Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2024 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2024 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen 27 iunie 2024): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 8+14:2 este egal cu:

  1. A. 6
  2. B. 11
  3. C. 15
  4. D. 22

Vezi rezolvarea
  • Împărțirea înaintea adunării: 14:2=7, apoi 8+7=15.

  • Răspuns

    C. 15

2. (5p) Un album costă 200 de lei. După o reducere cu 20%, prețul albumului este egal cu:

  1. A. 20 de lei
  2. B. 40 de lei
  3. C. 160 de lei
  4. D. 180 de lei

Vezi rezolvarea
  • Reducerea este 20% din 200=40 de lei, deci prețul devine 200−40=160 de lei.

  • Răspuns

    C. 160 de lei

3. (5p) Se consideră intervalele de numere reale I=(−∞,6] și J=(4,+∞). Intersecția intervalelor I și J este intervalul:

  1. A. (−∞,4]
  2. B. (4,6]
  3. C. (6,+∞)
  4. D. [4,6)

Vezi rezolvarea
  • Numerele din ambele intervale sunt cele mai mici sau egale cu 6 și mai mari decât 4 (4 nu aparține lui J, 6 aparține lui I), deci I∩J=(4,6].

  • Răspuns

    B. (4,6]

4. (5p) Cel mai mare număr din mulțimea A={5,(024); 5,(24); 5,2(4); 5,24} este:

  1. A. 5,(024)
  2. B. 5,(24)
  3. C. 5,2(4)
  4. D. 5,24

Vezi rezolvarea
  • Scriem numerele cu mai multe zecimale: 5,(024)=5,024024…; 5,(24)=5,242424…; 5,2(4)=5,244444…; 5,24=5,240000…. Cel mai mare este 5,2(4)=5,2444…

  • Răspuns

    C. 5,2(4)

5. (5p) Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale a și b pentru care |a+3|+|b−4|=0. Răspunsurile lor sunt: Alin — −7, Ioana — −1, Dana — 1, Vlad — 7. Rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Alin
  2. B. Dana
  3. C. Ioana
  4. D. Vlad

Vezi rezolvarea
  • O sumă de module este 0 doar dacă fiecare modul e 0: a+3=0 și b−4=0, deci a=−3 și b=4. Atunci a+b=1, rezultat obținut de Dana.

  • Răspuns

    B. Dana

6. (5p) Afirmația „Numărul 1 este soluția ecuației 2x+3=4x+1.” este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • Pentru x=1: membrul stâng 2·1+3=5, iar membrul drept 4·1+1=5. Egalitatea se verifică, deci afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC=4 cm, AD=4·BC și AB=CD. Lungimea segmentului AB este egală cu:

A B C D
  1. A. 4 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 8 cm
  4. D. 12 cm

Vezi rezolvarea
  • AD=4·BC=16 cm. Cum AD=AB+BC+CD=2·AB+4 (AB=CD), avem 2·AB=12, deci AB=6 cm.

  • Răspuns

    B. 6 cm

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB=AC și măsura unghiului C egală cu 40°. Punctele B, A și D sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului CAD este egală cu:

B A D C
  1. A. 40°
  2. B. 60°
  3. C. 80°
  4. D. 100°

Vezi rezolvarea
  • AB=AC, deci ∠B=∠C=40° și ∠BAC=180°−40°−40°=100°. Unghiurile BAC și CAD sunt adiacente suplementare (B, A, D coliniare), deci ∠CAD=180°−100°=80°.

  • Răspuns

    C. 80°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu măsura unghiului A egală cu 43° și măsura unghiului C egală cu 51°. Punctele M, N și P aparțin laturilor AC, AB, respectiv BC, astfel încât dreapta MN este paralelă cu dreapta BC și dreapta MP este paralelă cu dreapta AB. Măsura unghiului NMP este egală cu:

A B C N M P
  1. A. 43°
  2. B. 51°
  3. C. 86°
  4. D. 94°

Vezi rezolvarea
  • ∠B=180°−43°−51°=86°. Cum MN∥BP și MP∥NB, patrulaterul NMPB este paralelogram, iar unghiurile opuse sunt congruente: ∠NMP=∠B=86°.

  • Răspuns

    C. 86°

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar aria triunghiului ACM este egală cu 10 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

A B C D M
  1. A. 10 cm²
  2. B. 20 cm²
  3. C. 30 cm²
  4. D. 40 cm²

Vezi rezolvarea
  • M este mijlocul lui AB, deci mediana CM împarte triunghiul ABC în două triunghiuri de arii egale: aria ABC=2·10=20 cm². Diagonala AC împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci aria ABCD=2·20=40 cm².

  • Răspuns

    D. 40 cm²

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 6 cm. Punctele A, B și C aparțin cercului, AC este diametru și măsura unghiului BAC este egală cu 30°. Lungimea coardei BC este egală cu:

O A C B
  1. A. 6 cm
  2. B. 6√3 cm
  3. C. 8√3 cm
  4. D. 12 cm

Vezi rezolvarea
  • AC este diametru, deci AC=12 cm și ∠ABC=90° (unghi înscris care subîntinde semicercul). În triunghiul dreptunghic ABC, cateta BC se opune unghiului de 30°, deci BC=AC2=6 cm.

  • Răspuns

    A. 6 cm

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D'. Unghiul dreptelor AC și AD' are măsura egală cu:

A' B' B A D' C' C D
  1. A. 45°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°

Vezi rezolvarea
  • AC este diagonala bazei, AD' este diagonala unei fețe laterale, iar CD' este diagonala altei fețe. Toate cele trei sunt diagonale ale unor fețe congruente (pătrate), deci sunt egale și triunghiul ACD' este echilateral. Unghiul dreptelor AC și AD' este ∠CAD'=60°.

  • Răspuns

    B. 60°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.

a) (2p) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat.
  • Dacă ar fi 30 de elevi, ar trebui așezați câte doi în bănci 30−3=27 de elevi (ceilalți 3 rămân în picioare). Cum 27 este număr impar, el nu se poate împărți exact în perechi, deci nu pot fi 30 de elevi.

b) (3p) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.
  • Notăm cu a numărul elevilor și cu b numărul băncilor. Prima situație: a=2b+3. A doua situație: 5 bănci sunt libere, o bancă are un singur elev, iar celelalte b−6 bănci au câte 4 elevi, deci a=4(b−6)+1. Egalăm: 2b+3=4(b−6)+1=4b−23, deci 26=2b și b=13. Sunt 13 bănci (și 29 de elevi).

2. Se consideră expresia E(x)=(1x²−3x+2 + 1x−1)·(x²−4), unde x este număr real, x≠1 și x≠2.

a) (2p) Arată că x²−3x+2=(x−1)(x−2), pentru orice număr real x.
  • x²−3x+2=x²−2x−x+2=x(x−2)−(x−2)=(x−2)(x−1), pentru orice număr real x.

b) (3p) Determină numerele întregi n, n≠1 și n≠2, pentru care N=5E(n) este număr natural.
  • Cu a), E(x)=(1(x−1)(x−2) + 1x−1)·(x²−4) = (1+x−2(x−1)(x−2))·(x−2)(x+2) = (x−1(x−1)(x−2))·(x−2)(x+2) = x+2, pentru x≠1 și x≠2. Atunci N=5n+2. Ca N să fie număr natural, n+2 trebuie să fie divizor pozitiv al lui 5, adică n+2∈{1,5}, de unde n=−1 sau n=3.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=2x−1.

O A B C x y

a) (2p) Arată că f(0)+f(1)=0.
  • f(0)=2·0−1=−1 și f(1)=2·1−1=1, deci f(0)+f(1)=−1+1=0.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul C(−12, 0) la dreapta AB.
  • A(12,0) (din 2x−1=0) și B(0,−1). Triunghiul AOB e dreptunghic în O, cu OA=12 și OB=1, deci AB=√(14+1)=√52. Fie D piciorul perpendicularei din C pe AB. Cum C(−12,0), AC=12+12=1. Aria triunghiului ABC se poate calcula în două feluri: AC·OB2=AB·CD2, de unde CD=AC·OBAB=1·1√5/2=2√5=2√55.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB=AC. Înălțimea din vârful A intersectează latura BC în punctul D și AD=BC. Înălțimea din vârful B intersectează latura AC în punctul E. Înălțimile AD și BE se intersectează în punctul H.

A B C D E H

a) (2p) Arată că unghiurile DAC și EBC au aceeași măsură.
  • În triunghiul dreptunghic ADC, ∠DAC+∠ACB=90°. În triunghiul dreptunghic BEC, ∠ACB+∠EBC=90°. Rezultă ∠DAC=∠EBC.

b) (3p) Demonstrează că AH=3·HD.
  • Triunghiul ABC este isoscel și AD⊥BC, deci D este mijlocul lui BC: BD=DC=BC2=AD2. Avem ∠HBD=∠EBC=∠DAC și ∠BDH=∠ADC=90°, deci ΔBHD∼ΔACD, de unde HDDC=BDAD. Înlocuind: HDAD/2=AD/2AD=12, deci HD=AD4. Atunci AH=AD−HD=AD−AD4=3·AD4=3·HD.

5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care CD este diametru. Punctul B aparține cercului astfel încât dreptele BO și CD sunt perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și BO se intersectează în punctul N, DN=2·MN și MN=4 cm.

O C D B M N

a) (2p) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°.
  • CD este diametru, deci arcul CD are 180°. Unghiul CMD este înscris în cerc și subîntinde arcul CD, deci ∠CMD=180°:2=90°.

b) (3p) Calculează aria triunghiului DON.
  • ND=2·MN=8 cm, deci MD=ND+NM=12 cm. Unghiurile NDO și MDC sunt același unghi, deci cos(∠NDO)=ODND și cos(∠MDC)=MDCD, adică ODND=MDCD. Cu CD=2·OD: OD8=122·OD, deci OD²=48 și OD=4√3 cm. În triunghiul dreptunghic DON (dreptunghic în O), ON=√(DN²−OD²)=√(64−48)=4 cm. Aria DON=ON·OD2=4·4√32=8√3 cm².

6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABC, AB=12 cm și AA'=3√3 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB.

A' C' B' A C B M

a) (2p) Arată că aria laterală a prismei ABCA'B'C' este egală cu 108√3 cm².
  • Fiecare față laterală este un dreptunghi cu dimensiunile AB=12 cm și AA'=3√3 cm, deci aria unei fețe este 12·3√3=36√3 cm². Aria laterală este 3·36√3=108√3 cm².

b) (3p) Determină distanța de la punctul M la planul (A'B'C).
  • Fie N mijlocul lui A'B'. Cum A'C=B'C (triunghiuri dreptunghice congruente), CN⊥A'B'; de asemenea MN⊥A'B' (MN∥AA'). Atunci A'B'⊥(CMN). Ducem MP⊥CN, P∈CN. Cum A'B'⊥(CMN) și MP⊂(CMN), avem A'B'⊥MP; împreună cu MP⊥CN rezultă MP⊥(A'B'C), deci distanța căutată este MP. Triunghiul MNC este dreptunghic în M, cu MN=AA'=3√3 cm și CM=12√32=6√3 cm (înălțime în triunghiul echilateral ABC). Atunci CN=√(27+108)=√135=3√15 cm, iar MP=MN·MCCN=3√3·6√33√15=543√15=18√15=6√155 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →