Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I (iunie) 2025 (Proba E.c) — 11.06.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 110 + 3·(12 − 15) = 1.

12 − 15 = 510 − 210 = 310, deci 3·(310) = 910.
110 + 910 = 1010 = 1.
Răspuns
1

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 6x−3. Determinați numărul real a pentru care f(2) = a+f(0).

f(2) = 9 și f(0) = −3.
Din 9 = a−3 obținem a = 12.
Răspuns
a = 12

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5²ˣ = 5³⁻ˣ.

Puterile cu aceeași bază sunt egale dacă exponenții sunt egali: 2x = 3−x.
3x = 3, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, acesta să verifice inegalitatea 6n > 25.

Mulțimea A are 10 elemente, deci 10 cazuri posibile.
6n > 25 ⇔ n > 256 ≈ 4,17, deci n ∈ {5,6,7,8,9}: 5 cazuri favorabile.
p = 510 = 12.
Răspuns
p = 12

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(2,1) și C(6,4). Determinați numărul real a pentru care BC = a·AB.

AB = √((2−2)²+(1−0)²) = 1.
BC = √((6−2)²+(4−1)²) = √(16+9) = 5.
Din 5 = a·1 obținem a = 5.
Răspuns
a = 5

6. (5p) Se consideră triunghiul MNP, dreptunghic în M, cu MN = 4·MP și MN = 8. Arătați că aria triunghiului MNP este egală cu 8.

Din 8 = 4·MP obținem MP = 2.
Catetele sunt MN și MP, deci aria = MN·MP2 = 8·22 = 8.
Răspuns
Aria = 8

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 5221, B = 533−1 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că detA = 1.

detA = 5221 = 5·1 − 2·2 = 5−4 = 1.
Răspuns
detA = 1

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care 3A−5I₂ = xB.

3A−5I₂ = 15663 − 5005 = 1066−2 = 2B.
Din 2B = xB obținem x = 2.
Răspuns
x = 2

c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care det(A·(B−A)+xI₂) ≤ 2.

B−A = 011−2, iar A·(B−A) = 2110.
A·(B−A)+xI₂ = 2+x11x, cu determinantul (2+x)x − 1 = x²+2x−1.
x²+2x−1 ≤ 2 ⇔ x²+2x−3 ≤ 0 ⇔ (x+3)(x−1) ≤ 0, deci x ∈ [−3, 1].
Răspuns
x ∈ [−3, 1]

Se consideră polinomul f = X³−3X²+X+m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 1, arătați că f(1) = 0.

Pentru m = 1: f(1) = 1−3+1+1 = 0.
Răspuns
f(1) = 0

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care 2x₁+2x₂+2x₃ = 1+x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁+x₂+x₃ = 3 și x₁x₂x₃ = −m.
Ecuația devine 2·3 = 1−m, deci m = −5.
Răspuns
m = −5

c) (5p) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul X−2 este −5, arătați că f este divizibil cu polinomul X²+1.

Restul împărțirii la X−2 este f(2) = 8−12+2+m = m−2, deci m−2 = −5 și m = −3.
f = X³−3X²+X−3 = X²(X−3) + (X−3) = (X−3)(X²+1), deci f este divizibil cu X²+1.
Răspuns
f = (X−3)(X²+1)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x−2eˣ.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3−xeˣ, x∈R.

f'(x) = eˣ − (x−2)eˣ(eˣ)² = eˣ(1−x+2)(eˣ)².
Simplificând cu eˣ: f'(x) = 3−xeˣ.
Răspuns
f'(x) = 3−xeˣ

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = −2 și f'(0) = 3.
Ecuația tangentei: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 3x − 2.
Răspuns
y = 3x − 2

c) (5p) Demonstrați că −eˣ⁻¹ ≤ x−2 ≤ eˣ⁻³, pentru orice x∈[1,4].

f'(x) = 0 ⇔ x = 3; f' ≥ 0 pe [1,3] și f' ≤ 0 pe [3,4], deci f crește pe [1,3] și scade pe [3,4].
f(1) = −1e, f(3) = 1e³ (maximul) și f(4) = 2e⁴ > 0, deci pe [1,4] minimul este f(1) = −1e.
Așadar −1e ≤ x−2eˣ ≤ 1e³; înmulțind cu eˣ > 0 obținem −eˣ⁻¹ ≤ x−2 ≤ eˣ⁻³.
Răspuns
−eˣ⁻¹ ≤ x−2 ≤ eˣ⁻³ pe [1,4]

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²+4x+8.

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] (f(x)−x²−8) dx = 2.

f(x)−x²−8 = 4x.
∫[0,1] 4x dx = 2x² de la 0 la 1 = 2.
Răspuns
2

b) (5p) Arătați că ∫[0,8] xf(x)−4x dx = ln3.

f(x)−4x = x²+8, iar xx²+8 = (12)·(x²+8)'/(x²+8).
∫[0,8] xx²+8 dx = (12)ln(x²+8) de la 0 la 8 = (12)(ln72 − ln8) = (12)ln9 = ln3.
Răspuns
ln3

c) (5p) Determinați a∈(0,+∞) pentru care ∫[0,a] 1f(x)−4 dx = 14.

f(x)−4 = x²+4x+4 = (x+2)².
∫[0,a] 1(x+2)² dx = −1x+2 de la 0 la a = −1a+2 + 12.
Din 12 − 1a+2 = 14 obținem 1a+2 = 14, deci a = 2.
Răspuns
a = 2