Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (august) 2025 (Proba E.c) — 12.08.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 5·(0,7−0,2)+0,5 = 3.

0,7−0,2 = 0,5, deci 5·0,5+0,5 = 2,5+0,5 = 3.
Răspuns
3

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 6x−2. Determinați numărul real m pentru care f(m) = 10.

Din 6m−2 = 10 obținem 6m = 12, deci m = 2.
Răspuns
m = 2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(16−3x) = 1.

Ridicând la pătrat: 16−3x = 1, deci x = 5.
Verificare: √(16−15) = √1 = 1, deci x = 5 convine.
Răspuns
x = 5

4. (5p) După o scumpire cu 60%, un obiect costă 320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Fie x prețul inițial: x + (60100)·x = 320, adică 1,6x = 320.
x = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,0), B(3,2) și C(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b, știind că punctul B este mijlocul segmentului AC.

Din 3+a2 = 3 obținem a = 3.
Din 0+b2 = 2 obținem b = 4.
Răspuns
a = 3, b = 4

6. (5p) Arătați că 5cos60° − sin30° + 4(sin60°)² = 5.

cos60° = 12, sin30° = 12, sin60° = √32.
5·(12) − 12 + 4·(34) = 52 − 12 + 3 = 2 + 3 = 5.
Răspuns
5

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 2x−x−2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(5)) = 21.

A(5) = 25−5−2, deci det(A(5)) = 25−5−2 = 2·(−2) − 5·(−5) = −4+25 = 21.
Răspuns
21

b) (5p) Arătați că 2A(−1)+A(5) = 3A(1).

2A(−1) = 4−22−4, deci 2A(−1)+A(5) = 63−3−6.
63−3−6 = 3·21−1−2 = 3A(1).
Răspuns
2A(−1)+A(5) = 3A(1)

c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care det(A(x)·A(−x) − x²I₂) ≥ 0.

A(x)·A(−x) = 2x−x−2·2−xx−2 = 4+x²−4x−4x4+x².
Scăzând x²I₂: 4−4x−4x4, cu determinantul 16 − 16x² = 16(1−x²).
16(1−x²) ≥ 0 ⇔ x² ≤ 1 ⇔ x ∈ [−1, 1].
Răspuns
x ∈ [−1, 1]

Se consideră polinomul f = X³+mX²−X−m, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1) = 0, pentru orice număr real m.

f(1) = 1+m−1−m = 0.
Răspuns
f(1) = 0

b) (5p) Pentru m = −3, arătați că 3 este rădăcină a polinomului f.

Pentru m = −3: f = X³−3X²−X+3.
f(3) = 27−27−3+3 = 0, deci 3 este rădăcină.
Răspuns
f(3) = 0

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)² + x₁x₂x₃(x₁+x₂+x₃) = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁+x₂+x₃ = −m, x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = −1 și x₁x₂x₃ = m.
Relația devine (−1)² + m·(−m) = 1, adică 1 − m² = 1, deci m = 0.
Răspuns
m = 0

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x²−1+4x.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4(x³−1)x², x∈(0,+∞).

f'(x) = 4x − 4x² = 4x³−4x².
Deci f'(x) = 4(x³−1)x².
Răspuns
f'(x) = 4(x³−1)x²

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

f(2) = 8−1+2 = 9 și f'(2) = 8 − 1 = 7.
Ecuația tangentei: y − 9 = 7(x − 2), adică y = 7x − 5.
Răspuns
y = 7x − 5

c) (5p) Arătați că 6 ≤ 2x² + 4x ≤ 33, pentru orice x∈[14, 4].

f'(x) = 0 ⇔ x = 1; f scade pe [14, 1] și crește pe [1, 4].
Minimul pe [14, 4] este f(1) = 5; valorile de la capete sunt f(14) = 1218 și f(4) = 32, deci maximul este 32.
Din 5 ≤ f(x) ≤ 32 și f(x) = 2x² + 4x − 1 obținem 6 ≤ 2x² + 4x ≤ 33.
Răspuns
6 ≤ 2x² + 4x ≤ 33

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x−1+2ln x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,3] (f(x) − 2ln x) dx = 2.

f(x) − 2ln x = x−1.
∫[1,3] (x−1) dx = [x²2 − x] de la 1 la 3 = (92 − 3) − (12 − 1) = 32 + 12 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că ∫[1,e] f(x) − x + 1x dx = 1.

f(x) − x + 1x = 2ln xx, iar o primitivă este ln²x.
Valoarea: ln²e − ln²1 = 1 − 0 = 1.
Răspuns
1

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R, g(x) = 3x(f(x)+1), axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 3 este egală cu a + 27ln3.

g(x) = 3x(x + 2ln x) = 3x² + 6x·ln x ≥ 0 pe [1,3], deci aria este ∫[1,3] (3x² + 6x·ln x) dx.
∫[1,3] 3x² dx = 27 − 1 = 26; prin părți, ∫[1,3] 6x·ln x dx = [3x²·ln x − 3x²2] de la 1 la 3 = (27ln3 − 272) − (0 − 32) = 27ln3 − 12.
Aria = 14 + 27ln3, deci a = 14.
Răspuns
a = 14