Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2026 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2026 la Matematică: modelul M.E.N.

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Model M.E.N. 2026): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 19 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului 39 − 9 : 3 este egal cu:

  1. A. 10
  2. B. 12
  3. C. 36
  4. D. 90

Vezi rezolvarea
  • Ordinea operațiilor: împărțirea înaintea scăderii: 9:3=3, apoi 39−3=36.

  • Răspuns

    C. 36

2. Cinci caiete de același fel costă 50 de lei. Prețul unui astfel de caiet este egal cu:

  1. A. 1 leu
  2. B. 5 lei
  3. C. 10 lei
  4. D. 50 de lei

Vezi rezolvarea
  • 50:5=10 lei.

  • Răspuns

    C. 10 lei

3. Cel mai mare număr natural din intervalul (−1,6) este egal cu:

  1. A. −1
  2. B. 0
  3. C. 5
  4. D. 6

Vezi rezolvarea
  • Intervalul e deschis, deci 6 nu e inclus; cel mai mare număr natural mai mic decât 6 este 5.

  • Răspuns

    C. 5

4. Fracția subunitară din mulțimea {52, 1516, 1615, 5} este:

  1. A. 5
  2. B. 52
  3. C. 1516
  4. D. 1615

Vezi rezolvarea
  • O fracție e subunitară dacă numărătorul e mai mic decât numitorul; doar 1516 îndeplinește condiția (celelalte sunt supraunitare sau egale cu un număr întreg mai mare decât 1).

  • Răspuns

    C. 1516

5. Patru elevi au calculat suma numerelor a=3+2√2 și b=3−√8. Rezultatele lor au fost 17, 6, 5 și 1. Care rezultat este corect?

  1. A. 1
  2. B. 5
  3. C. 6
  4. D. 17

Vezi rezolvarea
  • √8=2√2, deci b=3−2√2. a+b=(3+2√2)+(3−2√2)=6.

  • Răspuns

    C. 6

6. După o scumpire cu 10%, un obiect costă 110 lei. Ana afirmă: „Prețul inițial al acestui obiect este de 100 de lei.” Afirmația Anei este:

  1. A. adevărată
  2. B. adevărată doar dacă scumpirea era de 5%
  3. C. falsă
  4. D. imposibil de determinat

Vezi rezolvarea
  • 100·1,1=110 lei; afirmația Anei e adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

7. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci:

  1. A. au o dreaptă comună
  2. B. coincid
  3. C. nu se intersectează
  4. D. sunt paralele

Vezi rezolvarea
  • Două plane distincte care au un punct comun se intersectează după o dreaptă care trece prin acel punct.

  • Răspuns

    A. au o dreaptă comună

8. În cubul ABCDA'B'C'D', dreptele AA' și BB' sunt:

  1. A. concurente
  2. B. necoplanare
  3. C. paralele
  4. D. perpendiculare

Vezi rezolvarea
  • AA' și BB' sunt muchii laterale ale cubului, deci sunt paralele (și coplanare, în planul fetei ABB'A').

  • Răspuns

    C. paralele

9. În cubul ABCDA'B'C'D', dreptele AB și CC' sunt:

  1. A. concurente
  2. B. confundate
  3. C. necoplanare
  4. D. paralele

Vezi rezolvarea
  • AB și CC' nu au niciun punct comun, nu sunt paralele și nu există un plan care să le conțină pe amândouă, deci sunt necoplanare.

  • Răspuns

    C. necoplanare

10. O dreaptă d este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan α. Atunci d este:

  1. A. conținută în planul α
  2. B. oarecare față de planul α
  3. C. paralelă cu planul α
  4. D. perpendiculară pe planul α

Vezi rezolvarea
  • Criteriul perpendicularității dreaptă-plan: o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente ale unui plan este perpendiculară pe acel plan.

  • Răspuns

    D. perpendiculară pe planul α

11. Într-un cub cu latura de 6 cm, care este distanța de la punctul A' la planul (ABC)?

  1. A. 3 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 6√2 cm
  4. D. 6√3 cm

Vezi rezolvarea
  • AA' ⊥ (ABC) și A este piciorul perpendicularei, deci distanța este AA' = 6 cm, adică latura cubului.

  • Răspuns

    B. 6 cm

12. În cubul ABCDA'B'C'D', care este unghiul dintre dreptele AA' și BC?

  1. A. 0°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°

Vezi rezolvarea
  • AA' este perpendiculară pe planul (ABC), iar BC este o dreaptă din acest plan, deci dreptele sunt perpendiculare: 90°.

  • Răspuns

    D. 90°

13. Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt:

  1. A. concurente
  2. B. întotdeauna confundate
  3. C. paralele
  4. D. perpendiculare între ele

Vezi rezolvarea
  • Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă au aceeași direcție și nu se intersectează (dacă sunt distincte), deci sunt paralele.

  • Răspuns

    C. paralele

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) Punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, cu AB=20 cm, iar lungimea segmentului BC este jumătate din lungimea segmentului AB. Punctul D este simetricul lui B față de C. Lungimea segmentului AD este egală cu:

A B C D
  1. A. 10 cm
  2. B. 30 cm
  3. C. 35 cm
  4. D. 40 cm

Vezi rezolvarea
  • BC=10 cm. D fiind simetricul lui B față de C înseamnă că C e mijlocul lui BD, deci CD=CB=10 cm. AD=AB+BC+CD=20+10+10=40 cm.

  • Răspuns

    D. 40 cm

2. (5p) Dreptele AB și CD sunt paralele, cu punctele A și D de o parte și de alta a secantei BC. Măsura unghiului BCD este egală cu 45°. Măsura unghiului ABC este egală cu:

A B C D 45°
  1. A. 45°
  2. B. 75°
  3. C. 135°
  4. D. 145°

Vezi rezolvarea
  • A și D fiind de o parte și de alta a secantei BC, unghiurile ABC și BCD sunt interne de aceeași parte (colaterale), deci suplementare: 180°−45°=135°.

  • Răspuns

    C. 135°

3. (5p) Triunghiul ABC este isoscel, cu AB=AC. Punctul E aparține laturii BC, astfel încât AE=CE, iar unghiul BEA măsoară 78°. Măsura unghiului CAB este egală cu:

C B A E 78°
  1. A. 39°
  2. B. 78°
  3. C. 102°
  4. D. 141°

Vezi rezolvarea
  • Unghiul AEC=180°−78°=102°. Triunghiul AEC e isoscel (AE=CE), deci unghiul ECA=180°−102°2=39°=unghiul ACB. Cum ABC e isoscel (AB=AC), unghiul ABC=unghiul ACB=39°, deci unghiul CAB=180°−2·39°=102°.

  • Răspuns

    C. 102°

4. (5p) Trapezul dreptunghic ABCD are AD⊥AB, AB∥CD, AB=8 cm, CD=4 cm și AD=4√3 cm. Aria trapezului ABCD este egală cu:

A B C D
  1. A. 8√3 cm²
  2. B. 24√3 cm²
  3. C. 32 cm²
  4. D. 40 cm²

Vezi rezolvarea
  • AD este chiar înălțimea trapezului, fiind perpendiculară pe AB. Aria=AB+CD2 · AD=8+42 · 4√3=6 · 4√3=24√3 cm².

  • Răspuns

    B. 24√3 cm²

5. (5p) Cercul de centru O are diametrul AB. Punctele C și D aparțin cercului, astfel încât AB∥CD, iar unghiul BOC măsoară 60°. Măsura unghiului ADC este egală cu:

A B C D O 60°
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 110°
  4. D. 120°

Vezi rezolvarea
  • Unghiul ADC e unghi înscris ce subîntinde arcul AC care NU conține D. Arcul AC prin D măsoară 180°−60°=120°, deci celălalt arc AC (cel subîntins de unghiul ADC) măsoară 360°−120°=240°. Unghiul înscris = jumătate din arcul subîntins: 240°/2=120°.

  • Răspuns

    D. 120°

6. (5p) Cubul ABCDEFGH are fața ABCD la bază și EFGH deasupra (E deasupra lui A ș.a.m.d.). Măsura unghiului dintre dreptele BF și CD este egală cu:

A B C D E F G H
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°

Vezi rezolvarea
  • BF este o muchie verticală, perpendiculară pe planul bazei ABCD; CD e o muchie din chiar acest plan. Orice dreaptă verticală e perpendiculară pe orice dreaptă din planul bazei, deci unghiul dintre BF și CD este 90°.

  • Răspuns

    D. 90°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Silvia a scris pe o foaie un număr natural pe care, dacă îl împarte la 5, obține restul 2, iar dacă îl împarte la 6, obține restul 3.

a) (2p) Este posibil ca numărul scris de Silvia să fie 158? Justifică răspunsul.
  • 158 = 5·31+3, deci restul împărțirii lui 158 la 5 este 3, nu 2; numărul nu poate fi 158.

b) (3p) Silvia a scris cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț. Determină acest număr.
  • Numerele care dau restul 3 la împărțirea cu 6 sunt 3, 9, 15, 21, 27, ... Verificăm care dă restul 2 la împărțirea cu 5: 3→rest 3, 9→rest 4, 15→rest 0, 21→rest 1, 27→rest 2 ✓. Cel mai mic număr căutat este 27.

2. Se consideră expresia E(x) = [x−4x−2 − 2−xx−4 − 2] : [1x−2], unde x este număr real, x≠2 și x≠4.

a) (2p) Arată că x²−6x+8=(x−2)(x−4), pentru orice număr real x.
  • (x−2)(x−4)=x²−4x−2x+8=x²−6x+8, egalitate adevărată pentru orice x real.

b) (3p) Determină suma soluțiilor ecuației E(x)=x+412, unde x este număr real, x≠2 și x≠4.
  • Observăm că 2−xx−4 = −x−2x−4, deci paranteza devine x−4x−2 + x−2x−4 − 2. Aducem la același numitor (x−2)(x−4): (x−4)²+(x−2)²−2(x−2)(x−4)(x−2)(x−4). Folosind identitatea a²−2ab+b²=(a−b)², cu a=x−4 și b=x−2: numărătorul devine [(x−4)−(x−2)]², adică (−2)²=4, o valoare constantă, nu o expresie cu x. Deci paranteza întreagă = 4x²−6x+8. Împărțind la 1x−2 (deci înmulțind cu x−2): E(x)=4(x−2)(x−2)(x−4)=4x−4. Din E(x)=x+412: 4x−4=x+412 ⇒ 48=(x+4)(x−4)=x²−16 ⇒ x²=64 ⇒ x=8 sau x=−8 (ambele valide). Suma soluțiilor este 8+(−8)=0.

3. În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele A(2,0) și B(6,3).

O A(2,0) B(6,3) x y

a) (2p) Arată că AB=5.
  • AB=√[(6−2)²+(3−0)²]=√(16+9)=√25=5.

b) (3p) Calculează aria triunghiului AOB.
  • O și A se află pe axa Ox, deci OA=2 este o bază orizontală; înălțimea din B pe dreapta OA este |yB|=3. Aria=(12)·OA·h=(12)·2·3=3.

4. Cercul de centru O are AB și CD diametre perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și AB se intersectează în N, cu DN=6 cm și MN=3 cm.

A B C D M N O

a) (2p) Arată că măsura unghiului BMN este egală cu 45°.
  • Unghiul BMN=unghiul BMD (N se află pe dreapta MD). Unghiul BMD e unghi înscris ce subîntinde arcul BD care nu conține M; cum AB⊥CD, acest arc măsoară 90°. Unghiul înscris = jumătate din arcul subîntins: 90°/2=45°.

b) (3p) Calculează aria discului cu centrul în O și raza OD.
  • Notăm r=OD=OA=OB=OC și h=ON. În triunghiul dreptunghic ODN (unghi drept în O): r²+h²=DN²=36. Cum M, N, D sunt coliniare, unghiul ONM=180°−unghiul OND, deci cos(ONM)=−h6. În triunghiul OMN, cu OM=r: r²=h²+MN²−2·h·MN·cos(ONM)=h²+9+h²=2h²+9. Din cele două relații: 36−h²=2h²+9 ⇒ h²=9 ⇒ h=3, apoi r²=36−9=27. Aria discului=π·r²=27π cm².

5. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB=6 cm și AC=8 cm. Punctul Q se află pe latura AB, cu BQ=2 cm. Paralela prin Q la AC intersectează BC în punctul P; G este centrul de greutate al triunghiului ABC, iar AG∩BC={M}.

A B C Q M G P

a) (2p) Calculează lungimea segmentului BC.
  • BC=√(AB²+AC²)=√(36+64)=√100=10 cm.

b) (3p) Determină perimetrul patrulaterului BQGP.
  • QP∥AC, deci triunghiul BQP~triunghiul BAC, cu raportul BQBA=26=13: QP=AC3=83, BP=BC3=103. M este mijlocul lui BC (mediana din A), iar G împarte AM în raportul AG:GM=2:1. Alegând A(0,0), B(6,0), C(0,8): Q(4,0), M(3,4), G(2,83), iar P, intersecția verticalei prin Q (paralelă cu AC) cu BC, este P(4,83). Calculând distanțele: BQ=2, QG=√[(4−2)²+(83)²]=103, GP=|4−2|=2 (G și P au aceeași înălțime), PB=103. Perimetrul BQGP=2+103+2+103=323 cm.

6. Prisma dreaptă ABCA'B'C' are baza triunghiul echilateral ABC, cu AB=12 cm și AA'=3√3 cm.

A B C A' B' C' M

a) (2p) Calculează perimetrul triunghiului ABC.
  • Triunghiul e echilateral cu latura 12 cm: P=3·12=36 cm.

b) (3p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta MC' și planul (B'BC), unde M este mijlocul segmentului AB.
  • Alegem coordonate: A(0,0,0), B(12,0,0), C(6,6√3,0) (triunghi echilateral, latura 12), A'(0,0,3√3), B'(12,0,3√3), C'(6,6√3,3√3), M(6,0,0). Planul (B'BC) conține vectorii BB'=(0,0,3√3) și BC=(−6,6√3,0); normala n=BB'×BC=(−54,−18√3,0), simplificată n=(3,√3,0). Direcția MC'=(0,6√3,3√3). sin(unghi)=|n·MC'|/(|n|·|MC'|)=182√3·3√15=1818√5=1√5, deci cos(unghi)=2√5, iar tangenta unghiului=1/√52/√5=12.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →