Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august), pas cu pas

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₂ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 5 și a₃ = 35.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen e media aritmetică a vecinilor: a₂ = a₁+a₃2 = 5+352 = 20.
Răspuns
a₂ = 20

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x+3. Determinați numărul real m pentru care f(m) = f(0)·f(1).

f(0) = 3, f(1) = 5 și f(m) = 2m+3.
Din 2m+3 = 3·5 = 15 obținem m = 6.
Răspuns
m = 6

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x²−4) = ∛(3x−6).

Radicalul de ordin 3 e definit pe tot R și e injectiv, deci x²−4 = 3x−6.
x²−3x+2 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 2.
Răspuns
x = 1 sau x = 2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n² < 100.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
3n² < 100 ⇔ n² < 33,(3), deci n ∈ {0,1,2,3,4,5}: 6 cazuri favorabile.
p = 610 = 35.
Răspuns
p = 35

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(2,5) și C, astfel încât B este mijlocul segmentului AC. Determinați coordonatele punctului C.

Din 0+x_C2 = 2 obținem x_C = 4, iar din 2+y_C2 = 5 obținem y_C = 8.
Răspuns
C(4,8)

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = AC și aria egală cu 18. Arătați că BC = 6√2.

Aria = AB·AC2 = AB²2 = 18, deci AB = AC = 6.
BC² = 36+36 = 72, deci BC = 6√2.
Răspuns
BC = 6√2

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1−x3x−x1+4x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 3.

A(2) = −16−29, deci det(A(2)) = −16−29 = (−1)·9 − 6·(−2) = −9+12 = 3.
Răspuns
3

b) (5p) Arătați că xA(y) − A(xy) = (x−1)I₂, pentru orice numere reale x și y.

xA(y) = x−xy3xy−xyx+4xy și A(xy) = 1−xy3xy−xy1+4xy.
Diferența este x−100x−1 = (x−1)I₂.
Răspuns
xA(y) − A(xy) = (x−1)I₂

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A(1)·A(x−1) = xA(x).

A(1) = 03−15, A(x−1) = 2−x3x−31−x4x−3, iar produsul este 3−3x12x−93−4x17x−12.
xA(x) = x−x²3x²−x²x+4x².
Egalând elementele: 3−3x = x−x² dă x²−4x+3 = 0, iar celelalte trei egalități duc la aceeași ecuație; deci x = 1 sau x = 3.
Răspuns
x = 1 sau x = 3

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = (14)(x+1)(y+1) − 1.

a) (5p) Arătați că 1∘5 = 2.

1∘5 = (14)·2·6 − 1 = 3 − 1 = 2.
Răspuns
1∘5 = 2

b) (5p) Arătați că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x∘3 = (14)(x+1)·4 − 1 = x+1−1 = x, pentru orice x real.
3∘x = (14)·4·(x+1) − 1 = x, pentru orice x real, deci e = 3 este elementul neutru.
Răspuns
e = 3

c) (5p) Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m ≤ n, pentru care m∘n = 3.

(14)(m+1)(n+1) − 1 = 3 ⇔ (m+1)(n+1) = 16.
Cu m+1 ≤ n+1 numere naturale nenule: 1·16, 2·8 sau 4·4, deci (m,n) ∈ {(0,15), (1,7), (3,3)}.
Răspuns
(0,15), (1,7), (3,3)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x²−3x−1+ln x.

a) (5p) Arătați că f'(x) = (2x−1)(x−1)x, x∈(0,+∞).

f'(x) = 2x − 3 + 1x = 2x²−3x+1x.
2x²−3x+1 = (2x−1)(x−1), deci f'(x) = (2x−1)(x−1)x.
Răspuns
f'(x) = (2x−1)(x−1)x

b) (5p) Arătați că limx→1 f(x)+3xln x = 3.

f(x)+3x = x²−1+ln x, iar pentru x → 1 numărătorul și numitorul tind la 0.
Cu regula lui l'Hôpital: limx→1 2x + 1/x1/x = 2+11 = 3.
Răspuns
3

c) (5p) Demonstrați că f(x)+f(y) ≤ −214, pentru orice x∈(0,1] și orice y∈[1,2].

f'(x) = 0 ⇔ x = 12 sau x = 1; f crește pe (0,12], scade pe [12,1] și crește pe [1,2].
Pentru x ∈ (0,1]: f(x) ≤ f(12) = 14 − 32 − 1 + ln(12) = −94 − ln2.
Pentru y ∈ [1,2]: f(y) ≤ f(2) = 4 − 6 − 1 + ln2 = −3 + ln2.
Adunând: f(x)+f(y) ≤ −94 − 3 = −214.
Răspuns
f(x)+f(y) ≤ −214

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x−1√x.

a) (5p) Arătați că ∫[2,4] f(x)·√x dx = 4.

f(x)·√x = x−1.
∫[2,4] (x−1) dx = [x²2 − x] de la 2 la 4 = (8−4) − (2−2) = 4.
Răspuns
4

b) (5p) Arătați că ∫[1,4] f(x) dx = 83.

f(x) = √x − 1√x, cu primitiva 2x√x3 − 2√x.
Valoarea: (163 − 4) − (23 − 2) = 143 − 2 = 83.
Răspuns
83

c) (5p) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[2,3]→R, g(x) = √2f(x), în jurul axei Ox este egal cu π·ln(4e).

g(x) = √2·√xx−1, deci g²(x) = 2x(x−1)² și V = π·∫[2,3] 2x(x−1)² dx.
Scriind x = (x−1)+1: 2x(x−1)² = 2(1x−1 + 1(x−1)²), cu primitiva 2(ln(x−1) − 1x−1).
V = 2π[(ln2 − 12) − (0 − 1)] = 2π(ln2 + 12) = π(ln4 + 1) = π·ln(4e).
Răspuns
V = π·ln(4e)

Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august)