Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2026 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2026 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen 24 iunie 2026): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 12−2·5 este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 2
  3. C. 22
  4. D. 50

Vezi rezolvarea
  • Înmulțirea se face înaintea scăderii: 2·5=10, apoi 12−10=2. (50 ar ieși calculând greșit de la stânga la dreapta: (12−2)·5.)

  • Răspuns

    B. 2

2. (5p) Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților participanți la acest concurs este egal cu:

  1. A. 90
  2. B. 100
  3. C. 125
  4. D. 150

Vezi rezolvarea
  • 40% din 250 = (40100)·250 = 100 de băieți. (150 ar fi numărul fetelor.)

  • Răspuns

    B. 100

3. (5p) Suma dintre numărul 10 și opusul numărului 10 este egală cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 1110
  4. D. 10110

Vezi rezolvarea
  • Opusul lui 10 este −10, deci 10+(−10)=0. Atenție: 10110 și 1110 ar corespunde inversului (110), nu opusului.

  • Răspuns

    A. 0

4. (5p) Transformând fracția zecimală 1,(2) în fracție ordinară se obține:

  1. A. 43
  2. B. 65
  3. C. 119
  4. D. 1110

Vezi rezolvarea
  • Pentru o fracție periodică simplă: 1,(2) = 12−19 = 119. Verificare: 11:9 = 1,222… (1110 = 1,1 ar fi fracția zecimală finită 1,1).

  • Răspuns

    C. 119

5. (5p) Patru elevi, Ioana, Andreea, Luca și Radu, determină numărul real x din proporția √5−12 = x√5+1. Răspunsurile lor sunt: Ioana — 1, Andreea — 2, Luca — 3, Radu — 4. Răspunsul corect a fost obținut de către:

  1. A. Andreea
  2. B. Ioana
  3. C. Luca
  4. D. Radu

Vezi rezolvarea
  • Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: 2x = (√5−1)(√5+1) = 5−1 = 4, deci x=2. Răspunsul corect l-a dat Andreea.

  • Răspuns

    A. Andreea

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2026. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, cele mai puține mașini au fost vândute în luna martie.” este:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Ianuarie Februarie Martie Aprilie Număr de mașini
  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • Pe diagramă: ianuarie 1000, februarie 2000, martie 500, aprilie 2500 de mașini. Cea mai scurtă coloană e la martie (500), deci afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB=1 cm și AD=6 cm. Punctul C este mijlocul segmentului AD. Lungimea segmentului BC este egală cu:

A B C D
  1. A. 1 cm
  2. B. 2 cm
  3. C. 3 cm
  4. D. 5 cm

Vezi rezolvarea
  • C este mijlocul lui AD, deci AC=AD:2=3 cm. Atunci BC=AC−AB=3−1=2 cm.

  • Răspuns

    B. 2 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele AB și CD. Punctele E, A și C sunt coliniare, în această ordine, iar punctele B și D sunt situate de o parte și de alta a dreptei AC. Măsura unghiului DCA este egală cu 80°. Măsura unghiului EAB este egală cu:

E A B C D 80°
  1. A. 80°
  2. B. 90°
  3. C. 100°
  4. D. 110°

Vezi rezolvarea
  • AB∥CD, iar AC este secantă: unghiurile BAC și DCA sunt alterne interne, deci ∢BAC=∢DCA=80°. Unghiurile EAB și BAC sunt adiacente suplementare (E, A, C coliniare), deci ∢EAB=180°−80°=100°.

  • Răspuns

    C. 100°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul D este mijlocul segmentului BC și punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Aria triunghiului DGC este egală cu 15 cm². Aria triunghiului ABC este egală cu:

A B C D G
  1. A. 30 cm²
  2. B. 45 cm²
  3. C. 60 cm²
  4. D. 90 cm²

Vezi rezolvarea
  • Mediana AD împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale: A(ADC)=A(ABC)2. G e pe AD cu GD=AD3, iar triunghiurile DGC și DAC au aceeași înălțime din C, deci A(DGC)=A(ADC)3=A(ABC)6. Atunci A(ABC)=6·15=90 cm².

  • Răspuns

    D. 90 cm²

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu diagonala BD perpendiculară pe latura BC și BD·BC=12 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 6 cm²
  2. B. 12 cm²
  3. C. 18 cm²
  4. D. 24 cm²

Vezi rezolvarea
  • Diagonala BD împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente. Triunghiul BCD este dreptunghic în B, cu aria BD·BC2=6 cm². Aria paralelogramului este 2·6=12 cm². (Echivalent: BC e bază, iar BD e înălțimea corespunzătoare.)

  • Răspuns

    B. 12 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D sunt situate pe cerc, în această ordine, astfel încât AC este diametru și măsura unghiului BDC este egală cu 40°. Măsura unghiului BCA este egală cu:

O A B C D
  1. A. 40°
  2. B. 50°
  3. C. 60°
  4. D. 80°

Vezi rezolvarea
  • Unghiurile BAC și BDC sunt înscrise în cerc și subîntind același arc BC, deci ∢BAC=∢BDC=40°. AC este diametru, deci unghiul ABC este înscris într-un semicerc: ∢ABC=90°. În triunghiul ABC: ∢BCA=180°−90°−40°=50°.

  • Răspuns

    B. 50°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu înălțimea VO=6 cm și AB=4 cm. Volumul piramidei VABCD este egal cu:

V A B C D O
  1. A. 32 cm³
  2. B. 48 cm³
  3. C. 72 cm³
  4. D. 96 cm³

Vezi rezolvarea
  • Baza este pătratul ABCD, cu aria AB²=16 cm². Volumul piramidei este Aria bazei·înălțimea3=16·63=32 cm³. (96 cm³ ar ieși uitând împărțirea la 3.)

  • Răspuns

    A. 32 cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 18 lei, mai sunt necesari 30 de lei.

a) (2p) Este posibil ca mingea să coste 153 de lei? Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu n numărul de copii. Prețul mingii este 18n+30 lei. Dacă 18n+30=153, atunci 18n=123 și n=12318, care nu este număr natural. Deci nu este posibil ca mingea să coste 153 de lei.

b) (3p) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 24 de lei, atunci sunt în plus 12 lei. Determină cât costă mingea.
  • Cu 24 de lei de copil se strâng 24n lei, cu 12 lei mai mult decât prețul, deci prețul este 24n−12. Egalăm cele două exprimări ale prețului: 18n+30=24n−12, de unde 6n=42 și n=7 copii. Mingea costă 18·7+30=156 de lei (verificare: 24·7−12=156).

2. Se consideră expresia E(x)=xx−3 + 1x−2 + 7−3x(x−2)(x−3), unde x este număr real, x≠2 și x≠3.

a) (2p) Arată că E(x)=x−2x−3, pentru orice număr real x, x≠2 și x≠3.
  • Aducem la numitorul comun (x−2)(x−3): E(x)=x(x−2)+(x−3)+7−3x(x−2)(x−3) = x²−2x+x−3+7−3x(x−2)(x−3) = x²−4x+4(x−2)(x−3) = (x−2)²(x−2)(x−3) = x−2x−3, pentru orice x real, x≠2 și x≠3.

b) (3p) Arată că numărul A=(E(4))ⁿ+(E(4))ⁿ⁺³ este divizibil cu 18, pentru orice număr natural nenul n.
  • E(4)=4−24−3=2. Atunci A=2ⁿ+2ⁿ⁺³=2ⁿ·(1+2³)=2ⁿ·9. Cum n este număr natural nenul, 2ⁿ este par, deci 2ⁿ=2·2ⁿ⁻¹ și A=18·2ⁿ⁻¹, adică A este divizibil cu 18.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=3x−6.

a) (2p) Arată că f(1)+f(3)=0.
  • f(1)=3·1−6=−3 și f(3)=3·3−6=3, deci f(1)+f(3)=−3+3=0.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează lungimea segmentului OM, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.
  • Intersecția cu Ox: f(x)=0 ⇔ x=2, deci A(2,0). Intersecția cu Oy: f(0)=−6, deci B(0,−6). Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu OA=2 și OB=6, deci AB=√(2²+6²)=√40=2√10. În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: OM=AB2=√10.

4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM=3 cm.

O A B M C D

a) (2p) Arată că AM=3√3 cm.
  • OA=OB=6 cm (raze), deci triunghiul AOB este isoscel, iar OM este mediană, deci și înălțime: OM⊥AB. În triunghiul dreptunghic AMO: AM=√(OA²−OM²)=√(36−9)=√27=3√3 cm.

b) (3p) Demonstrează că AC²+BD²=144 cm².
  • Fie E punctul diametral opus lui B pe cerc (BE diametru, BE=12 cm). Unghiurile BAE și BDE sunt înscrise în semicerc, deci ∢BAE=∢BDE=90°. Din AE⊥AB și CD⊥AB rezultă AE∥CD. Două coarde paralele AE și CD determină între ele arce congruente, arcul AC și arcul ED, deci coardele AC și DE sunt egale: AC=DE. În triunghiul BDE, dreptunghic în D: DE²+BD²=BE², deci AC²+BD²=12²=144 cm².

5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB=10 cm și AD=8 cm. Punctele M, N și T sunt mijloacele segmentelor BC, CD, respectiv AB, iar Q este punctul de intersecție a dreptelor BN și AM.

A B C D M N T Q

a) (2p) Calculează perimetrul patrulaterului ATND.
  • DN=DC:2=5 cm și AT=AB:2=5 cm, iar DN∥AT (DC∥AB). Un patrulater cu două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram, deci ATND este paralelogram, cu TN=AD=8 cm. Perimetrul lui ATND este 2·AT+2·AD=2·5+2·8=26 cm.

b) (3p) Calculează valoarea raportului AQQM.
  • Fie S punctul de intersecție a dreptelor AM și NT. TN∥AD∥BC, iar T este mijlocul lui AB, deci în triunghiul ABM segmentul TS este linie mijlocie: S este mijlocul lui AM și TS=BM2=42=2 cm. Atunci SN=TN−TS=8−2=6 cm. Cum SN∥BM, triunghiurile QNS și QBM sunt asemenea: QSQM=SNBM=64=32, deci SMQM=QS+QMQM=52. Cum AM=2·SM, obținem AMQM=5, adică AQ=AM−QM=4·QM. Raportul cerut este AQQM=4.

6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCD, AB=4 cm și AA'=4√2 cm.

A B C D A' B' C' D'

a) (2p) Calculează aria laterală a prismei ABCDA'B'C'D'.
  • Fețele laterale sunt 4 dreptunghiuri congruente, cu laturile AB=4 cm și AA'=4√2 cm. Aria laterală este 4·AB·AA'=4·4·4√2=64√2 cm².

b) (3p) Arată că distanța de la punctul A' la planul (C'BD) este egală cu 8√105 cm.
  • Fie O punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD. BD⊥AC (diagonalele pătratului) și BD⊥AA' (muchia laterală e perpendiculară pe bază); cum AC și AA' se intersectează în A, BD este perpendiculară pe planul (A'AC), care conține și punctele C' și O. Ducem A'P⊥C'O, P∈C'O. Cum A'P este în planul (A'AC), avem și A'P⊥BD; iar C'O și BD se intersectează în O, deci A'P⊥(C'BD) și distanța cerută este A'P. Calculăm aria triunghiului A'OC' în două moduri. Baza A'C'=4√2 cm (diagonala pătratului), iar înălțimea din O pe A'C' este AA'=4√2 cm, deci aria este 4√2·4√22=16 cm². CO=AC2=2√2 cm, deci C'O=√(CO²+CC'²)=√(8+32)=√40=2√10 cm. Din A'P·C'O2=16 rezultă A'P=322√10=16√10=8√105 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →