Rezolvare BAC 2024 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (august) 2024 (Proba E.c) — 20.08.2024): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √2(√2 + 3) − 3√2 + 2 = 4.

√2·√2 + 3√2 − 3√2 + 2 = 2 + 2 = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x + 2 și g:R→R, g(x) = 2x + 3. Determinați numărul real m pentru care f(m) = g(m).

3m + 2 = 2m + 3, deci m = 1.
Răspuns
m = 1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⁴ˣ⁻³ = 2²⁻ˣ.

Exponenții sunt egali: 4x − 3 = 2 − x, deci 5x = 5 și x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul 2n + 1 să aparțină mulțimii A.

A are 9 elemente.
2n + 1 ≤ 9 ⇔ n ≤ 4, deci n ∈ {1, 2, 3, 4}: 4 cazuri favorabile, p = 49.
Răspuns
p = 49

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,0) și B(0,4). Calculați aria triunghiului AOB.

Triunghiul AOB e dreptunghic în O, cu OA = 3 și OB = 4.
Aria = 3·42 = 6.
Răspuns
6

6. (5p) Arătați că (sin60° + sin30°)(sin60° − sin30°) = sin45°·cos45°.

Membrul stâng e sin²60° − sin²30° = 34 − 14 = 12.
Membrul drept: (√22)·(√22) = 12. Membrii sunt egali.
Răspuns
ambii membri sunt 12

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 3xy − 2(x + y − 1).

1. (5p) Arătați că 1∘2 = 2.

1∘2 = 6 − 2(1 + 2 − 1) = 6 − 4 = 2.
Răspuns
2

2. (5p) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x∘1 = 3x − 2(x + 1 − 1) = 3x − 2x = x.
1∘x = 3x − 2(1 + x − 1) = x, pentru orice x real, deci e = 1 e element neutru.
Răspuns
e = 1

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care (x∘2) + (x∘3) = 5.

x∘2 = 6x − 2(x + 1) = 4x − 2 și x∘3 = 9x − 2(x + 2) = 7x − 4.
11x − 6 = 5, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care (3n + 1)∘1 < 7.

1 este element neutru, deci (3n + 1)∘1 = 3n + 1.
3n + 1 < 7 ⇔ n < 2, deci n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n ∈ {0, 1}

5. (5p) Demonstrați că x∘y = 3(x − 23)(y − 23) + 23, pentru orice numere reale x și y.

3(x − 23)(y − 23) = 3xy − 2x − 2y + 43.
Adunând 23: 3xy − 2x − 2y + 2 = 3xy − 2(x + y − 1) = x∘y.
Răspuns
x∘y = 3(x − 23)(y − 23) + 23

6. (5p) Arătați că (12)∘(23)∘(34)∘(45) = 23.

Din punctul 5: x∘(23) = 3(x − 23)·0 + 23 = 23 și (23)∘y = 23, pentru orice x, y.
Legea e asociativă: ((12)∘(23))∘(34)∘(45) = (23)∘(34)∘(45) = (23)∘(45) = 23.
Răspuns
23

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a+1−11a−1, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 2−110, deci det(A(1)) = 2−110 = 0 + 1 = 1.
Răspuns
1

2. (5p) Demonstrați că I₂ + A(a − 1) = A(a), pentru orice număr real a.

I₂ + A(a − 1) = 1001 + a−11a−2 = a+1−11a−1 = A(a).
Răspuns
I₂ + A(a − 1) = A(a)

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)) = a.

det(A(a)) = (a + 1)(a − 1) + 1 = a².
a² = a ⇔ a(a − 1) = 0, deci a = 0 sau a = 1.
Răspuns
a = 0 sau a = 1

4. (5p) Determinați numărul real a pentru care A(a)·A(a) = 8−440.

A(a)·A(a) = a²+2a−2a2aa²−2a.
Din −2a = −4 obținem a = 2; verificare: a² + 2a = 8 și a² − 2a = 0. Deci a = 2.
Răspuns
a = 2

5. (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R) pentru care X·A(1) = A(2).

det(A(1)) = 1, deci (A(1))⁻¹ = 01−12.
X = A(2)·(A(1))⁻¹ = 3−111·01−12 = 11−13.
Răspuns
X = 11−13

6. (5p) Demonstrați că det(A(a) + I₂) ≥ 0, pentru orice număr real a.

A(a) + I₂ = a+2−11a, cu determinantul a(a + 2) + 1 = a² + 2a + 1.
a² + 2a + 1 = (a + 1)² ≥ 0, pentru orice număr real a.
Răspuns
det(A(a) + I₂) = (a + 1)² ≥ 0