Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (august) 2023 (Proba E.c) — 17.08.2023): toate cele 18 de cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 3 − 4i + i(4 − i) = 4, unde i² = −1.

3 − 4i + 4i − i² = 3 + 1 = 4.
Răspuns
4

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 4 − 2x. Arătați că (f∘f)(1) = 0.

f(1) = 2, deci (f∘f)(1) = f(2) = 0.
Răspuns
0

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(x² − 2x + 6) = log₅6.

x² − 2x + 6 = 6, deci x² − 2x = 0.
x = 0 sau x = 2; pentru ambele argumentul e 6 > 0, deci convin.
Răspuns
x = 0 sau x = 2

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 7.

Sunt 90 de numere de două cifre.
Divizibil cu 3 și cu 7 înseamnă divizibil cu 21: 21, 42, 63, 84. p = 490 = 245.
Răspuns
p = 245

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,2), B(a,0) și C(0,b). Determinați numerele reale a și b, știind că punctul A este mijlocul segmentului BC.

a + 02 = 1 și 0 + b2 = 2, deci a = 2 și b = 4.
Răspuns
a = 2, b = 4

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, cu AB = AC = 10 și BC = 16. Arătați că AD = 6, unde AD este înălțime în triunghiul ABC.

În triunghiul isoscel, înălțimea AD e și mediană, deci BD = 8.
AD = √(100 − 64) = 6.
Răspuns
AD = 6

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 12−1−2 și B(x) = x+12x+1x−12x−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(B(2)) = 4.

B(2) = 3513, deci det(B(2)) = 3513 = 9 − 5 = 4.
Răspuns
4

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care B(0)·B(1) = aA.

B(0)·B(1) = 11−1−1·2301 = 24−2−4 = 2A, deci a = 2.
Răspuns
a = 2

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care A·B(x) = A·(B(0) − 3I₂).

A·B(x) = 3x−16x−1−3x+1−6x+1 și A·(B(0) − 3I₂) = −4−747.
3x − 1 = −4 și 6x − 1 = −7 dau amândouă x = −1.
Răspuns
x = −1

Se consideră polinomul f = X³ + 2X² + mX − 3, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 0, arătați că f(1) = 0.

f(1) = 1 + 2 − 3 = 0.
Răspuns
f(1) = 0

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1.

f(−1) = −1 + 2 − m − 3 = −m − 2 = 0, deci m = −2.
Răspuns
m = −2

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

f = (X − x₁)(X − x₂)(X − x₃), deci (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = f(1) = m.
Din Viète, x₁x₂x₃ = 3, deci m = 3.
Răspuns
m = 3

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = 3x²x² + x − 2.

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3x(x − 4)(x² + x − 2)², x∈(1,+∞).

f'(x) = 6x(x² + x − 2) − 3x²(2x + 1)(x² + x − 2)².
Numărătorul: 6x³ + 6x² − 12x − 6x³ − 3x² = 3x² − 12x = 3x(x − 4).
Răspuns
f'(x) = 3x(x − 4)(x² + x − 2)²

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 3x²x² + x − 2 = 3, deci asimptota e y = 3.
Răspuns
y = 3

c) (5p) Demonstrați că f(x) + f(x²) ≥ 173, pentru orice x∈(1,2].

f' ≤ 0 pe (1, 4], deci f e descrescătoare pe (1, 4].
Pentru x ∈ (1, 2]: f(x) ≥ f(2) = 124 = 3; x² ∈ (1, 4], deci f(x²) ≥ f(4) = 4818 = 83.
f(x) + f(x²) ≥ 3 + 83 = 173.
Răspuns
f(x) + f(x²) ≥ 173

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x(x − 1)².

a) (5p) Arătați că ∫[3,7] f(x)(x − 1)² dx = 20.

f(x)(x − 1)² = x.
∫[3,7] x dx = [x²2] de la 3 la 7 = 492 − 92 = 20.
Răspuns
20

b) (5p) Arătați că ∫[2,3] xf(x) dx = 12.

xf(x) = 1(x − 1)², cu primitiva −1x − 1.
Valoarea: −12 + 1 = 12.
Răspuns
12

c) (5p) Arătați că ∫[0,1] x·f(eˣ)eˣ dx = e² − 54.

f(eˣ) = eˣ(eˣ − 1)², deci x·f(eˣ)eˣ = x(eˣ − 1)² = x(e²ˣ − 2eˣ + 1).
Prin părți: ∫ x(e²ˣ − 2eˣ) dx = x(e²ˣ2 − 2eˣ) − (e²ˣ4 − 2eˣ), iar ∫ x dx = x²2.
Între 0 și 1: (e²2 − 2e) − (e²4 − 2e − 14 + 2) + 12 = e²4 − 54 = e² − 54.
Răspuns
e² − 54