Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2025 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2025 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen 25 iunie 2025): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 4+12:2 este egal cu:

  1. A. 6
  2. B. 8
  3. C. 10
  4. D. 12

Vezi rezolvarea
  • Împărțirea înaintea adunării: 12:2=6, apoi 4+6=10.

  • Răspuns

    C. 10

2. (5p) Știind că a2=23, atunci a4 este egal cu:

  1. A. 13
  2. B. 2
  3. C. 3
  4. D. 43

Vezi rezolvarea
  • Din a2=23 rezultă a=43. Atunci a4=(43):4=13. (Altfel: a4 este jumătate din a2, deci (23):2=13.)

  • Răspuns

    A. 13

3. (5p) Produsul numerelor −2 și 5 este egal cu:

  1. A. −3
  2. B. −10
  3. C. 3
  4. D. 10

Vezi rezolvarea
  • Produsul unui număr negativ cu unul pozitiv este negativ: (−2)·5=−10.

  • Răspuns

    B. −10

4. (5p) Soluția ecuației 6x−2=1 este numărul:

  1. A. −12
  2. B. −13
  3. C. 12
  4. D. 13

Vezi rezolvarea
  • 6x=1+2=3, deci x=36=12.

  • Răspuns

    C. 12

5. (5p) Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor a=√(3²+4²) și b=√(3²·4²). Rezultatele obținute sunt: Ana — 17, Maria — 19, Dan — 37, Vlad — 43. Rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Ana
  2. B. Dan
  3. C. Maria
  4. D. Vlad

Vezi rezolvarea
  • a=√(9+16)=√25=5 și b=√(9·16)=√144=12, deci a+b=17. Rezultatul corect l-a obținut Ana.

  • Răspuns

    A. Ana

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, 5 dintre elevii participanți au obținut exact 80 de puncte.” este:

40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 puncte obținute
  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • Pe diagramă, coloana de la 80 de puncte are înălțimea 4, deci exact 4 elevi au obținut 80 de puncte (5 elevi au obținut 70 de puncte). Afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctul B este mijlocul segmentului AC, iar punctul D este simetricul punctului B față de C. Știind că AD=12 cm, lungimea segmentului AC este egală cu:

A B C D
  1. A. 3 cm
  2. B. 4 cm
  3. C. 6 cm
  4. D. 8 cm

Vezi rezolvarea
  • B mijlocul lui AC: AB=BC. D simetricul lui B față de C: CD=BC. Deci AB=BC=CD=x și AD=3x=12 cm, de unde x=4 cm. Atunci AC=2x=8 cm.

  • Răspuns

    D. 8 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOB și BOC, cu ∠BOC=2·∠AOB. Măsura unghiului AOC este egală cu 120° și semidreapta OM este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului AOM este egală cu:

O A B C M
  1. A. 30°
  2. B. 40°
  3. C. 60°
  4. D. 80°

Vezi rezolvarea
  • ∠AOB+∠BOC=120° și ∠BOC=2·∠AOB, deci 3·∠AOB=120°, adică ∠AOB=40° și ∠BOC=80°. OM fiind bisectoare, ∠BOM=80°:2=40°. Atunci ∠AOM=∠AOB+∠BOM=40°+40°=80°.

  • Răspuns

    D. 80°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu ∠BAC=120°. Punctul E aparține segmentului BC, astfel încât CE=4 cm, iar dreptele AB și AE sunt perpendiculare. Lungimea segmentului BC este egală cu:

B C A E
  1. A. 6 cm
  2. B. 8 cm
  3. C. 12 cm
  4. D. 16 cm

Vezi rezolvarea
  • Triunghiul ABC e isoscel cu vârful A și ∠A=120°, deci ∠B=∠C=30°. Din AB⊥AE, ∠BAE=90°, deci ∠EAC=120°−90°=30°=∠C, așadar triunghiul AEC e isoscel: AE=EC=4 cm. În triunghiul dreptunghic ABE, cateta AE se opune unghiului de 30°, deci AE=BE2 și BE=8 cm. Atunci BC=BE+EC=8+4=12 cm.

  • Răspuns

    C. 12 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB=3·BC. Perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 32 cm. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:

D C B A
  1. A. 16 cm²
  2. B. 32 cm²
  3. C. 48 cm²
  4. D. 64 cm²

Vezi rezolvarea
  • Notăm BC=x, deci AB=3x. Perimetrul: 2(3x+x)=8x=32, de unde x=4 cm. Atunci BC=4 cm, AB=12 cm, iar aria este 12·4=48 cm².

  • Răspuns

    C. 48 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, înscris în cercul de centru O. Punctul D aparține arcului mic BC. Măsura unghiului BDC este egală cu:

O A B C D
  1. A. 60°
  2. B. 90°
  3. C. 120°
  4. D. 150°

Vezi rezolvarea
  • Triunghiul ABC e echilateral, deci ∠BAC=60°. Patrulaterul ABDC este înscris în cerc, iar unghiurile opuse sunt suplementare: ∠BDC=180°−∠BAC=180°−60°=120°. (Altfel: ∠BDC este înscris și subîntinde arcul mare BC de 240°, deci măsoară 120°.)

  • Răspuns

    C. 120°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral VAB, cu AB=6 cm. Aria laterală a conului este egală cu:

V A B
  1. A. 18π cm²
  2. B. 27π cm²
  3. C. 36π cm²
  4. D. 54π cm²

Vezi rezolvarea
  • Secțiunea axială e echilaterală cu latura 6 cm, deci generatoarea este G=6 cm, iar diametrul bazei este 6 cm, adică raza r=3 cm. Aria laterală este πrG=π·3·6=18π cm².

  • Răspuns

    A. 18π cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu 75% din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu 40% din prețul unui pix.

a) (2p) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x prețul unui caiet. Prețul unui pix este (75100)·x=(34)·x. Opt pixuri costă 8·(34)·x=6x și, cum 6x≠5x, nu este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete.

b) (3p) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.
  • Prețul unui creion este (40100)·(34)·x=(310)·x. Atunci 3x+4·(34)·x+5·(310)·x=45, adică 3x+3x+(32)·x=45. Amplificând cu 2: 15x=90, de unde x=6. Prețul unui caiet este 6 lei.

2. Se consideră expresia E(x)=(2x−3 − 3x + 2x+3) : 1x²−3x, unde x este număr real, x≠−3, x≠0 și x≠3.

a) (2p) Arată că 2x−3 − 3x + 2x+3 = x²+27x(x−3)(x+3), pentru orice număr real x, x≠−3, x≠0 și x≠3.
  • Aducem la numitorul comun x(x−3)(x+3): 2x(x+3) − 3(x−3)(x+3) + 2x(x−3)x(x−3)(x+3) = 2x²+6x−3x²+27+2x²−6xx(x−3)(x+3) = x²+27x(x−3)(x+3).

b) (3p) Demonstrează că E(n)>6, pentru orice număr natural n, n≠0, n≠3.
  • Cum x²−3x=x(x−3), împărțirea la 1x²−3x înseamnă înmulțire cu x(x−3): E(x)=x²+27x(x−3)(x+3) · x(x−3) = x²+27x+3. Atunci E(n)−6=n²+27−6n−18n+3=n²−6n+9n+3=(n−3)²n+3. Cum n+3>0 și (n−3)²>0 (pentru n≠3), rezultă E(n)−6>0, deci E(n)>6, pentru orice număr natural n, n≠0 și n≠3.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x−4.

O A B x y

a) (2p) Arată că f(2)−f(0)=4.
  • f(2)=2·2−4=0 și f(0)=2·0−4=−4, deci f(2)−f(0)=0−(−4)=4.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Punctul C este simetricul punctului A față de axa Oy. Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 4(√5+1).
  • A(2,0) și B(0,−4). Punctul C este simetricul lui A față de Oy, deci C(−2,0), iar OC=OA=2 și CA=4. În triunghiurile dreptunghice AOB și COB, AB=BC=√(2²+4²)=√20=2√5. Perimetrul triunghiului ABC este 2√5+2√5+4=4√5+4=4(√5+1).

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE, astfel încât punctele D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AC. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 48 cm.

A D C B E

a) (2p) Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu 36√2 cm.
  • Perimetrul pătratului este 48 cm, deci AB=12 cm. Diagonala pătratului este AC=12√2 cm. Triunghiul ACE fiind echilateral, perimetrul lui este 3·AC=3·12√2=36√2 cm.

b) (3p) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AE este egală cu 3√2(√3−1) cm.
  • Triunghiurile ADE și CDE sunt congruente (AD=CD, AE=CE, DE latură comună), deci au aceeași arie. Aria ADE=Aria ACE − Aria ACD2. Aria ACE=AC²·√34=288√34=72√3 cm², iar Aria ACD=12·122=72 cm². Rezultă Aria ADE=72√3−722=36(√3−1) cm². Dacă DM⊥AE, M∈AE, atunci distanța de la D la AE este DM și Aria ADE=AE·DM2, deci DM=2·Aria ADEAE=72(√3−1)12√2=6(√3−1)√2=3√2(√3−1) cm.

5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB∥DC, ∠DAB=90°, AB=8 cm și AD=DC=4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului DC, iar P este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.

D M C B A P

a) (2p) Arată că BC=4√2 cm.
  • Fie CN⊥AB, N∈AB. Atunci CN=AD=4 cm și NB=AB−DC=8−4=4 cm. În triunghiul dreptunghic CNB, BC=√(CN²+NB²)=√(16+16)=4√2 cm.

b) (3p) Calculează aria patrulaterului MPBC.
  • DM∥AB, deci ΔDPM~ΔBPA și PMPA=DMBA=28=14. Fie EF⊥AB, P∈EF, E∈CD, F∈AB; ΔPME~ΔPAF, deci PEPF=PMPA=14. Cum EF=4 cm, rezultă PF=165 cm, iar aria triunghiului APB este AB·PF2=8·16/52=645 cm². Trapezul ABCM are bazele AB=8 cm și MC=2 cm și înălțimea 4 cm, deci aria lui este (8+2)·42=20 cm². Atunci aria MPBC=aria ABCM−aria APB=20−645=365=7,2 cm².

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar dreptele A'B și AB' se intersectează în punctul E. Punctul F este mijlocul segmentului CC'.

D' A' A D C' B' B C O E F

a) (2p) Arată că volumul cubului ABCDA'B'C'D' este egal cu 512 cm³.
  • Volumul cubului este AB³=8³=512 cm³.

b) (3p) Demonstrează că dreptele FO și DE sunt perpendiculare.
  • FO este linie mijlocie în triunghiul ACC' (F mijlocul lui CC', O mijlocul lui AC), deci FO∥AC' și unghiul dintre dreptele FO și DE este egal cu unghiul dintre AC' și DE. Cum AB'∥DC', triunghiurile AQE și C'QD sunt asemenea, unde Q=DE∩AC', iar AQC'Q=QEQD=AEC'D=12; de aici QD=(23)·DE și C'Q=(23)·C'A. Avem DE=4√6 cm și C'A=8√3 cm, deci QD=8√63 cm și C'Q=16√33 cm. Cum C'D=8√2 cm, obținem QD²+C'Q²=128=C'D², deci ∠DQC'=90° (reciproca teoremei lui Pitagora). Așadar unghiul dintre FO și DE este de 90°, adică dreptele FO și DE sunt perpendiculare.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →