Acasă / Gimnaziu / Evaluare Națională 2023 / Rezolvare

Rezolvare Evaluare Națională 2023 la Matematică: examenul oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Evaluare Națională la Matematică, clasa a VIII-a (Examen iunie 2023): răspunsul explicat la fiecare dintre cele 12 grile de la Subiectele I și II și rezolvarea completă a celor 12 cerințe de la Subiectul al III-lea. Încearcă singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea”.

Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF) Rezolvă-l interactiv

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului 15−(3+4) este egal cu:

  1. A. 3
  2. B. 8
  3. C. 16
  4. D. 22

Vezi rezolvarea
  • Întâi paranteza: 3+4=7, apoi 15−7=8.

  • Răspuns

    B. 8

2. (5p) Știind că xy=52, y≠0, rezultatul calculului 2x−5y+10 este egal cu:

  1. A. 0
  2. B. 7
  3. C. 10
  4. D. 17

Vezi rezolvarea
  • Din xy=52 rezultă 2x=5y, deci 2x−5y=0. Atunci 2x−5y+10=0+10=10.

  • Răspuns

    C. 10

3. (5p) Produsul dintre numărul 3 și opusul numărului 3 este egal cu:

  1. A. −6
  2. B. −9
  3. C. 0
  4. D. 1

Vezi rezolvarea
  • Opusul lui 3 este −3, iar produsul este 3·(−3)=−9.

  • Răspuns

    B. −9

4. (5p) Numărul care reprezintă 23 din 12 este egal cu:

  1. A. 2
  2. B. 4
  3. C. 8
  4. D. 12

Vezi rezolvarea
  • 12:3=4 (o treime), iar două treimi înseamnă 2·4=8.

  • Răspuns

    C. 8

5. (5p) Profesorul întreabă care este cel mai mare număr întreg din intervalul (−2,5). Răspunsurile date de elevii Andreea, Marina, David și Vlad sunt: Andreea — −3, Marina — −2, David — 5, Vlad — 4. Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:

  1. A. Andreea
  2. B. David
  3. C. Marina
  4. D. Vlad

Vezi rezolvarea
  • Intervalul (−2,5) este deschis, deci nu conține capetele −2 și 5. Numerele întregi din interval sunt −1, 0, 1, 2, 3, 4, iar cel mai mare este 4. A răspuns corect Vlad.

  • Răspuns

    D. Vlad

6. (5p) În diagrama alăturată sunt prezentate rezultatele obținute la un test la matematică de către elevii unei clase a VIII-a. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, la acest test nota 7 a fost obținută de 10 elevi.” este:

4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 nota obținută (număr de elevi)
  1. A. adevărată
  2. B. falsă

Vezi rezolvarea
  • Coloana pentru nota 7 are înălțimea 8, deci nota 7 a fost obținută de 8 elevi, nu de 10. Afirmația este falsă.

  • Răspuns

    B. falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AB=BC=CD, iar lungimea segmentului AC este egală cu 10 cm. Lungimea segmentului AD este egală cu:

A B C D
  1. A. 5 cm
  2. B. 10 cm
  3. C. 15 cm
  4. D. 20 cm

Vezi rezolvarea
  • AC=AB+BC=2·AB=10 cm, deci AB=5 cm. Atunci AD=AB+BC+CD=3·5=15 cm.

  • Răspuns

    C. 15 cm

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, O și B, în această ordine. Punctele M și N sunt de aceeași parte a dreptei AB, astfel încât măsura unghiului MOA este egală cu 30° și dreapta ON este perpendiculară pe dreapta AB. Măsura unghiului MON este egală cu:

A O B N M
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 90°

Vezi rezolvarea
  • ON⊥AB, deci ∠AON=90°. M se află în interiorul unghiului AON (de aceeași parte a dreptei AB), iar ∠MOA=30°, deci ∠MON=∠AON−∠MOA=90°−30°=60°.

  • Răspuns

    C. 60°

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu aria de 15 cm². Punctul M se află pe segmentul BC, astfel încât BC=3·BM. Aria triunghiului AMC este egală cu:

A C B M
  1. A. 5 cm²
  2. B. 7,5 cm²
  3. C. 10 cm²
  4. D. 12,5 cm²

Vezi rezolvarea
  • Triunghiurile ABC și AMC au aceeași înălțime din A. BM=BC3, deci MC=BC−BM=(23)·BC. Atunci aria AMC=(23)·aria ABC=(23)·15=10 cm².

  • Răspuns

    C. 10 cm²

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu perimetrul egal cu 40 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:

A B C D
  1. A. 10 cm
  2. B. 10√2 cm
  3. C. 10√3 cm
  4. D. 20 cm

Vezi rezolvarea
  • Perimetrul 40 cm înseamnă latura 40:4=10 cm. Diagonala pătratului este AC=10√2 cm (din teorema lui Pitagora: √(10²+10²)=√200=10√2).

  • Răspuns

    B. 10√2 cm

5. (5p) În figura alăturată, punctele distincte A, B, C, D, E, F, G și H sunt reprezentate pe cercul de centru O, astfel încât arcele mici AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH și HA sunt congruente. Măsura arcului mic BC este egală cu:

O A B C D E F G H
  1. A. 30°
  2. B. 45°
  3. C. 60°
  4. D. 75°

Vezi rezolvarea
  • Cele 8 arce congruente acoperă tot cercul (360°), deci fiecare are 360°:8=45°.

  • Răspuns

    B. 45°

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu AB=5 cm. Lungimea segmentului BD' este egală cu:

A' B' B A D' C' C D
  1. A. 5 cm
  2. B. 5√2 cm
  3. C. 5√3 cm
  4. D. 10 cm

Vezi rezolvarea
  • BD' este diagonala cubului: BD'=AB·√3=5√3 cm (în triunghiul dreptunghic BDD', BD=5√2 și DD'=5, deci BD'=√(50+25)=√75=5√3).

  • Răspuns

    C. 5√3 cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani.

a) (2p) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat.
  • Peste 2 ani vârsta Mariei va fi 14+2=16 ani, iar a tatălui ei 40+2=42 de ani. Cum 16+42=58≠60, nu este posibil ca peste 2 ani suma vârstelor să fie 60 de ani.

b) (3p) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.
  • Notăm cu x numărul de ani care vor trece. Atunci 14+x=(12)·(40+x). Amplificând cu 2: 28+2x=40+x, de unde x=12. Peste 12 ani Maria va avea 26 de ani, iar tatăl ei 52, jumătate din 52 fiind 26.

2. Se consideră expresia E(x)=(1(x+1)(x+2) + 1x+2) : (x+35(x+1)), unde x este număr real, x≠−3, x≠−2 și x≠−1.

a) (2p) Arată că 1(x+1)(x+2) + 1x+2 = 1x+1, pentru orice număr real x, x≠−2 și x≠−1.
  • 1(x+1)(x+2) + 1x+2 = 1+(x+1)(x+1)(x+2) = x+2(x+1)(x+2) = 1x+1, pentru orice x real, x≠−2 și x≠−1.

b) (3p) Determină suma soluțiilor ecuației E(x)=x−38, unde x este număr real, x≠−3, x≠−2 și x≠−1.
  • Cu a), E(x)=(1x+1)·(5(x+1)x+3)=5x+3, pentru x≠−3, x≠−2, x≠−1. Ecuația devine 5x+3=x−38, adică 40=(x−3)(x+3)=x²−9, deci x²=49. Rezultă x=−7 sau x=7, ambele convenind (sunt diferite de −3, −2, −1). Suma soluțiilor ecuației este −7+7=0.

3. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=−x+5.

O A B P x y

a) (2p) Arată că f(4)+f(6)=0.
  • f(4)=−4+5=1 și f(6)=−6+5=−1, deci f(4)+f(6)=1+(−1)=0.

b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției f intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează distanța de la punctul P(0,−3) la dreapta AB.
  • A(5,0) și B(0,5). În triunghiul dreptunghic AOB, AB=√(AO²+OB²)=√(25+25)=5√2. P(0,−3) se află pe axa Oy, deci PB=5−(−3)=8, iar înălțimea din A a triunghiului PAB pe latura PB este AO=5. Aria triunghiului PAB=PB·AO2=8·52=20. Dar aria este și d(P,AB)·AB2, deci d(P,AB)=2·205√2=8√2=4√2.

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB∥CD și BC=10 cm. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC și măsura unghiului ABD este egală cu 15°.

A B C D E

a) (2p) Determină măsura unghiului BCD.
  • BD este bisectoarea unghiului ABC, iar ∠ABD=15°, deci ∠ABC=30°. ABCD este trapez cu AB∥CD, deci unghiurile ABC și BCD sunt suplementare: ∠BCD=180°−30°=150°.

b) (3p) Arată că AB−AD<14 cm.
  • Din AB∥CD și secanta BD: ∠CDB=∠ABD=15°=∠CBD, deci triunghiul BCD este isoscel cu CD=BC=10 cm. Fie CE⊥AB, E∈AB; atunci AECD este dreptunghi, deci AD=CE și AE=CD=10 cm. În triunghiul dreptunghic CEB, ∠CBE=30°, deci CE=BC2=5 cm și BE=5√3 cm. Rezultă AD=5 cm și AB=AE+EB=10+5√3 cm, deci AB−AD=5+5√3 cm. Cum 5+5√3<14 ⇔ 5√3<9 ⇔ √75<√81 (adevărat), obținem AB−AD<14 cm.

5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB=9√10 cm și AC=30 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Dreptele BC și AM se intersectează în punctul E, iar dreptele OE și CD se intersectează în punctul P.

A B C D E M O P S

a) (2p) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm².
  • În triunghiul dreptunghic ABC, BC²=AC²−AB²=900−(9√10)²=900−810=90, deci BC=3√10 cm. Aria ABCD=AB·BC=9√10·3√10=27·10=270 cm².

b) (3p) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.
  • Triunghiurile MCE și MDA sunt congruente (MC=MD, ∠MCE=∠MDA=90°, ∠CME=∠DMA, unghiuri opuse la vârf), deci ME=MA, adică M este mijlocul lui AE. CM și EO sunt mediane în triunghiul ACE (M mijlocul lui AE, O mijlocul lui AC), iar CD∩EO={P}, deci P este centrul de greutate al triunghiului ACE și MPMC=13. AM și DO sunt mediane în triunghiul ACD (M mijlocul lui CD, O mijlocul lui AC), iar AM∩DO={S}, deci S este centrul de greutate al triunghiului ACD și MSMA=13. Atunci MPMC=MSMA=13 și ∠SMP=∠AMC (același unghi), deci ΔSMP∼ΔAMC, de unde SPAC=13 și SP=AC3=10 cm.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D' cu AB=10 cm.

A' B' B A D' C' C D

a) (2p) Arată că măsura unghiului dreptelor AB' și BC' este egală cu 60°.
  • AB'∥DC' (fețele ABB'A' și DCC'D' sunt paralele, iar AB' și DC' sunt diagonale corespunzătoare), deci ∠(AB',BC')=∠(DC',BC'). Cum BC'=DC'=DB (diagonale ale unor fețe congruente ale cubului), triunghiul BC'D este echilateral, deci ∠(AB',BC')=∠BC'D=60°.

b) (3p) Calculează distanța de la punctul C la planul (BDC').
  • Fie AC∩BD={O}. CC'⊥(ABC) și BD⊂(ABC), deci BD⊥CC'; cum și BD⊥AC, rezultă BD⊥(CC'O). Fie CP⊥C'O, P∈C'O. Atunci CP⊥BD (CP⊂(CC'O)), iar CP⊥C'O, deci CP⊥(BDC'), adică CP este distanța de la C la planul (BDC'). Triunghiul C'CO este dreptunghic în C, cu CC'=10 cm și CO=5√2 cm, deci C'O=√(100+50)=5√6 cm. Atunci CP=CO·CC'C'O=5√2·105√6=10√3=10√33 cm.

Alte rezolvări de Evaluare Națională

Toate subiectele de Evaluare Națională, din 2020 încoace →