Rezolvare BAC 2024 Matematică M3 pedagogic, sesiunea I (iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea I (iulie) 2024 (Proba E.c) — 02.07.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră progresia geometrică (bₙ) cu b₁ = 4 și b₂ = 8. Calculați b₃.

Rația este q = b₂b₁ = 2, deci b₃ = b₂·q = 16.
Răspuns
b₃ = 16

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 7x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 9.

Din 7a + 2 = 9 obținem a = 1.
Răspuns
a = 1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(2x + 3) = log₂(3x + 1).

Logaritmul e injectiv: 2x + 3 = 3x + 1, deci x = 2.
Pentru x = 2 argumentele sunt 7 și 7, pozitive, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2

4. (5p) După o scumpire cu 25%, prețul unui obiect a crescut cu 50 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Creșterea reprezintă 25% din prețul inițial x: (25100)·x = 50.
x = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,4), B(8,4) și C(4,0). Demonstrați că BM = CM, unde punctul M este mijlocul segmentului AB.

M(4, 4).
BM = √((8 − 4)² + 0²) = 4 și CM = √(0² + (4 − 0)²) = 4, deci BM = CM.
Răspuns
BM = CM = 4

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 12 și BC = 13. Arătați că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 30.

AC = √(BC² − AB²) = √(169 − 144) = 5.
Perimetrul: 12 + 13 + 5 = 30.
Răspuns
30

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea M = (0,+∞) se definește legea de compoziție x∘y = 1x + 1y + 1.

1. (5p) Arătați că 1∘1 = 3.

1∘1 = 1 + 1 + 1 = 3.
Răspuns
3

2. (5p) Determinați x∈M pentru care x∘x = 2.

x∘x = 2x + 1.
2x + 1 = 2 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 2, care aparține lui M.
Răspuns
x = 2

3. (5p) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

y∘x = 1y + 1x + 1 = 1x + 1y + 1 = x∘y, pentru orice x, y din M.
Răspuns
x∘y = y∘x

4. (5p) Determinați x∈M pentru care x∘(1x) = 3.

x∘(1x) = 1x + x + 1 = x² + x + 1x.
x² + x + 1x = 3 ⇔ x² − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)² = 0, deci x = 1, care convine.
Răspuns
x = 1

5. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care (n + 1)∘(n + 1) este număr natural.

(n + 1)∘(n + 1) = 2n + 1 + 1.
Numărul e natural dacă n + 1 divide 2: n + 1 = 1 sau n + 1 = 2, deci n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n ∈ {0, 1}

6. (5p) Determinați x∈(1,+∞) pentru care (log₂x)∘(logₓ2) = 72.

Pentru x > 1, log₂x > 0 și logₓ2 = 1log₂x. Notăm t = log₂x > 0.
(log₂x)∘(logₓ2) = 1t + t + 1 = 72, adică t + 1t = 52, deci 2t² − 5t + 2 = 0.
t = 2 sau t = 12, deci x = 4 sau x = √2 (ambele mai mari decât 1).
Răspuns
x = 4 sau x = √2

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+222a−6, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(6)) = −4.

A(6) = 8220, deci det(A(6)) = 8220 = 0 − 4 = −4.
Răspuns
−4

2. (5p) Arătați că A(3)·A(1) = 19I₂.

A(3)·A(1) = 522−3·322−5 = 190019 = 19I₂.
Răspuns
A(3)·A(1) = 19I₂

3. (5p) Demonstrați că A(a) + A(−a) = 2A(0), pentru orice număr real a.

A(a) + A(−a) = a+222a−6 + −a+222−a−6 = 444−12 = 2·222−6 = 2A(0).
Răspuns
A(a) + A(−a) = 2A(0)

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care det(A(a)) = −20.

det(A(a)) = (a + 2)(a − 6) − 4 = a² − 4a − 16.
a² − 4a − 16 = −20 ⇔ a² − 4a + 4 = 0 ⇔ (a − 2)² = 0, deci a = 2.
Răspuns
a = 2

5. (5p) Determinați numerele reale a pentru care A(a²) − A(a) = 2I₂.

A(a²) − A(a) = a²−a00a²−a = (a² − a)I₂.
(a² − a)I₂ = 2I₂ ⇔ a² − a − 2 = 0, deci a = −1 sau a = 2.
Răspuns
a = −1 sau a = 2

6. (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A(−1)·xy = −19.

A(−1) = 122−7, deci produsul este x+2y2x−7y.
Sistemul x + 2y = −1, 2x − 7y = 9: din prima, x = −1 − 2y; în a doua, −2 − 4y − 7y = 9, deci y = −1 și x = 1.
Răspuns
x = 1, y = −1