Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (iunie–iulie)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (iunie–iulie) 2023 (Proba E.c) — 27.06.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 4 − 6√3 + 3(2√3 − 1) = 1.

4 − 6√3 + 6√3 − 3 = 1.
Răspuns
1

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 5x − 3 și g:R→R, g(x) = 2x + 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = g(a).

5a − 3 = 2a + 3, deci 3a = 6 și a = 2.
Răspuns
a = 2

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2²ˣ⁺¹·2³ = 1.

2²ˣ⁺¹·2³ = 2²ˣ⁺⁴ = 2⁰, deci 2x + 4 = 0 și x = −2.
Răspuns
x = −2

4. (5p) Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {3, 4, 5, 6}.

Cifra zecilor se alege în 4 moduri.
Cifra unităților, diferită de ea, în 3 moduri: în total 4·3 = 12 numere.
Răspuns
12 numere

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0), B(0,2), C(3,3) și M, mijlocul segmentului AB. Arătați că segmentele MO și MC au lungimile egale.

M(2, 1).
MO = √(2² + 1²) = √5 și MC = √(1² + 2²) = √5, deci MO = MC.
Răspuns
MO = MC = √5

6. (5p) Se consideră E(x) = 2sin x·sin2x − cos x, unde x este număr real. Arătați că E(π6) = 0.

sin(π6) = 12, sin(π3) = √32 și cos(π6) = √32.
E(π6) = 2·(12)·(√32) − √32 = 0.
Răspuns
0

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 3+a2−2a1−a1+3a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 3211, deci det(A(0)) = 3211 = 3 − 2 = 1.
Răspuns
1

b) (5p) Arătați că A(0)·(A(a) − A(0)) = aI₂, pentru orice număr real a.

A(a) − A(0) = a−2a−a3a.
A(0)·(A(a) − A(0)) = 3211·a−2a−a3a = a00a = aI₂.
Răspuns
A(0)·(A(a) − A(0)) = aI₂

c) (5p) Demonstrați că det(A(a²) − aA(a)) ≥ 0, pentru orice număr real a.

A(a²) − aA(a) = 3−3a2−2a1−a1−a.
Determinantul: (3 − 3a)(1 − a) − (2 − 2a)(1 − a) = 3(1 − a)² − 2(1 − a)² = (1 − a)² ≥ 0.
Răspuns
det = (1 − a)² ≥ 0

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x² − 4xy + 3y².

a) (5p) Arătați că 0∘2 = 12.

0∘2 = 0 − 0 + 3·4 = 12.
Răspuns
12

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care (2x)∘x = −1.

(2x)∘x = 4x² − 8x² + 3x² = −x².
−x² = −1, deci x = −1 sau x = 1.
Răspuns
x = −1 sau x = 1

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m∘n = 3.

m∘n = m² − 4mn + 3n² = (m − n)(m − 3n).
Cum m < n, factorul m − n e negativ, deci și m − 3n e negativ: (m − n, m − 3n) ∈ {(−1, −3), (−3, −1)}.
Din m − n = −1, m − 3n = −3 obținem n = 1, m = 0; din m − n = −3, m − 3n = −1 obținem n = −1, m = −4.
Răspuns
(−4, −1) și (0, 1)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 5 + 4x − 4x².

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4(2 − x)x³, x∈(0,+∞).

f'(x) = 4x² − (4x − 4)·2xx⁴ = −4x² + 8xx⁴.
Simplificând cu x: f'(x) = 4(2 − x)x³.
Răspuns
f'(x) = 4(2 − x)x³

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

4x − 4x² = 4x − 4x² → 0, deci limx→+∞ f(x) = 5.
Asimptota orizontală spre +∞ este y = 5.
Răspuns
y = 5

c) (5p) Demonstrați că |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y∈[1,+∞).

f' ≥ 0 pe [1, 2] și f' ≤ 0 pe [2, +∞): f crește până la f(2) = 6, apoi scade spre 5.
f(1) = 5 și pentru x ≥ 1, 4x − 4x² ≥ 0, deci 5 ≤ f(x) ≤ 6 pe [1, +∞).
Două valori din intervalul [5, 6] diferă cu cel mult 1: |f(x) − f(y)| ≤ 1.
Răspuns
|f(x) − f(y)| ≤ 1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 3x² + 4ln x.

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] (f(x) − 4ln x) dx = 7.

f(x) − 4ln x = 3x².
∫[1,2] 3x² dx = [x³] de la 1 la 2 = 8 − 1 = 7.
Răspuns
7

b) (5p) Arătați că ∫[1,e] x(f(x) − 3x²) dx = e² + 1.

x(f(x) − 3x²) = 4x·ln x.
Prin părți: ∫ 4x·ln x dx = 2x²·ln x − x².
Valoarea: (2e² − e²) − (0 − 1) = e² + 1.
Răspuns
e² + 1

c) (5p) Demonstrați că ∫[1,√e] f(x)F''(x) dx = (3e − 1)(3e + 5)2, pentru orice primitivă F:(0,+∞)→R a funcției f.

F' = f, deci F'' = f' (pentru orice primitivă).
∫[1,√e] f(x)f'(x) dx = [f²(x)2] de la 1 la √e.
f(√e) = 3e + 4·(12) = 3e + 2 și f(1) = 3, deci valoarea e (3e + 2)² − 92 = (3e − 1)(3e + 5)2.
Răspuns
(3e − 1)(3e + 5)2