Acasă / Subiecte oficiale / 2026 / Rezolvare M2 tehnologic

Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (august) 2026 (Proba E.c) — 11.08.2026): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (15)·(3+13)+43=2.
  • 3+13 = 103.
  • (15)·(103) = 1015 = 23.
  • 23+43 = 63 = 2.

  • Răspuns

    2

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x)=2x−3. Determinați numărul real a pentru care f(a)−f(4)=4.
  • f(4)=2·4−3=5.
  • f(a)=2a−3.
  • 2a−3−5=4 ⇒ 2a=12 ⇒ a=6.

  • Răspuns

    a=6

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 21−x=23+x.
  • Bazele fiind egale, exponenții trebuie să fie egali: 1−x=3+x.
  • −2x=2, deci x=−1.

  • Răspuns

    x=−1

4. (5p) După o scumpire cu 20%, un obiect costă 48 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
  • Fie x prețul inițial. x + 20%·x = 48, adică x·(65) = 48 (deoarece 100%+20%=120%=65).
  • x = 48·(56) = 40 de lei.

  • Răspuns

    40 de lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5) și B(6,8). Arătați că OB=2AB.
  • OB=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10.
  • AB=√[(6−2)²+(8−5)²]=√(16+9)=√25=5.
  • OB=10=2·5=2AB.

  • Răspuns

    OB=2AB

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB=4 și BC=6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 4√5.
  • Teorema lui Pitagora: AC=√(BC²−AB²)=√(36−16)=√20=2√5.
  • Aria = AB·AC2 = 4·2√52 = 4√5.

  • Răspuns

    4√5

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1a−13a−33a−2, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2))=1.
  • A(2)=1134.
  • det(A(2)) = 1134 = 1·4−1·3=1.

  • Răspuns

    1

b) (5p) Arătați că 2A(2)+A(5)=3A(3).
  • A(5)=141213.
  • 2A(2)+A(5) = 2268 + A(5) = 361821.
  • 3A(3) = 3·1267 = 361821, deci cele două matrice sunt egale.

  • Răspuns

    Egalitatea se verifică

c) (5p) Determinați matricea X∈M2(R) pentru care 2X·A(2)−A(2)=A(6).
  • 2X·A(2) = A(6)+A(2), deci X = (12)·[A(6)+A(2)]·A(2)⁻¹ (det(A(2))=1≠0).
  • A(2)⁻¹ = 4−1−31.
  • A(6)+A(2) = 261820.
  • X = (12)·261820·4−1−31 = −5261.

  • Răspuns

    X = [[−5, 2], [6, 1]]

Se consideră polinomul f = X³−3X²−2X+m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m=9, arătați că f(−1)=7.
  • f(−1) = (−1)³−3(−1)²−2(−1)+9 = −1−3+2+9 = 7.

  • Răspuns

    7

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care 2 este rădăcină a polinomului f.
  • f(2)=8−12−4+m=m−8.
  • Din f(2)=0 obținem m=8.

  • Răspuns

    m=8

c) (5p) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul g=X−4 este egal cu 14, determinați rădăcinile polinomului f.
  • Restul împărțirii la X−4 este f(4) (teorema restului): f(4)=64−48−8+m=8+m.
  • Din f(4)=14 obținem m=6, deci f=X³−3X²−2X+6.
  • Factorizăm: f=X²(X−3)−2(X−3)=(X−3)(X²−2).
  • Rădăcinile sunt x1=3, x2=−√2, x3=√2.

  • Răspuns

    x1=3, x2=−√2, x3=√2

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R, f(x)=x²−5x+3.

a) (5p) Arătați că f'(x) = x²+6x+5(x+3)², x∈(−3,+∞).
  • f'(x) = 2x·(x+3) − (x²−5)·1(x+3)².
  • Numărătorul: 2x²+6x−x²+5 = x²+6x+5.

  • Răspuns

    f'(x)=x²+6x+5(x+3)²

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=−1.
  • f(−1) = 1−5−1+3 = −42 = −2.
  • f'(−1) = 1−6+5(−1+3)² = 04 = 0.
  • Ecuația tangentei: y−(−2)=0·(x−(−1)), adică y=−2.

  • Răspuns

    y=−2

c) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f.
  • m = limx→+∞ f(x)x = 1.
  • n = limx→+∞ [f(x)−x] = limx→+∞ −3x−5x+3 = −3.
  • Asimptota oblică este y=x−3.

  • Răspuns

    y=x−3

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R, f(x)=eˣx+2.

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] (x+2)·f(x) dx = e−1.
  • (x+2)·f(x) = (x+2)·eˣ/(x+2) = eˣ.
  • ∫[0,1] eˣ dx = [eˣ] de la 0 la 1 = e−1.

  • Răspuns

    e−1

b) (5p) Arătați că ∫[0,6] f(x)eˣ dx = 2ln2.
  • f(x)eˣ = 1x+2.
  • ∫[0,6] 1x+2 dx = [ln(x+2)] de la 0 la 6 = ln8−ln2 = ln4 = 2ln2.

  • Răspuns

    2ln2

c) (5p) Determinați numărul real a pentru care ∫[0,1] (a−1f(x)) dx = 4e.
  • 1f(x) = (x+2)e−x.
  • Prin părți (u=x+2, dv=e−xdx): ∫(x+2)e−xdx = −(x+3)e−x+C.
  • ∫[0,1] (x+2)e−x dx = [−(x+3)e−x] de la 0 la 1 = (−4e)−(−3) = 3−4e.
  • Din a − (3−4e) = 4e obținem a = 3.

  • Răspuns

    a=3

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 tehnologic

Toate subiectele oficiale, din 2020 încoace →