Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (iulie) 2024 (Proba E.c) — 02.07.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₂ = 8 și a₃ = 12.

Rația este r = a₃ − a₂ = 4.
a₁ = a₂ − r = 8 − 4 = 4.
Răspuns
a₁ = 4

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 2. Determinați numărul real m pentru care f(m) = m.

Din 3m − 2 = m obținem 2m = 2, deci m = 1.
Răspuns
m = 1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₆(9 − x²) = log₆5.

Logaritmul e injectiv: 9 − x² = 5, deci x² = 4.
x = −2 sau x = 2; pentru ambele 9 − x² = 5 > 0, deci convin.
Răspuns
x = −2 sau x = 2

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {0, 1, 2, …, 9}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A, numărul √(2n + 1) să aparțină mulțimii A.

A are 10 elemente, deci 10 cazuri posibile.
√(2n + 1) ∈ A cere ca 2n + 1 să fie pătratul unui număr din A; 2n + 1 e impar și cel mult 19, deci 2n + 1 ∈ {1, 9}: n = 0 sau n = 4.
p = 210 = 15.
Răspuns
p = 15

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0), B(4,4) și C(5,2). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în C.

Panta lui AC: 2 − 05 − 1 = 12; panta lui BC: 2 − 45 − 4 = −2.
Produsul pantelor este (12)·(−2) = −1, deci AC ⊥ BC și triunghiul e dreptunghic în C.
Răspuns
AC ⊥ BC

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = 2sin x·cos(x2) + (sin(3x4))². Arătați că E(π3) = 2.

sin(π3) = √32, cos(π6) = √32 și sin(π4) = √22.
E(π3) = 2·(√32)·(√32) + (√22)² = 32 + 12 = 2.
Răspuns
E(π3) = 2

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1004 și B(a) = aa+1a−34a−1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(B(1)) = 7.

B(1) = 12−23, deci det(B(1)) = 12−23 = 3 + 4 = 7.
Răspuns
7

b) (5p) Arătați că B(2) − B(0)·B(1) = 4A.

B(0) = 01−3−1, deci B(0)·B(1) = −23−1−9.
B(2) = 23−17, iar B(2) − B(0)·B(1) = 40016 = 4A.
Răspuns
B(2) − B(0)·B(1) = 4A

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care matricea C(a) = B(a) − aA nu este inversabilă.

C(a) = 0a+1a−3−1, cu determinantul −(a + 1)(a − 3).
Matricea nu e inversabilă când determinantul e 0: a = −1 sau a = 3.
Răspuns
a = −1 sau a = 3

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy − 2x − 3y + 6.

a) (5p) Arătați că 2∗2 = 0.

2∗2 = 4 − 4 − 6 + 6 = 0.
Răspuns
0

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∗6 = x.

x∗6 = 6x − 2x − 18 + 6 = 4x − 12.
Din 4x − 12 = x obținem x = 4.
Răspuns
x = 4

c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x∗(2∗x) ≥ 2.

2∗x = 2x − 4 − 3x + 6 = 2 − x.
x∗(2 − x) = x(2 − x) − 2x − 3(2 − x) + 6 = −x² + 3x.
−x² + 3x ≥ 2 ⇔ x² − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≤ 0 ⇔ x ∈ [1, 2].
Răspuns
x ∈ [1, 2]

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2xx² + x + 4.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(4 − x²)(x² + x + 4)², x∈R.

f'(x) = 2(x² + x + 4) − 2x(2x + 1)(x² + x + 4)².
Numărătorul: 2x² + 2x + 8 − 4x² − 2x = 8 − 2x² = 2(4 − x²).
Răspuns
f'(x) = 2(4 − x²)(x² + x + 4)²

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 2xx² + x + 4 = 0 (gradul numitorului e mai mare).
Asimptota orizontală spre +∞ este dreapta y = 0.
Răspuns
y = 0

c) (5p) Arătați că f(x) − f(4 − x) ≤ 1, pentru orice x∈[4, +∞).

f'(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 2: f scade pe (−∞, −2], crește pe [−2, 2] și scade pe [2, +∞).
Pentru x ≥ 4: f scade pe [4, +∞), deci f(x) ≤ f(4) = 824 = 13.
4 − x ∈ (−∞, 0], iar pe acest interval minimul lui f e f(−2) = −46 = −23, deci f(4 − x) ≥ −23.
f(x) − f(4 − x) ≤ 13 + 23 = 1.
Răspuns
f(x) − f(4 − x) ≤ 1

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x + 3x + 1.

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (x + 1)f(x) dx = 8.

(x + 1)f(x) = x + 3.
∫[0,2] (x + 3) dx = [x²2 + 3x] de la 0 la 2 = 2 + 6 = 8.
Răspuns
8

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x) dx = 1 + 2ln2.

f(x) = 1 + 2x + 1, cu primitiva x + 2ln(x + 1).
Valoarea: (1 + 2ln2) − (0 + 0) = 1 + 2ln2.
Răspuns
1 + 2ln2

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care ∫[1,2] (x² − 1)eˣ·f(x) dx = e(e + a).

(x² − 1)f(x) = (x − 1)(x + 3) = x² + 2x − 3, deci integrala e ∫[1,2] (x² + 2x − 3)eˣ dx.
((x² − 3)eˣ)' = 2x·eˣ + (x² − 3)eˣ = (x² + 2x − 3)eˣ, deci primitiva e (x² − 3)eˣ.
Valoarea: e² − (−2e) = e² + 2e = e(e + 2), deci a = 2.
Răspuns
a = 2