Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (iunie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (iunie) 2025 (Proba E.c) — 11.06.2025): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 4 și a₂ = 15.

Rația este r = a₂−a₁ = 15−4 = 11.
a₃ = a₂+r = 15+11 = 26.
Răspuns
a₃ = 26

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x−2. Determinați numărul real a pentru care f(a)+f(2) = 2a.

f(2) = 4 și f(a) = 3a−2.
Din 3a−2+4 = 2a obținem a = −2.
Răspuns
a = −2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x²−3x+2) = log₂(2+x).

Condiții de existență: x²−3x+2 > 0 și 2+x > 0.
Din egalitatea logaritmilor în aceeași bază: x²−3x+2 = 2+x, adică x²−4x = 0, deci x = 0 sau x = 4.
Verificare: pentru x = 0, ambele argumente sunt 2 > 0; pentru x = 4, ambele sunt 6 > 0. Ambele soluții convin.
Răspuns
x = 0 sau x = 4

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1,2,3,5,7,8}.

Numărul e par dacă cifra unităților e pară: 2 sau 8, deci 2 moduri.
Pentru fiecare alegere, cifra zecilor se alege dintre celelalte 5 elemente (cifrele trebuie distincte), deci 5 moduri.
Se pot forma 2·5 = 10 numere.
Răspuns
10 numere

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(8,4) și C, mijlocul segmentului OB. Arătați că AO = AC.

C, mijlocul lui OB: C(4,2).
AO = 5, iar AC = √((4−0)²+(2−5)²) = √(16+9) = 5, deci AO = AC.
Răspuns
AO = AC = 5

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și cosB = 23. Arătați că BC = 6.

În triunghiul dreptunghic în A, cosB = ABBC, deci 23 = 4BC.
BC = 3·42 = 6.
Răspuns
BC = 6

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A = −28−13.

a) (5p) Arătați că detA = 2.

detA = −28−13 = (−2)·3 − 8·(−1) = −6+8 = 2.
Răspuns
detA = 2

b) (5p) Arătați că matricea B = (12)(I₂−A) este inversa matricei A.

I₂−A = 3−81−2, deci B = 32−412−1.
A·B: linia 1 dă (−2)(32)+8(12) = 1 și (−2)(−4)+8(−1) = 0; linia 2 dă (−1)(32)+3(12) = 0 și (−1)(−4)+3(−1) = 1, deci A·B = I₂.
La fel se verifică B·A = I₂, deci B este inversa matricei A.
Răspuns
B = A⁻¹

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care (A−I₂)·X = 2A.

Din b), A⁻¹ = (12)(I₂−A), deci A−I₂ = −2A⁻¹.
Ecuația devine −2A⁻¹·X = 2A; înmulțind la stânga cu A: −2X = 2A², deci X = −A².
A² = −48−11, deci X = 4−81−1.
Răspuns
X = 4−81−1

Pe mulțimea M = [0,+∞) se definește legea de compoziție x∗y = x+y−√(xy).

a) (5p) Arătați că 1∗4 = 3.

1∗4 = 1+4−√(1·4) = 5−2 = 3.
Răspuns
1∗4 = 3

b) (5p) Determinați x∈M pentru care x∗(9x) = x².

x∗(9x) = x+9x−√(9x²) = 10x−3x = 7x, pentru orice x ≥ 0.
Din 7x = x² obținem x = 0 sau x = 7, ambele în M.
Răspuns
x = 0 sau x = 7

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ∗2ˣ⁺² = 6ˣ.

2ˣ∗2ˣ⁺² = 2ˣ + 4·2ˣ − √(2²ˣ⁺²) = 5·2ˣ − 2ˣ⁺¹ = 5·2ˣ − 2·2ˣ = 3·2ˣ.
Din 3·2ˣ = 6ˣ = 2ˣ·3ˣ obținem 3ˣ = 3, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2√xx²+x+2.

a) (5p) Arătați că f'(x) = −3x²−x+2(x²+x+2)²·√x, x∈(0,+∞).

f'(x) = (1/√x)(x²+x+2) − 2√x(2x+1)(x²+x+2)².
Aducând numărătorul la numitorul √x: x²+x+2 − 2x(2x+1)√x = −3x²−x+2√x.
Deci f'(x) = −3x²−x+2(x²+x+2)²·√x.
Răspuns
f'(x) = −3x²−x+2(x²+x+2)²·√x

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 2√xx²+x+2 = 0, pentru că numitorul crește mult mai repede decât √x.
Asimptota orizontală spre +∞ este dreapta y = 0.
Răspuns
y = 0

c) (5p) Determinați a∈(0,+∞) pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox.

Tangenta e paralelă cu Ox dacă și numai dacă panta ei e 0, adică f'(a) = 0.
−3a²−a+2 = 0 ⇔ 3a²+a−2 = 0, cu soluțiile a = −1 (nu convine, a > 0) și a = 23.
Răspuns
a = 23

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³+3x+3.

a) (5p) Arătați că ∫[0,2] (f(x)−3x−3) dx = 4.

f(x)−3x−3 = x³.
∫[0,2] x³ dx = x⁴4 de la 0 la 2 = 164 − 0 = 4.
Răspuns
4

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] 1(f(x)−x³)² dx = 118.

f(x)−x³ = 3x+3, deci integrala este ∫[0,1] 1(3x+3)² dx.
O primitivă este −13(3x+3).
Valoarea: −13·6 + 13·3 = −118 + 19 = 118.
Răspuns
118

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care ∫[1,e] (f(x)−3x²)·lnx dx = e²+m4.

f(x)−3x² = x³+3xx² = x + 3x, deci integrala este ∫[1,e] x·lnx dx + ∫[1,e] 3lnxx dx.
Prin părți: ∫[1,e] x·lnx dx = [(x²2)lnx − x²4] de la 1 la e = (e²2 − e²4) − (0 − 14) = e²+14.
∫[1,e] 3lnxx dx = (32)ln²x de la 1 la e = 32 = 64.
Suma este e²+14 + 64 = e²+74, deci m = 7.
Răspuns
m = 7