 numere); cu cifra unităților 1 și cifra zecilor diferită de 1: 21, 31, …, 91 (8 numere). În total 18.
p = 1890 = 15.
Răspuns
p = 15

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5) și B(4,2). Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului OB.

Mijlocul lui OB este M(2, 1).
AM = √(0² + (5 − 1)²) = 4.
Răspuns
4

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 5 și BC = 5√5. Arătați că sinC = √55.

sinC = ABBC = 55√5 = 1√5 = √55.
Răspuns
sinC = √55

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 2−110 și B(x) = xx−33−xx−4, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că detA = 1.

detA = 2−110 = 2·0 − (−1)·1 = 1.
Răspuns
1

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care B(4)·B(4) + I₂ = aB(4).

B(4) = 41−10, B(4)·B(4) = 154−4−1.
B(4)·B(4) + I₂ = 164−40 = 4B(4), deci a = 4.
Răspuns
a = 4

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care A·B(x) = B(x)·A.

A·B(x) = 3x−3x−2xx−3 și B(x)·A = 3x−3−x−x+2x−3.
Egalând elementele: x − 2 = −x și x = 2 − x, ambele dau x = 1.
Răspuns
x = 1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = (x + y)(4 − x − y).

a) (5p) Arătați că 0∗3 = 3.

0∗3 = 3·(4 − 3) = 3.
Răspuns
3

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗1 = 0.

x∗1 = (x + 1)(3 − x).
(x + 1)(3 − x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 3.
Răspuns
x = −1 sau x = 3

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care numărul N = (n + 5)∗(n − 5) este natural.

N = (2n)(4 − 2n) = 4n(2 − n).
Pentru n ≥ 3, N < 0; pentru n = 0, 1, 2 obținem N = 0, 4, 0, toate naturale. Deci n ∈ {0, 1, 2}.
Răspuns
n ∈ {0, 1, 2}

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x² − x − 2ln(x + 1).

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2x² + x − 3x + 1, x∈(−1,+∞).

f'(x) = 2x − 1 − 2x + 1.
La numitor comun: (2x − 1)(x + 1) − 2x + 1 = 2x² + x − 3x + 1.
Răspuns
f'(x) = 2x² + x − 3x + 1

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 0 − 0 − 2ln1 = 0 și f'(0) = −3.
Tangenta: y − 0 = −3(x − 0), adică y = −3x.
Răspuns
y = −3x

c) (5p) Arătați că x² − x ≥ 2ln(x + 12), pentru orice x∈(−1,+∞).

2x² + x − 3 = (x − 1)(2x + 3), iar pe (−1, +∞) avem 2x + 3 > 0 și x + 1 > 0, deci semnul lui f' e semnul lui x − 1: f scade pe (−1, 1] și crește pe [1, +∞).
Minimul lui f este f(1) = 1 − 1 − 2ln2 = −2ln2, deci f(x) ≥ −2ln2.
Adică x² − x ≥ 2ln(x + 1) − 2ln2 = 2ln(x + 12).
Răspuns
x² − x ≥ 2ln(x + 12)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 3x + 1.

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] (f(x) − 3x) dx = 12.

f(x) − 3x = x² + 1.
∫[0,3] (x² + 1) dx = [x³3 + x] de la 0 la 3 = 9 + 3 = 12.
Răspuns
12

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] 1(f(x) − x²)² dx = 14.

f(x) − x² = 3x + 1, deci integrala e ∫[0,1] 1(3x + 1)² dx.
O primitivă este −13(3x + 1), deci valoarea e −112 + 13 = 14.
Răspuns
14

c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R, g(x) = f(x) − x² − 1eˣ, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 este egală cu 3(1 − 2e).

g(x) = 3x·e⁻ˣ ≥ 0 pe [0, 1], deci aria este ∫[0,1] 3x·e⁻ˣ dx.
Prin părți: ∫ x·e⁻ˣ dx = −x·e⁻ˣ − e⁻ˣ = −(x + 1)e⁻ˣ.
Aria = 3[−(x + 1)e⁻ˣ] de la 0 la 1 = 3(−2e + 1) = 3(1 − 2e).
Răspuns
3(1 − 2e)