Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2022 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2022 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen 16 iunie 2022): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 10+10:10 este egal cu:

  1. A. 2
  2. B. 9
  3. C. 10
  4. D. 11

Vezi rezolvarea
  • Împărțirea înaintea adunării: 10:10=1, apoi 10+1=11.

  • Răspuns

    D. 11

2. (5p) Dacă b≠0 și a2=10b, atunci a·b este egal cu:

  1. A. 2
  2. B. 5
  3. C. 10
  4. D. 20

Vezi rezolvarea
  • Din a2=10b rezultă a·b=2·10=20 (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor).

  • Răspuns

    D. 20

3. (5p) Opusul numărului 5 este:

  1. A. −15
  2. B. −5
  3. C. 15
  4. D. 5

Vezi rezolvarea
  • Opusul unui număr x este −x; opusul lui 5 este −5.

  • Răspuns

    B. −5

4. (5p) Transformând numărul 1,3 în fracție ordinară se obține:

  1. A. 13
  2. B. 43
  3. C. 139
  4. D. 1310

Vezi rezolvarea
  • 1,3 = 1310.

  • Răspuns

    D. 1310

5. (5p) Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor x=2√2 și y=12√2, iar rezultatele obținute au fost: Ana — 4√2, George — √2, Radu — 1, Elena — 8. Rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Ana
  2. B. Elena
  3. C. George
  4. D. Radu

Vezi rezolvarea
  • x·y = 2√2 · 12√2 = 1, deci rezultatul corect (1) a fost obținut de Radu.

  • Răspuns

    D. Radu

6. (5p) Andrei are 28 de ani, iar Cătălina are 13 ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.” Afirmația lui Andrei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • Peste doi ani, Andrei va avea 30 de ani, iar Cătălina 15 ani. 30 este dublul lui 15, deci afirmația e adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 10 cm. Punctul A este mijlocul segmentului CB, iar punctul B este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului CD este egală cu:

C A B D
  1. A. 10 cm
  2. B. 20 cm
  3. C. 30 cm
  4. D. 40 cm

Vezi rezolvarea
  • A fiind mijlocul lui CB și AB=10 cm, rezultă CA=AB=10 cm, deci CB=20 cm. B fiind mijlocul lui CD, CD=2·CB=40 cm.

  • Răspuns

    D. 40 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOC este egală cu 60°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

A B C D O 60°
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°

Vezi rezolvarea
  • Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci unghiul BOD are aceeași măsură ca unghiul AOC: 60°.

  • Răspuns

    B. 60°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu AB=BD=12 cm. Punctul M este mijlocul segmentului CD și dreapta BM intersectează dreapta AC în punctul G. Lungimea segmentului AG este egală cu:

A B C D M G
  1. A. 8√3 cm
  2. B. 9√3 cm
  3. C. 10√3 cm
  4. D. 12√3 cm

Vezi rezolvarea
  • Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Cu AB=BD=12 cm, triunghiul ABD e echilateral, deci diagonala AC=AB√3=12√3 cm; M fiind mijlocul lui CD, G se determină ca centru de greutate al triunghiului BCD pe diagonala AC, la o treime de la C: AG=AC−CG=12√3−(13)·6√3=8√3 cm.

  • Răspuns

    A. 8√3 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu bazele AB și CD, în care măsura unghiului BAD este egală cu 90°, AD=DC=5 cm și AB=10 cm. Măsura unghiului ABC este egală cu:

A B C D
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°

Vezi rezolvarea
  • Ducem CE⊥AB, cu E pe AB. ADCE este dreptunghi (AD∥CE, AD=CE=5 cm), deci AE=DC=5 cm și EB=AB−AE=5 cm. Triunghiul CEB e dreptunghic isoscel (CE=EB=5 cm), deci unghiul ABC=45°.

  • Răspuns

    B. 45°

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC=10 cm. Punctul A aparține cercului astfel încât măsura arcului mic AC este de 120°. Lungimea segmentului AB este egală cu:

C B O A
  1. A. 5 cm
  2. B. 5√2 cm
  3. C. 5√3 cm
  4. D. 10 cm

Vezi rezolvarea
  • Unghiul la centru AOC=120°, deci unghiul înscris ABC (care se sprijină pe arcul AC) este jumătate din arcul AC: unghiul ABC=60°. Cum BC e diametru, unghiul BAC=90° (unghi înscris în semicerc). În triunghiul dreptunghic ABC, unghiul ABC=60° și ipotenuza BC=10 cm, deci AB=BC·cos(60°)=10·(12)=5 cm.

  • Răspuns

    A. 5 cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH cu AB=4 cm, BC=3 cm și AE=12 cm. Lungimea diagonalei AG a paralelipipedului este egală cu:

A B F E D C G H
  1. A. 5 cm
  2. B. 13 cm
  3. C. 14 cm
  4. D. 19 cm

Vezi rezolvarea
  • Diagonala unui paralelipiped dreptunghic se calculează cu AG=√(AB²+BC²+AE²)=√(16+9+144)=√169=13 cm.

  • Răspuns

    B. 13 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Ana, Maria și Vlad au în total 396 de timbre. Ana are cu 25 de timbre mai multe decât Maria și cu 16 timbre mai puține decât Vlad.

a) (2p) Poate avea Ana 132 de timbre? Justifică răspunsul dat.
  • Dacă Ana ar avea 132 de timbre, atunci Maria ar avea 132−25=107 timbre, iar Vlad ar avea 132+16=148 de timbre. Cum 132+107+148=387≠396, nu este posibil ca Ana să aibă 132 de timbre.

b) (3p) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.
  • Notăm cu x numărul de timbre ale lui Vlad; atunci Ana are x−16, iar Maria are x−16−25=x−41. Suma: x+(x−16)+(x−41)=396, deci 3x−57=396, 3x=453, x=151. Vlad are 151 de timbre.

2. Se consideră expresia E(x)=(x+1)²+2(x−1)²−3(x²−1), unde x este număr real.

a) (2p) Arată că E(x)=6−2x, pentru orice număr real x.
  • E(x)=(x²+2x+1)+2(x²−2x+1)−3(x²−1)=x²+2x+1+2x²−4x+2−3x²+3=6−2x, pentru orice x real.

b) (3p) Determină mulțimea numerelor reale x, pentru care E(x) < x.
  • 6−2x < x, deci 6 < 3x, de unde x > 2. Mulțimea căutată este (2,+∞).

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x−1.

a) (2p) Arată că f(0)+f(1)=−1.
  • f(0)=0−1=−1 și f(1)=1−1=0, deci f(0)+f(1)=−1+0=−1.

b) (3p) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axele Ox, respectiv Oy, iar punctul C este mijlocul segmentului AB, calculează aria triunghiului OBC.
  • A(1,0) și B(0,−1) sunt punctele de intersecție a graficului cu axele Ox, respectiv Oy. Aria triunghiului AOB este egală cu OA·OB2=1·12=12. Cum C este mijlocul lui AB, aria triunghiului BOC este jumătate din aria triunghiului AOB: 1/22=14.

4. În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D și E astfel încât AB=4 cm, AC=8 cm, AD=10 cm și AE=20 cm. Măsura unghiului BAC este egală cu măsura unghiului DAE și unghiul CAD=30°.

A B C D E

a) (2p) Arată că aria triunghiului CAD este egală cu 20 cm².
  • Unghiul CAD=30°, deci distanța de la C la dreapta AD este AC·sin(30°)=8·(12)=4 cm. Aria triunghiului CAD=AD·42=10·42=20 cm².

b) (3p) Demonstrează că CE=2·BD.
  • Din unghiul BAD=unghiul BAC+unghiul CAD și unghiul CAE=unghiul CAD+unghiul DAE, iar unghiul BAC=unghiul DAE (dat), rezultă unghiul BAD=unghiul CAE. Cum ABAC=48=12=ADAE, triunghiurile BAD și CAE sunt asemenea, deci BDCE=12, de unde CE=2·BD.

5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB∥CD, unghiul ABC=45° și AD=DC=10 cm. Paralela prin D la dreapta BC intersectează dreapta AB în punctul R. Dreptele AD și BC se intersectează în punctul T, iar O este punctul de intersecție a dreptelor TR și AC.

A B C D T R

a) (2p) Arată că punctul R este mijlocul segmentului AB.
  • CD∥AB și DR∥CB, deci BCDR este paralelogram, de unde BR=CD=10 cm. Unghiul DAR=90° și unghiul ARD=45°, deci triunghiul ADR este dreptunghic isoscel cu AD=AR=10 cm. Cum AR=RB, punctul R este mijlocul segmentului AB.

b) (3p) Calculează lungimea segmentului TO.
  • CD∥AB și CD=AB2, deci CD este linie mijlocie în triunghiul TAB: punctul C este mijlocul laturii TB, iar punctul D este mijlocul laturii TA. Triunghiul TAR este dreptunghic în A, deci TR=√(20²+10²)=10√5 cm. Punctul O este centrul de greutate al triunghiului TAB, deci TO=(23)·TR=20√53 cm.

6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDEF cu baza triunghiul echilateral ABC și AB=AD=10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB.

A B C D E F M

a) (2p) Arată că volumul prismei ABCDEF este egal cu 250√3 cm³.
  • Aria triunghiului echilateral ABC cu latura 10 cm este 25√3 cm². Volumul prismei este V=AABC·AD=25√3·10=250√3 cm³.

b) (3p) Demonstrează că distanța de la punctul B la planul (EMC) este egală cu 2√5 cm.
  • CM este înălțime în triunghiul echilateral ABC, deci CM⊥AB; fiind și paralelă cu muchia laterală AD, rezultă CM⊥AD. Cum AB și AD se intersectează în A, obținem CM perpendiculară pe planul (BAD), deci CM⊥BP, unde P e proiecția lui B pe EM. Cum CM și EM se intersectează în M, rezultă că BP este perpendiculară pe planul (EMC), deci distanța căutată este BP=MB·BEEM=2√5 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →