Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (iulie) 2026 (Proba E.c) — 01.07.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (4,9−3,4):3+2,5 = 3.

(4,9−3,4):3 = 1,5:3 = 0,5.
0,5+2,5 = 3.
Răspuns
3

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=2x−21. Determinați numărul real a pentru care punctul A(−3a,a) aparține graficului funcției f.

A(−3a,a) aparține graficului lui f dacă f(−3a)=a.
f(−3a) = 2·(−3a)−21 = −6a−21.
Din −6a−21=a obținem −21=7a, deci a=−3.
Răspuns
a = −3

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(1+2x−x²) = log₇(3−x).

Condiții: 1+2x−x²>0 și 3−x>0.
Din egalitatea logaritmilor: 1+2x−x² = 3−x, deci x²−3x+2=0.
Soluțiile sunt x=1 și x=2, ambele verificând condițiile de existență.
Răspuns
x = 1 sau x = 2

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de 11.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, adică 90 de cazuri posibile.
Multiplii de 11 cu două cifre sunt 11,22,...,99 (9 numere); cei impari dintre ei sunt 11,33,55,77,99, adică 5 cazuri favorabile.
P = 590 = 118.
Răspuns
118

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5), B(2,0) și C(4,2). Arătați că triunghiul ADC este isoscel, unde punctul D este mijlocul segmentului BC.

D, mijlocul lui BC: D(2+42,0+22) = D(3,1).
AD = √((3−0)²+(1−5)²) = √(9+16) = 5.
AC = √((4−0)²+(2−5)²) = √(16+9) = 5. Cum AD=AC=5, triunghiul ADC este isoscel.
Răspuns
AD = AC = 5, triunghiul ADC e isoscel

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu tgB=13 și aria egală cu 24. Arătați că AC=4.

tgB = ACAB = 13, deci AB=3·AC.
Aria = AB·AC2 = 3AC²2 = 24, deci AC²=16.
Cum AC>0, obținem AC=4.
Răspuns
AC = 4

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 2a+2−aa−31, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 4−1−21.
det(A(1)) = 4−1−21 = 4·1−(−1)·(−2) = 4−2 = 2.
Răspuns
det(A(1)) = 2

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(0)·(6I₂−A(2)−A(−2)) = xI₂.

A(0)=20−31, A(2)=6−2−11, A(−2)=−22−51.
6I₂−A(2)−A(−2) = 2064.
A(0)·2064 = 4004 = 4I₂, deci x=4.
Răspuns
x = 4

c) (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care A(1)·X·A(1) = 4I₂.

Cum det(A(1))≠0, X = 4·A(1)⁻¹·A(1)⁻¹.
A(1)⁻¹ = 121212.
X = 4·121212·121212 = 351018.
Răspuns
X = [[3, 5], [10, 18]]

Se consideră polinomul f = X³−aX+2+a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1)=3, pentru orice număr real a.

f(1) = 1−a+2+a = 3, pentru orice număr real a.
Răspuns
f(1) = 3

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g=X+2.

f divizibil cu X+2 ⇔ f(−2)=0 (teorema lui Bézout).
f(−2) = −8+2a+2+a = 3a−6.
Din 3a−6=0 obținem a=2.
Răspuns
a = 2

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care x₁³+x₂³+x₃³ = x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃, unde x₁,x₂,x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din Viète: x₁+x₂+x₃=0 și x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=−a, pentru orice a real.
Cum x₁+x₂+x₃=0, avem identitatea x₁³+x₂³+x₃³=3x₁x₂x₃; iar x₁x₂x₃=−(2+a) (produsul rădăcinilor).
Deci x₁³+x₂³+x₃³=−3a−6. Din −3a−6=−a obținem −2a=6, deci a=−3.
Răspuns
a = −3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(2x²−3x).

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(2x+3)(x−1), x∈R.

f'(x) = eˣ(2x²−3x) + eˣ(4x−3) = eˣ(2x²+x−3).
Factorizăm: 2x²+x−3 are rădăcinile x=1 și x=−32, deci 2x²+x−3=(2x+3)(x−1).
Răspuns
f'(x) = eˣ(2x+3)(x−1)

b) (5p) Arătați că limx→0 f(x)−xf(x)+x = 2.

f(0)=0, deci limita e de forma 00; aplicăm regula lui l'Hôpital.
limx→0 f'(x)−1f'(x)+1. La x=0: f'(0)=e⁰·(3)·(−1)=−3.
Limita este −3−1−3+1 = −4/−2 = 2.
Răspuns
2

c) (5p) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x=a are panta egală cu 0.

Panta tangentei în x=a este f'(a). Din f'(a)=0: eᵃ(2a+3)(a−1)=0.
Cum eᵃ≠0 pentru orice a real, obținem a=−32 sau a=1.
Răspuns
a = −32 sau a = 1

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = (2x²+4x)·√(x+1).

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x)√(x+1) dx = 36.

f(x)√(x+1) = 2x²+4x, pentru orice x din domeniu.
∫[0,3] (2x²+4x) dx = [2x³3+2x²] de la 0 la 3 = 18+18 = 36.
Răspuns
36

b) (5p) Arătați că ∫[3,8] x²+2xf(x) dx = 1.

f(x) = 2(x²+2x)√(x+1), deci x²+2xf(x) = 12√(x+1).
O primitivă este √(x+1) (căci [√(x+1)]'=12√(x+1)).
∫[3,8] 12√(x+1) dx = √9−√4 = 3−2 = 1.
Răspuns
1

c) (5p) Se consideră funcția g:(0,+∞)→R, g(x)=4√(x+1)f(x). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g, axa Ox și dreptele de ecuații x=1 și x=4.

g(x) = 4√(x+1)2(x²+2x)√(x+1) = 2x(x+2) = 1x − 1x+2, pozitivă pe (0,+∞).
Aria = ∫[1,4] g(x) dx = [ln x − ln(x+2)] de la 1 la 4 = (ln4−ln6)−(ln1−ln3) = ln(4·36) = ln2.
Răspuns
ln2