Rezolvare BAC 2023 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (iunie–iulie), pas cu pas

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 3 + i. Arătați că z(z − 2i) = 10.

z − 2i = 3 − i, deci z(z − 2i) = (3 + i)(3 − i).
(3 + i)(3 − i) = 3² − i² = 9 + 1 = 10.
Răspuns
10

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 5x + 1. Arătați că f(2x) − 2f(x) = −1, pentru orice număr real x.

f(2x) = 10x + 1 și 2f(x) = 10x + 2.
f(2x) − 2f(x) = 10x + 1 − 10x − 2 = −1.
Răspuns
−1

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x³ − 2x + 2) = x.

Ridicând la puterea a treia: x³ − 2x + 2 = x³.
−2x + 2 = 0, deci x = 1.
Răspuns
x = 1

4. (5p) Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A, numărul n + 5 să fie multiplu de 10.

A are 90 de elemente (10, …, 99).
n + 5 e multiplu de 10 exact când n se termină în 5: 15, 25, …, 95, adică 9 numere.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0) și B(5,4). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB.

Panta lui AB: 4 − 05 − 4 = 4; dreptele paralele au aceeași pantă, deci m_d = 4.
Dreapta prin O(0,0) cu panta 4: y = 4x.
Răspuns
y = 4x

6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 4. Arătați că BC = 4.

AB = AC, deci aria = AB²2 = 4 și AB = 2√2.
BC = AB√2 = 2√2·√2 = 4.
Răspuns
BC = 4

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 2121−1aaa+1−2 și sistemul de ecuații 2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 8.

A(0) = 2121−1001−2.
Prin regula lui Sarrus: det(A(0)) = 4 + 0 + 2 − 0 − 0 + 2 = 8.
Răspuns
8

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

det(A(a)) = −a² + 2a + 8.
−a² + 2a + 8 = 0 ⇔ a² − 2a − 8 = 0 ⇔ a = −2 sau a = 4.
Matricea e inversabilă exact când determinantul e nenul: a ∈ R \ {−2, 4}.
Răspuns
a ∈ R \ {−2, 4}

c) (5p) Pentru a = −2, arătați că x₀z₀ + y₀ = −2, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații.

Pentru a = −2: 2x + y + 2z = 2, x − y − 2z = 4, −2x − y − 2z = −2.
Adunând primele două ecuații: 3x = 6, deci x = 2; din prima, y = −2 − 2z (a treia dă aceeași relație). Soluțiile sunt (2, −2 − 2α, α), α ∈ R.
x₀z₀ + y₀ = 2α − 2 − 2α = −2, pentru orice soluție.
Răspuns
x₀z₀ + y₀ = −2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy + (2ˣ − 2)(2ʸ − 2).

a) (5p) Arătați că 2∘3 = 18.

2∘3 = 6 + (4 − 2)(8 − 2) = 6 + 12 = 18.
Răspuns
18

b) (5p) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

2¹ − 2 = 0, deci x∘1 = x + (2ˣ − 2)·0 = x.
La fel, 1∘x = x + 0·(2ˣ − 2) = x, pentru orice x real, deci e = 1 e element neutru.
Răspuns
e = 1

c) (5p) Demonstrați că x∘(−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.

x∘(−x) = −x² + (2ˣ − 2)(2⁻ˣ − 2) = −x² + 1 − 2·2ˣ − 2·2⁻ˣ + 4 = 5 − x² − 2(2ˣ + 2⁻ˣ).
Din inegalitatea mediilor, 2ˣ + 2⁻ˣ ≥ 2·√(2ˣ·2⁻ˣ) = 2.
Deci x∘(−x) ≤ 5 − x² − 4 = 1 − x² ≤ 1.
Răspuns
x∘(−x) ≤ 1

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = x + 3ln(x + 3x − 1).

a) (5p) Arătați că f'(x) = x² + 2x − 15(x − 1)(x + 3), x∈(1,+∞).

f(x) = x + 3ln(x + 3) − 3ln(x − 1), deci f'(x) = 1 + 3x + 3 − 3x − 1.
La numitor comun: (x + 3)(x − 1) + 3(x − 1) − 3(x + 3)(x + 3)(x − 1) = x² + 2x − 15(x − 1)(x + 3).
Răspuns
f'(x) = x² + 2x − 15(x − 1)(x + 3)

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

x + 3x − 1 → 1, deci ln(x + 3x − 1) → 0 când x → +∞.
m = limx→+∞ f(x)x = 1 și n = limx→+∞ (f(x) − x) = 3·ln1 = 0.
Asimptota oblică spre +∞ este y = x.
Răspuns
y = x

c) (5p) Arătați că ln(x + 33(x − 1)) ≥ 1 − x3, pentru orice x∈(1,+∞).

x² + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5), deci f'(x) ≤ 0 pe (1, 3] și f'(x) ≥ 0 pe [3, +∞): minimul lui f e f(3) = 3 + 3ln3.
Așadar x + 3ln(x + 3x − 1) ≥ 3 + 3ln3, pentru orice x > 1.
Împărțind la 3 și trecând termenii: ln(x + 3x − 1) − ln3 ≥ 1 − x3, adică ln(x + 33(x − 1)) ≥ 1 − x3.
Răspuns
ln(x + 33(x − 1)) ≥ 1 − x3

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 2x)e⁻ˣ.

a) (5p) Arătați că ∫[0,3] f(x)eˣ dx = 18.

f(x)eˣ = x² + 2x.
∫[0,3] (x² + 2x) dx = [x³3 + x²] de la 0 la 3 = 9 + 9 = 18.
Răspuns
18

b) (5p) Arătați că ∫[0,1] f(x)x + 2 dx = e − 2e.

f(x)x + 2 = x·e⁻ˣ.
Prin părți: ∫ x·e⁻ˣ dx = −x·e⁻ˣ − e⁻ˣ = −(x + 1)e⁻ˣ.
Valoarea: −2e + 1 = e − 2e.
Răspuns
e − 2e

c) (5p) Demonstrați că limx→0 (1x²)·∫[0,x] f(t) dt = 1.

Numărătorul și x² tind la 0; cu regula lui l'Hôpital (derivata integralei e f(x), a lui x² e 2x):
limx→0 f(x)2x = limx→0 (x + 2)e⁻ˣ2 = 22 = 1.
Răspuns
1

Rezolvare BAC 2023 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (iunie–iulie)