Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2026 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2026 la Matematică: rezerva

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Rezervă iunie 2026): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 27−24:3 este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 1
  3. C. 17
  4. D. 19

Vezi rezolvarea
  • Împărțirea se face înaintea scăderii: 24:3=8, apoi 27−8=19. (1 ar ieși calculând greșit (27−24):3.)

  • Răspuns

    D. 19

2. (5p) Știind că a3=b4=5, rezultatul calculului a+b este egal cu:

  1. A. 7
  2. B. 10
  3. C. 12
  4. D. 35

Vezi rezolvarea
  • Din a3=5 rezultă a=15, iar din b4=5 rezultă b=20. Atunci a+b=35.

  • Răspuns

    D. 35

3. (5p) Soluția ecuației 5−x=5 este numărul:

  1. A. −1
  2. B. −10
  3. C. 0
  4. D. 10

Vezi rezolvarea
  • 5−x=5 ⇔ x=5−5=0.

  • Răspuns

    C. 0

4. (5p) Inversul numărului 59 este numărul:

  1. A. −59
  2. B. −95
  3. C. 59
  4. D. 95

Vezi rezolvarea
  • Inversul unui număr nenul a este 1a, adică numărul cu care înmulțit dă 1: (59)·(95)=1. Atenție: −59 este opusul, nu inversul.

  • Răspuns

    D. 95

5. (5p) Patru elevi, Mihai, Cristina, Ionuț și Ana, calculează produsul numerelor a=5−2√6 și b=5+2√6. Rezultatele lor sunt: Mihai — 10, Cristina — 1, Ionuț — 4√6, Ana — 10+4√6. Conform acestor informații, rezultatul corect a fost obținut de:

  1. A. Ana
  2. B. Cristina
  3. C. Ionuț
  4. D. Mihai

Vezi rezolvarea
  • Formula (x−y)(x+y)=x²−y²: a·b=5²−(2√6)²=25−4·6=25−24=1. Rezultatul corect l-a obținut Cristina. (10+4√6 ar fi suma, iar 10 e a+b.)

  • Răspuns

    B. Cristina

6. (5p) Un telefon care costă 1000 de lei se scumpește cu 20%. Matei afirmă: „Noul preț al telefonului este 1200 de lei.”. Afirmația lui Matei este:

  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • 20% din 1000 de lei este 200 de lei, deci noul preț este 1000+200=1200 de lei. Afirmația este adevărată.

  • Răspuns

    A. adevărată

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Dacă AB=2 cm, CD=2·AB și AD=9 cm, atunci lungimea segmentului BC este egală cu:

A B C D
  1. A. 3 cm
  2. B. 5 cm
  3. C. 6 cm
  4. D. 7 cm

Vezi rezolvarea
  • CD=2·2=4 cm. Cum AD=AB+BC+CD, avem 9=2+BC+4, deci BC=3 cm.

  • Răspuns

    A. 3 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente AOB, BOC și COA. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului AOB și semidreapta OE este bisectoarea unghiului DOB. Măsura unghiului EOC este egală cu:

O B A C D E
  1. A. 60°
  2. B. 90°
  3. C. 120°
  4. D. 150°

Vezi rezolvarea
  • Cele trei unghiuri congruente formează împreună un unghi în jurul punctului (360°), deci fiecare are 120°. OD e bisectoarea lui AOB: ∢DOB=60°. OE e bisectoarea lui DOB: ∢EOB=30°. Atunci ∢EOC=∢EOB+∢BOC=30°+120°=150°.

  • Răspuns

    D. 150°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC=4 cm și măsura unghiului C egală cu 30°. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Perimetrul triunghiului ABM este egal cu:

A B C M
  1. A. √3 cm
  2. B. 6 cm
  3. C. 6√3 cm
  4. D. 8 cm

Vezi rezolvarea
  • Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: AB=BC2=2 cm. BM=BC2=2 cm, iar AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci AM=BC2=2 cm. Perimetrul triunghiului ABM (de fapt echilateral) este 2+2+2=6 cm.

  • Răspuns

    B. 6 cm

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD, cu AB∥CD și AD=BC=DC. Măsura unghiului DAC este egală cu 20°. Măsura unghiului ABC este egală cu:

A B C D
  1. A. 20°
  2. B. 30°
  3. C. 40°
  4. D. 60°

Vezi rezolvarea
  • AD=DC, deci triunghiul ADC este isoscel: ∢DCA=∢DAC=20°. AB∥CD, cu secanta AC: ∢CAB=∢DCA=20° (alterne interne). Atunci ∢DAB=20°+20°=40°. Trapezul e isoscel (AD=BC), deci unghiurile de la baza mare sunt egale: ∢ABC=∢DAB=40°.

  • Răspuns

    C. 40°

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, înscris în cercul de centru O. Dacă măsura unghiului ABO este egală cu 30°, atunci măsura unghiului ACB este egală cu:

O A B C
  1. A. 30°
  2. B. 60°
  3. C. 90°
  4. D. 120°

Vezi rezolvarea
  • OA=OB (raze), deci triunghiul AOB este isoscel: ∢OAB=∢OBA=30° și ∢AOB=180°−60°=120°. Unghiul ACB este înscris în cerc și subîntinde arcul AB, al cărui unghi la centru este AOB, deci ∢ACB=120°:2=60°.

  • Răspuns

    B. 60°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului dreptelor AC și C'D' este egală cu:

A B C D A' B' C' D'
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°

Vezi rezolvarea
  • C'D'∥CD (muchii opuse ale fețelor laterale), deci unghiul dreptelor AC și C'D' este egal cu unghiul dreptelor AC și CD, adică ∢ACD. AC este diagonala pătratului ABCD, care e și bisectoarea unghiului drept, deci ∢ACD=45°.

  • Răspuns

    B. 45°

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește 45 de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial.

a) (2p) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat.
  • Notăm cu x suma inițială. În prima zi cheltuiește x4, iar după prima zi îi rămân x−x4=3x4. În a doua zi cheltuiește un sfert din rest: (14)·3x4=3x16. Cum 3x16 < 4x16=x4, Maria a cheltuit în a doua zi mai puțin decât în prima, deci nu este posibil.

b) (3p) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.
  • Cheltuielile plus restul dau suma inițială: x4+3x16+45+x4=x. Aducând la numitorul 16: 4x+3x+4x16+45=x, adică 11x16+45=x, deci 5x16=45 și x=144 de lei. Verificare: 36 de lei în prima zi, 27 în a doua, 45 în a treia, rămân 36=1444 lei.

2. Se consideră expresia E(x)=(7x²−4 + 2x−2 + 3x+2) : 5(x²+2x+1)x−2, unde x este număr real, x≠−2, x≠−1 și x≠2.

a) (2p) Arată că 7x²−4 + 2x−2 + 3x+2 = 5(x+1)(x−2)(x+2), pentru orice număr real x, x≠−2 și x≠2.
  • Cum x²−4=(x−2)(x+2), numitorul comun este (x−2)(x+2): 7+2(x+2)+3(x−2)(x−2)(x+2) = 7+2x+4+3x−6(x−2)(x+2) = 5x+5(x−2)(x+2) = 5(x+1)(x−2)(x+2).

b) (3p) Determină numărul natural n, n≠2, pentru care E(n)=16.
  • Cum x²+2x+1=(x+1)², împărțirea înseamnă înmulțire cu inversul: E(x)=5(x+1)(x−2)(x+2) · x−25(x+1)² = 1(x+2)(x+1). Din E(n)=16 obținem (n+1)(n+2)=6. Pentru n natural, produsul a două numere naturale consecutive egal cu 6=2·3 dă n+1=2, deci n=1.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=(32)·x+3.

O A B x y

a) (2p) Arată că f(−1)+f(1)=6.
  • f(−1)=−32+3=32 și f(1)=32+3=92, deci f(−1)+f(1)=32+92=122=6.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Arată că distanța de la punctul C(2,3) la dreapta AB este egală cu 6√1313.
  • f(x)=0 ⇔ x=−2, deci A(−2,0); f(0)=3, deci B(0,3). AB=√(2²+3²)=√13. Punctele B(0,3) și C(2,3) au aceeași ordonată, deci BC=2 și dreapta BC este paralelă cu Ox, la distanța 3 de A. Calculăm aria triunghiului ABC în două moduri: BC·d(A,BC)2=2·32=3 și AB·d(C,AB)2=√13·d(C,AB)2. Din √13·d(C,AB)2=3 obținem d(C,AB)=6√13=6√1313.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB=AC. Punctul O este mijlocul laturii BC, iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC, astfel încât ∢BDC=90° și ∢BCD=60°.

A B C O D E

a) (2p) Demonstrează că AO=CD.
  • AO este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC, deci AO=BC2. În triunghiul BDC, dreptunghic în D, ∢DBC=90°−60°=30°, iar cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: CD=BC2. Rezultă AO=CD.

b) (3p) Arată că AB=CE, unde punctul E aparține segmentului BD, astfel încât ∢BCE=15°.
  • ∢ECD=∢BCD−∢BCE=60°−15°=45°, deci triunghiul CDE (dreptunghic în D) este dreptunghic isoscel. Triunghiul AOB este și el dreptunghic isoscel, cu ∢AOB=90° (mediana AO în triunghiul isoscel ABC este și înălțime) și OA=OB=BC2. Triunghiurile AOB și CDE sunt dreptunghice isoscele cu catetele congruente (AO=CD, din punctul a), deci sunt congruente, iar ipotenuzele lor sunt egale: AB=CE.

5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB=6 cm și BC=3 cm. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar dreptele AC și DM se intersectează în punctul P.

A B C D M P T

a) (2p) Arată că CP=2·AP.
  • AM∥DC (laturi opuse ale dreptunghiului), deci triunghiurile APM și CPD sunt asemenea. Atunci APCP=AMCD=36=12, adică CP=2·AP.

b) (3p) Determină lungimea segmentului MT, unde punctul T este mijlocul segmentului CP.
  • În triunghiul ABC, dreptunghic în B: AC=√(6²+3²)=√45=3√5 cm. Din punctul a, CP=(23)·AC=2√5 cm. Triunghiurile AMD și BMC sunt dreptunghice isoscele (AM=AD=3 cm, MB=BC=3 cm), deci ∢AMD=∢BMC=45° și ∢PMC=∢DMC=180°−45°−45°=90°. În triunghiul dreptunghic PMC, MT este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci MT=CP2=√5 cm.

6. În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCD, cu baza ABCD, VA=AB=12 cm. Punctul M este mijlocul muchiei VA, iar punctul N este proiecția punctului M pe planul (ABC).

V A B C D M N

a) (2p) Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu 288√2 cm³.
  • Fie O centrul bazei (AC∩BD); VO⊥(ABC). AC=12√2 cm, deci AO=6√2 cm. În triunghiul dreptunghic VOA: VO=√(VA²−AO²)=√(144−72)=√72=6√2 cm. Volumul este Aria bazei·VO3=144·6√23=288√2 cm³.

b) (3p) Determină tangenta unghiului dintre dreapta MN și planul (VAD).
  • MN∥VO și M este mijlocul lui VA, deci N este mijlocul lui AO și MN=VO2=3√2 cm (linie mijlocie în triunghiul VAO). Ducem NQ⊥AD, Q∈AD. Cum MN⊥(ABC), avem MN⊥AD, deci AD⊥(MNQ). Ducem NT⊥MQ, T∈MQ; NT este în planul (MNQ), deci NT⊥AD, și cum MQ și AD se intersectează în Q, NT⊥(VAD) (M și Q sunt în planul VAD). Proiecția dreptei MN pe planul (VAD) este MT, deci unghiul căutat este ∢NMQ. N este mijlocul lui AO, iar distanța de la O la AD este AB2=6 cm, deci NQ=3 cm. În triunghiul MNQ, dreptunghic în N: tg(∢NMQ)=NQMN=33√2=√22.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →